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本文主要研究解析函数展开为一些重要g-正交多项式的问题.在此过程中定义了一个新的q-微分(导数)算子.一、我们建立Al-Salam-Carlitz多项式和q-偏微分方程的关系.给出一个多元解析函数表示为推广的齐次Al-Salam-Carlitz多项式的充要条件是该多元解析函数满足某些q-偏微分方程.作为主要结果的应用,我们给出推广的齐次Al-Salam-Carlitz多项式的双线性生成函数和多线性生成函数.我们还推广了 Andrews-Askey积分,Ramanuj anq-beta积分,最后,得到推广的齐次Al-Salam-Carlitz多项式的U(n+1)型生成函数.二、本文引入了一个新的q-微分(导数)算子,该算子具有一般性,包含了经典的q-微分算子,是经典q-微分算子的非平凡推广.我们进而给出了新q-微分算子的基本性质和Leibniz公式利用该算子,我们研究了形式复杂的q-Laguerre多项式.首先建立了一类q-Laguerre型多项式,该多项式包含了q-Laguerre多项式,little q-Laguerre多项式和q-Hahn等多项式.利用新的q-微分算子,我们研究了解析函数展开成q-Laguerre型多项式和q-偏微分方程的关系,建立了含有新q-微分算子的q-偏微分方程.新q-微分算子具有一般性,因此可以灵活地应用在一类q-Laguerre型多项式的研究上,而这是经典q-微分算子所不能实现的.应用这些主要结果,我们得到了关于q-Laguerre多项式的生成函数、双线性生成函数、混合型生成函数.同时,我们还得到含有q-Laguerre多项式的积分恒等式.最后,我们定义了一类二维的三元q-Laguerre多项式,该多项式包含了Ismail和Zhang[50]等给出的二维q-Laguerre多项式和二维little q-Laguerre多项式,同样借助新的q-微分算子,我们得到多元解析函数表示为该二维三元q-Laguerre多项式的充要条件.三、本文研究了三元q-Hermite多项式.我们引入一个三元q-Hermite多项式,该多项式的一般性使得它包含诸多形式,如包含了Ismail和Zhang[49]给出的两个二维q-Hermite多项式和其他多项式.给出了该三元q-Hermite多项式的反演表示.然后建立解析函数表示为该三元q-Hermite多项式的充要条件,该过程同样用到了我们新建的q-微分算子.最后,应用主要定理,我们得到三元q-Hermite多项式各种类型的生成函数,推广了[49]中相应结果.