图谱理论是代数图论研究的重要课题之一,它主要通过图的一些矩阵表示如:邻接矩阵、拉普拉斯矩阵等,应用矩阵理论来研究这些矩阵的代数性质,从而得出图的拓扑结构性质等.图G的拉普拉斯矩阵L（G）的特征值的多重集称为图G的拉普拉斯谱.图G中任意两点i,j之间的电阻距离rij（G）是将该图上的每条边等同于一个单位电阻之后这两点之间的有效电阻.图G的基尔霍夫指标Kf（G）（Kirchhoff index）是指图G中所有顶点对之间的电阻距离之和.本文主要运用线性代数方法并结合图谱理论给出了基于笛卡尔积和联运算的两类新图的拉普拉斯谱,同时作为拉普拉斯谱的应用,我们讨论了正则图的Q-图的（度）-基尔霍夫指标;随机多边形链的（度）-基尔霍夫指标的期望值、平均值和方差.最后,我们考虑了双圈图的超-基尔霍夫指标.全文共分五章,具体内容如下:第一章介绍了图的拉普拉斯谱和基尔霍夫指标所涉及的一些基本概念、研究背景以及进展情况,并简述了本文的主要结果.第二章基于图的笛卡尔积和联运算,讨论了两类新图的拉普拉斯谱.第三章给出了正则图的Q-图的基尔霍夫指标、加法度-基尔霍夫指标和乘法度-基尔霍夫指标.第四章讨论了随机多边形链的（度）-基尔霍夫指标的期望值、平均值和方差,进一步比较了随机多边形链中基尔霍夫指标和维纳指标的期望值,平均值和方差,并分析了它们的相关系数.第五章研究了双圈图的超-基尔霍夫指标,并确定了 n≥ 10的具有最大超-基尔霍夫指标的极值图。