本文利用变分方法研究了一阶Hamilton系统和几类二阶阻尼微分方程的同宿轨道和异宿轨道问题.在各种假设条件下,分别获得了同宿轨道和异宿轨道的存在性和多解性.主要内容如下：第一章介绍一些研究的背景、研究概况以及一些预备知识.第二章考虑如下的一阶Hamilton系统z=JHz（t,z）,a.e.t∈R,这里的H（t,z）依赖于t,但关于t不是周期的.在一些比著名的（Ambrosetti-Rabinowitz）超二次条件（简称为（AR）条件）弱的超二次假设下,利用环绕定理得到了同宿轨道的存在性.另外,还讨论了次二次条件下同宿轨道的多解性.改进和推广了一些文献中的已有结果.第三章讨论如下带阻尼的微分方程ü+cu-L（t）u+Wu_t,u=0,其中c≥0是一个常数；对称矩阵L（t）关于t是非周期的；W（t,u）依赖于t,但关于t不是周期的.在W（t,u）为次二次或者超二次情形下,利用临界点理论得到了该方程的无穷多个同宿轨道或拟同宿轨道的存在性.改进了现有文献中的一些结果,同时对于Zhang,Yuan提出的公开问题给出了明确的回答.此外,利用Nehari流形还考虑了当W（t,u）不定号时该方程的同宿轨道或拟同宿轨道的存在性.第四章讨论如下带阻尼的微分方程ü+g（t）u-L（t）u+Wu_t,u=0,其中g∈C（R, R）;对称矩阵L（t）关于t不是周期的；W（t,u）依赖于t,但关于t不是周期的.在关于g,L以及W的一些合理假设下,利用喷泉定理和对偶的喷泉定理讨论了当W（t,u）分别是超二次、次二次以及凹凸组合项情形时,该方程无穷多个同宿轨道的存在性问题,改进和推广了现有文献中的一些结果.第五章考虑如下方程的同宿轨道和异宿轨道问题ü+Au-L（t）u+Wu_t,u=f（t）,其中A是一个反对称常数矩阵；L（t）∈C（R,RN2）是一个对称一致正定矩阵；函数f∈L2（R,RN）且w∈C1（R×RN,R）首先,考虑了强不定问题的同宿轨道的存在性和多解性,其中W（t,u）关于t是周期的且满足较弱的渐进二次条件.然后,在关于L（t）,f（t）和W（t,u）的某些假设条件下,利用变分方法得到了异宿轨道的存在性.即对于某个子集m（?）RN, （?）x∈m都存在一个异宿轨道w,使得w（-∞）=x且w（+∞）∈m\{x}.