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许多实际问题和大量的物理现象可以抽象为积分方程和偏微分方程,因此构造这些方程的快速数值算法就有着重要的理论意义和实际应用价值,本文以小波为工具研究这些方程的数值算法.基于小波的数值求解积分(微分)方程的基本问题为:解的线性、非线性逼近;积分、微分算子的小波表示;解的稳定性;解的收敛阶的估计;自适应算法设计.本文以此为基础提出了几种解积分方程和偏微分方程的精细Legendre多小波方法,创新点包括:(1)深入研究了用Legendre多小波来表征Sobolev空间,得到了分别以范数L2和H s的逼近误差阶的估计,这为用Legendre多小波方法估计积分、偏微分方程数值解的逼近误差的阶做理论准备.(2)导出了延拓的Legendre小波,并分析了此小波的结构以及性质.构造了延拓Legendre小波神经网络,此小波神经网络的优点为:结构简单、高阶的逼近精度、收敛速度快以及低的计算复杂性,并用来解决非线性函数的逼近问题.(3)提出了积分算子的精细Legendre多小波非标准表示以及快速算法,此计算方式的优点为:积分算子矩阵为稀疏的、低维的以及块对角的.另外,非常有价值的地方是:不同子区间的积分算子矩阵是一样的.这些性质极大程度地降低了用小波表示积分算子的计算复杂性.(4)用已经得到的Legendre小波神经网络和精细Legendre多小波方法有效地数值求解了Lane-Emden方程、Fredhlom方程.此方法的解决思路为:这些方程先被转化为积分方程,再用Legendre小波神经网络来逼近非线性函数,精细Legendre小波方法用来计算每个子区间[ 2? n l ,2?n(l+1))上的积分算子、乘积算子以及整数幂算子,则积分方程就可转化为线性代数方程.再解此线性代数方程组就可以得到在子区间[ 2? n l ,2?n(l+1))上的数值解,综合每个子区间的解就得到了方程的整个数值解.另外,还用精细Legendre小波方法解决了积分函数的最优化问题.(5)通过用Legendre多小波基函数代替弱变分形式的基,构造了弱Legendre多小波变分形式,有效地解决了Wavelet-Galerkin方法处理偏微分方程的边界条件以及计算连接系数的困难.这样边界条件以弱的方式加到了变分形式,而不必象变分形式那样强加边界条件,详细计算了微分算子的精细Legendre多小波非标准表示,因为Legendre小波为分段多项式,故表示微分算子时计算的连接系数用到的是多项式的低阶导数,这降低了计算复杂性.以Poisson方程为例构造了弱Legendre多小波变分形式,并导出了分别以范数L2和H 1的数值逼近解的收敛阶的估计.总之,构造的弱Legendre多小波变分形式既有Wavelet-Galerkin方法的优点又有弱Galerkin方法的长处.(6)用Legendre多小波的特点和混合有限元的优势,构造了混合不连续Legendre-Wavelet-Galerkin (MDLWG)方法,此方法的优点为:微分算子的有效稀疏表示、解满足一致性、有高阶的逼近精度以及快速自适应算法.偏微分方程的边界条件被以弱变分的方式加到数值流,此方式能容易地以低的计算复杂性逐元评价计算,得到的微分算子矩阵为块对角的,故此方法可以降低解以小波系数为未知数的代数方程组的计算复杂性.此外,得到了带Dirichlet边界条件的椭圆偏微分方程的有效数值解,以及边界条件的数值流计算的误差估计的阶为O ( 2? n( p?1)).数值实验表明:这种方法是有效的.(7)以对流偏微分方程的本质特点,用Legendre多小波的性质和不连续Galerkin方法的结构特点,构造了不连续Legendre-Wavelet-Galerkin (DLWG)方法解对流方程以及设计了快速自适应算法.此方法的思路为:用图论的方法重新排列计算单元,再用精细Legendre多小波方法和不连续Galerkin方法的结构特点,对流方程就可转化为一系列的子代数方程的求解,这样就可以不必解对流偏微分方程的整个代数方程组,而是以逐元逐元的方式求解.最重要的是:每个单元的计算时,涉及到的迎风流、微分算子以及边界条件的计算可以用低的复杂性来评价.数值实验表明:这种方法是有效的.本文构造的MDLWG方法以及DLWG方法发展了标准的DG方法,可以应用到解其他类型的偏微分方程.