黑洞的线性微扰理论在物理学中有着重要作用，是解决天体物理和高能物理等问题所不可缺少的工具。广义椭球函数由Teukolsky提出，首先出现在Kerr黑洞微扰理论中，它们产生于自旋kerr黑洞背景下Teukolsky方程分离变量得到的角向方程。广义椭球函数有两个参数s和β，分别对应黑洞外部微扰场的自旋量和角频率，其中自旋量s=0，±1/2,±1，±3/2,±2分别对应着标量场、中子场、电磁场、Rarita-Schwinger场和引力场，角频率β在本文中则作为数值近似方法中的微扰量。　　本论文主要研究了s≠0，β≠0时基态和激发态的广义椭球函数解析解和数值解，并且从数值上分析了微扰量β的取值范围。主要内容简述如下:　　1.广义椭球函数基态本征值和波函数的解析解和数值解　　本文采用超对称量子力学的方法来求解广义椭球函数，以s=1时的广义椭球函数为例，（作者完成了s=1，s=2时解析解的推导，同组成员完成了s=1/2，s=3/2时解析解的推导），求出了第n阶超势的通式，并利用数学归纳法对其正确性给予证明，利用数值计算得到了超势系数的数值解;接着对广义椭球函数s=1/2,1，3/2,2四种情况下超势收敛性进行了分析，并由s=1/2,1，3/2，2时超势的系数分别得到了对应的基态本征值数值解和基态波函数的图像;同时研究了参数m和微扰量β对于基态波函数图像的影响;最后，利用本文的方法重新计算了s=0，β≠0、s≠0，β=0（带权重球谐函数方程）和s=0，β=0（缔合勒让德方程）的基态本征值数值解和基态波函数图像。　　2.数值分析微扰量β的取值范围　　在求解s=1/2，1，3/2，2广义椭球函数基态波函数的过程中，利用了数值近似的方法将超势和本征值用微扰量β级数展开，因此需要分析微扰量β的取值范围，本文从数值计算上得到了微扰量β≤3.3为合理的范围，并且β的取值范围与m的取值有关，这是非常有意义的一项工作。　　3.广义椭球函数激发态本征值和波函数的解析解和数值解　　对于激发态波函数和本征值的研究，本文仍以s=1时广义椭球函数为例进行分析，利用势的形不变特性求出了激发态波函数与基态波函数的递推关系式，由于基态波函数的求解中需要微扰量β≤3.3，激发态波函数的推导需要微扰量在同样的范围;之后利用数值计算分别得到了广义椭球函数在s=1/2,1,3/2，2时激发态本征值的数值解以及第一到第四激发态波函数图像;最后用本文的方法重新研究了s≠0，β=0时带权重球谐函数方程与s=0，β=0缔合勒让德方程的本征值与激发态波函数，得到了其波函数图像，并与s≠0，β≠0广义椭球函数的波函数图像对比，分析出不同β对于激发态波函数图像的影响。