本论文是以线性化Bregman迭代法思想为基础，针对以图像去模糊和稀疏信号重构为代表的1优化问题进行相应的算法研究.图像恢复是应用范围较为广泛的一类实际问题，遍布科技和日常生活的各个领域.由于其广泛的适用范围和重大的实际意义，近年来一直都是研究的热点.图像去噪的算法和模型众多，且很多都已取得较好的成果.而由于卷积的存在使得图像去模糊问题相对复杂，因此，计算起来较为困难.另一方面，在很多尖端技术中也常需要稀疏信号的重构，特别是要求使用尽量少的传感器进行测量，使用较少的信息恢复其原有信号，这无疑使稀疏求解变得更为重要.本文旨在提高图像去模糊和稀疏信号恢复过程的计算效率，提出几种新的快速算法，主要工作如下：首先，提出了一类新的广义逆迭代格式，给出了它的收敛性定理，并通过数值试验说明其有效性.其次，在线性化Bregman迭代法的基础上，结合广义逆的迭代技术，充分考虑算法对计算效率和恢复效果的影响，特别是图像和信号的细节特征恢复，提出了新的简化迭代法和新的Chaotic迭代法.新的简化迭代法是用迭代求解广义逆的方式来代替SVD分解的方法.该方法采用内外循环计算，在内外循环相对平衡的情况下，可取得较为满意的效果.而新的Chaotic迭代法则是在其基础上，将内外循环转化为一致迭代的单循环，使计算不仅得到了进一步简化而且还可以将图像或信号的之前所有迭代信息全都用于下一步的恢复；这样不仅减少了工作量，还可以将图像恢复或信号重构过程中丢失的细节信息和特征重新被回代，提高了计算效率且增强了恢复效果.理论上给出了收敛性的相关证明，并通过数值试验证明了方法的可靠性.再次，在新的Chaotic迭代法的基础上，结合重复加权的思想，提出了重复加权1极小化方法.该方法利用了最新得到的数据来进一步更新加权系数.在理论上，重复加权1极小化方法相当于将1极小化问题修正为加权的ω优化问题，因此定义了广义的带权系数的软阈值算子.通过重复加权对每步计算的结果进行校正，在纹理较为敏感的情况下可以及时弥补图像恢复的细节特征，增强了图像的恢复效果并且在计算效率上并没有因为权系数的引入而带来过多的影响.最后，针对1优化模型的线性化Bregman迭代法，结合求解的优化问题给出迭代格式之间的等价关系.总之，对1优化模型在线性化Bregman迭代法基础上，提出了更具竞争力的新的简化迭代法、新的Chaotic迭代法、重复加权1极小化方法，并且在理论和数值试验上都说明它们是快速有效的.