【摘 要】
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非线性矩阵方程是数值代数和非线性分析等领域研究的重要课题之一.其在控制理论,动态规划,统计,随机渗入,排队理论,梯形网格等多个领域都有很重要的应用.本文研究了非线性矩
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非线性矩阵方程是数值代数和非线性分析等领域研究的重要课题之一.其在控制理论,动态规划,统计,随机渗入,排队理论,梯形网格等多个领域都有很重要的应用.本文研究了非线性矩阵方程的Hermite正定解,其中Aj,Bj,是,n×n阶复矩阵,Q是,n×n阶Hermite正定矩阵.
本文结构如下:绪论部分介绍了非线性矩阵方程的背景以及研究成果.第二章首先研究了当m=k=1,Q=1时的特殊情形,即矩阵方程的Hermite正定解.应用一个重要矩阵不等式,得出了该矩阵方程存在正定解的一个必要条件,然后运用不动点原理得到了存在正定解的两个充分条件.在该矩阵方程有正定解的情况下给出了正定解的存在区间,同时给出了存在唯一正定解的一个充分条件,并应用压缩映象原理证明了一定条件下特定的解区间内存有该方程的唯一正定解.接着将所得结论扩展到矩阵方程上,得到了该矩阵方程存在正定解的必要条件和充分条件.随后通过一个变换,将求解矩阵方程的问题转化为求解矩阵方程的问题.从而达到研究矩阵方程的Hermite正定解的目的.第三章构造了两个求本文所涉及的矩阵方程正定解的迭代方法,并且利用不动点定理证明了其收敛性.最后通过给出数值例子验证了所得结论.
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