令G是一个有限简单平面图.用V(G),E(G)和F(G)分别表示图G的顶点集,边集和面集,简记为V,E和F.用g(G)表示图G的围长,即G中的最短圈的长度.图G的点荫度是指G的顶点集V(G)的最小划分数,使得每个点划分集的导出子图是一个森林.图G的线性点荫度是指G的顶点集V(G)的最小划分数,使得每个点划分集的导出子图是一个线性森林.设G1,...,Gn为n个图类,图G的(G1,...,Gn)-划分是指将V(G)划分为n个集合V1,...,Vn使得对任意1≤i≤n,都有G[Vi]属于图类Gi.为了方便起见,我们用F,L,△d,Fd和F2分别表示森林,独立集,最大度为d的图,最大度为d的森林和线性森林.在顶点划分的意义下,点荫度可定义为图G有(F,...,F)-划分的最小划分数;线性点荫度则指图G有(F2,...,F2)-划分的最小划分数.图的点荫度最早是由Chartrand,Kronk和Wall在1968年提出的,并且他们证明了平面图的点荫度至多为3.1979年,Garey和Johnson证明了确定任意图的点荫度是NP-困难的.随后,有学者在此基础上提出了线性点荫度的概念.1990年,Poh证明了平面图的线性点荫度至多为3.因此,人们开始考虑使得平面图的线性点荫度为2的充分条件.2006年,Chappell等人证明了 g(G)≥ 6的平面图的线性点荫度为2.同时,他们构造了反例说明存在g(G)=4且vla(G)=3的平面图.因此,我们考虑g(G)=5的平面图是否满足vla(G)≤2,即是否存在(F2,F2)-划分.论文框架结构及内容如下:在第一章中,我们首先给出本文需要的一些基本概念,再简述相关领域的研究现状以及本文的研究成果.1998年,吴建良证明了对Halin图G有vla(G)≤2.在第二章中,我们改进了这个结果,证明了如下结果:(1)若G为Halin图,则vla(G)≤ 2,且每个点划分集的导出子图的每个连通分支的路长l≤max{[△-2/2],3}.在第三章,第四章和第五章中,我们主要使用反证法,通过构造极小反例,探究其结构性质并运用权转移方法,分别证明了以下三个结果:(2)围长g(G)≥ 5且不含相交5-圈的平面图有(F2,F5)-划分.(3)围长g(G)≥ 5且5-圈不与(--圈相邻的平面图有(F2,F4)-划分.(4)围长g(G)≥ 5且不含相邻5-圈的平面图有(F3,F3)-划分.