Teichmüller理论源于：Teichmüller对Riemann曲面模问题的研究，该理论本身具有丰富而有趣的研究价值，且与其他的数学分支有着广泛深入的联系．本文中，我们的研究兴趣集中在Teichmüller空间的度量性质．Teichmüller空间具有自然的复流形结构．可以对之赋以多种度量，不同的度量从各个角度对Teichmüller空间的几何性质进行了刻画．本文主要研究Teichmüller空间的度量性质，包括Teichmüller空间上的Teichmüller度量、Carathéodory度量、长度谱度量(Thurston伪度量)、Weil-Petersson度量，以及曲面上的典范Bergman度量等．此外，我们还研究了经典的Beurling-Ahlfors扩张及其一阶变分的非调和性．在第一章中，我们将给出本文的背景介绍并对本文相关工作给以简单的引入． 第二章主要考虑Teichmüller度量、长度谱度量以及Thurston伪度量的拓扑等价性．已有的结果属于Sorvali、Thurston 、李忠、刘立新、Shiga、Papadopoulos、Papadopoulos-Théret 等．我们在第二章中证明了如下结果：对拓扑有限或无限型的Riemann 曲面的Teichmüller空间，存在两个点列，它们之间的Teichmüller距离趋于无穷；同时长度谱距离(Thurston伪距离)趋于零．这改进了李忠的一个相应结果．由这个证明中的构造，我们证明了无限维Teichmüller空间上Teichmüller度量与长度谱度量(Thurston伪度量)的非拓扑等价性．该证明比Shiga的原始证明更自然，且给出了一类拓扑无限型的Riemann曲面，使得其Teichmüller空间满足相应的非拓扑等价性(通过构造一个特殊的反例，Shiga于2003年证明了Teichmüller度量与长度谱度量的非拓扑等价性．同时，Shiga[55]给出了Teichmüller度量与长度谱度量拓扑等价的一个充分条件)．另外，我们首次给出了这些度量拓扑等价的一个必要条件．最近，Kinjo证明了Shiga的前述充分条件不是必要的． 在第三章中，我们考虑Teichmüller空间的thick part分别关于Teichmüller度量、Carathéodory度量和Weil-Petersson度量的凸包刻画．Thick-thin分解被证明是处理相应问题的一个有力工具．首先，通过构造thick part的一个子集，我们证明了该子集的凸包(分别关于Teichmüller度量、Carathéodory度量和Weil-Petersson度量)不在任何thick part上面．相应地，我们有两个重要的推论：thick part的凸包(分别关于Teichmüller度量、Caratheodory度量和Weil-Petersson度量)并非总在thick part上面．Thick part并非总是凸的(分别关于Teichmüller度量、Carathéodory度量和Weil-Petersson度量)．此外，对于Teichmüller度量和Carathéodory度量，给出了类似的thin part的刻画． 第四章研究了曲面上的典范Bergman度量．先回顾曲面上的双曲度量(即Poincaré度量)，它是依赖于单值化定理的，且具有常负曲率．作为曲面上的一种度量，典范Bergman度量不依赖于单值化定理．双曲度量诱导了Teichmüller空间上的Weil-Petersson度量；类似地，典范Bergman度量诱导了Teichmüller空间上的L2 Bergman度量：该度量可以投影到模空间上，从而我们可以考虑模空间在此度量下的几何性质；与Weil-Petersson度量相比较，L2 Bergman度量更适合于极小曲面理论的研究． 　　Ahlfors首先证明了双曲度量面积元的一阶变分恒为零．Wolpert对Ahlfors的结果给出了新的证明．此外，Takhtajan-Teo也考虑了双曲度量面积元的变分问题，并给出了在万有Teichmüller空间上的应用．利用“双曲度量面积元的一阶变分恒为零”这一结果，Ahlfors进而证明了Weil—Petersson度量是Kahler度量． 第四章中，我们将考虑典范Bergman度量，我们证明了典范Bergman度量的面积元的一阶变分不恒为零，这与Ahlfors的上述结果形成对照．我们进一步的目的是想知道Teichmüller空间上的L2 Bergman度量是否是Kahler的． 此外，在第五章，我们考虑了Beurling-Ahlfors扩张．拟共形映射理论中的一个经典问题是寻找并刻画具有给定边界同胚的扩张．对此，我们有Beurling-Ahlfors扩张、Douady-Earle扩张以及调和扩张．McMullen[68]证明了Douady-Earle扩张的一阶变分的调和性．Liu-Yao证明了Douady-Earle扩张并非总是调和的．第五章中，我们证明了如下结果：Beurling-Ahlfors扩张并非总是调和的．Beurling-Ahlfors扩张的一阶变分并非总是调和的．