【摘 要】
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如何构造一个有效的预条件子,用于加速求解大规模稀疏线性系统的收敛一直都是数值计算领域的研究热点之一。随着线性系统规模的增大,使用不精确的预处理方法求解大规模稀疏线性系统也逐渐开始备受关注,使用该方法可以在时间与精确度之间进行权衡。近年来随着GPU的快速发展,基于GPU使用不精确的方法构造预条件子用于求解大规模稀疏线性系统已经取得了丰硕的成果。目前针对预条件子构造的研究均集中在标量矩阵,但在实际的工
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如何构造一个有效的预条件子,用于加速求解大规模稀疏线性系统的收敛一直都是数值计算领域的研究热点之一。随着线性系统规模的增大,使用不精确的预处理方法求解大规模稀疏线性系统也逐渐开始备受关注,使用该方法可以在时间与精确度之间进行权衡。近年来随着GPU的快速发展,基于GPU使用不精确的方法构造预条件子用于求解大规模稀疏线性系统已经取得了丰硕的成果。目前针对预条件子构造的研究均集中在标量矩阵,但在实际的工程应用中,如多物理场问题,系数矩阵往往是以块状矩阵的形式出现的,虽然块结构的线性系统的数值算法大多是由标量线性系统推导而来,但实现策略以及性能调优等方面仍然存在较大的差异。所以本文面向CPU+GPU的异构计算系统,对快速构造一个有效的块不完全近似稀疏逆的预条件算法进行讨论与研究,主要工作如下:（1）在不完全近似稀疏逆（Incomplete Sparse Approximate Inverses,ISAI）算法的基础上,提出一种块结构的不完全近似稀疏逆（Block Incomplete Sparse Approximate Inverses,Block-ISAI）预条件算法和在GPU加速平台上高效的实现策略。在预处理方面,为避免在预条件步骤中使用强数据依赖的backward-substitution和forward-substitution求解块三角线性系统,基于Block-ILU分解的预处理方法,使用Block-ISAI算法将预条件步骤转化为可高度并行的矩阵向量乘操作。在GPU实现方面,充分考虑了块矩阵的整体稀疏且局部稠密的特性,并结合GPU平台上融合访存和共享内存等优化技术,基于CUDA中基本调度单位warp,提出了一种以warp为单位来分配线程任务的策略,该策略能够保证每一个warp以块为单位并行计算上下三角因子的近似逆的每一列,从而充分发挥GPU细粒度高并发的计算特性。（2）在预处理步骤的求解效率方面和基于Krylov子空间方法的GMRES整体求解时间方面,将本文提出的Block-ISAI预条件算法与基于cu SPARSE的块三角线性求解的预条件算法,在由Intel E5-2640 V4@2.40 GHz处理器与NVIDIA的Tesla V100 GPU组成的异构计算平台上进行了详细的实验对比分析。在选取了来自Suite Sparse矩阵集合中几个典型的矩阵进行测试后,结果表明,虽然本文提出的Block-ISAI算法增加了迭代步数,但大大缩短了迭代中的预处理时间,总的求解时间比基于cu SPARSE预条件算法要少,加速比为1.19～6.69。
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