随机(偏)微分方程S(P)DE是一类其中含有一个或多个随机过程项的微分方程,因而会产生一个随机过程的解.一般地,S(P)DE所包含的随机项或随机系数可表示为布朗运动的导数,即随机白噪声的形式,但是其他类型的随机行为也是可能的,例如跳跃过程.当S(P)DE不存在封闭形式的解时,促使我们去研究其强解,温和解与弱解的性质,例如,局部存在性和唯一性,有限时间内的爆破问题等;当S(P)DE有封闭形式解时,这些方程可用于模拟各种现象,例如不稳定的股票价格或者受热波动影响的物理系统.
　　本文分别从理论和应用两个方面阐述对几类S(P)DE的研究.理论部分主要研究了几类随机(偏)微分系统解的性质,包括局部存在性和唯一性以及爆破问题.应用部分用一类随机微分系统刻画不稳定的标的资产(股票)的价格波动,对股票期权进行定价,同时采用简约模型对信用违约互换进行定价.全文共分为八章.
　　第一章简述了几类S(P)DEs的研究背景及国内外研究进展,给出了本文得到的主要结果并简述了相关预备知识(空间符号,常用不等式).
　　第二章研究了在Rd1+d2上的随机泛函哈密顿系统(此处公式省略)
　　通过Zvonkin型变换,得到了上述一族退化的泛函SDE的强解的存在性和唯一性,其中漂移项b包含了一个H¨older-Dini连续扰动.在一些合理的条件下,我们证明了系统解的非爆破性质.另外,作为应用,通过测度变化的耦合方法,我们得到了Harnack和移位的Harnack不等式.即使在没有延迟项的情况下,这些不等式也是新的;即使在非退化的泛函SDE(即奇异漂移项)中,移位的Harnack不等式也是新的.
　　第三章研究了在H=H1×H2空间上的泛函SPDE(此处公式省略)
　　通过Zvonkin型变换,得到了上述一族退化的泛函SPDE的温和解的存在性和唯一性,其中漂移项b是H¨older-Dini连续的.在一些合理的条件下,我们证明了系统解的非爆破性质.另外,假设时间延迟长度有限,通过测度变化的耦合方法,得到了Harnack不等式.最后,我们从没有延迟项的方程中得到了移位的Harnack不等式,此不等式即使在非退化的情况下也是新的.
　　第四章研究了随机Dullin-Gottwald-Holm(SDGH)流体方程:(此处公式省略)
　　通过正则化,得到了上述SDGH方程的温和解的局部存在性和唯一性.另外,通过先验估计,当初值满足一定条件时,局部解在有限时间内爆破.
　　第五章研究了随机Novikov流体方程:(此处公式省略)
　　通过正则化以及三线性近似估计,得到了上述随机Novikov方程的温和解的局部存在性和唯一性.
　　第六章集中于随机微分方程的应用,提出了一种新的混合股票模型–具有双指数跳跃过程和随机利率的4/2随机波动率模型.4/2过程来源于波动率部分的CIR(1/2项)和CIR倒数(3/2项)过程的线性叠加.我们推导得到了随机利率和股票对数价格的联合傅立叶变换的显式表达式,通过应用傅立叶逆变换得出了欧式看涨期权价格的封闭解.傅立叶逆变换的定价方法与蒙特卡罗模拟的定价方法相比,更为准确和有效,因此可用于估计和校准.在实证分析中,我们首先利用S&P500指数和期权价格的历史数据估计了模型中风险中性测度下的参数.其次,我们估计了随机利率和跳跃过程对提高定价准确性的贡献.数值结果表明,我们的模型对于拟合和预测SPX价格都具有明显优势,尤其对长期期权的定价更加有效.最后,我们使用该模型检验了跳跃过程和利率变化对期权价格的影响.
　　第七章继续讨论随机微分方程的一些应用,通过假设企业的违约强度取决于交易对手公司的违约状态和服从跳跃扩散Cox-Ingersoll-Ross过程的随机利率,推广了信用违约互换市场的传统简化信用风险模型.此外,我们得出了可违约债券和信用违约互换的显性定价公式.最后,通过数值例子讨论了可违约证券(可违约债券,信用违约掉期)与到期日之间的动态关系.
　　最后一章给出了简单的总结以及有待进一步探讨研究的问题.