2007年至2009年的全球金融危机体现了世界金融体系的错综复杂性和巨大的系统性风险,也使得奈特不确定性再度引起了学者的关注。彭实戈院士于2006年所创立的非线性期望理论是处理金融中带有奈特不确定性问题的一个强有力的工具。与Kolmogorov所建立的以线性概率测度为基础的现代概率论公理体系不同,该理论是以非线性期望为出发点,系统建立起的一套全新理论体系,并且该新理论处处都直接对应着概率模型本身的内在不确定性。本博士论文在彭实戈院士的非线性期望理论框架下,从概率论中一个最基本的概念一方差出发展开研究,将经典概率论中方差的概念推广到模型不确定的情形,定义了随机变量带有均值不确定性时的上方差和下方差的概念,并对其性质进行了深入的研究。在此基础上,本文进一步给出了上方差和下方差在概率论、数理统计和金融风险度量中的应用。本文的创新之处主要体现在:（1）新的带有均值不确定性的极限定理。本文所得到的随机变量带有均值不确定性的中心极限定理和重对数律是次线性期望下极限定理的新结果,具有重要的理论和应用价值。（2）新的上方差和下方差的计算方法。本文提出了当概率测度族中概率测度的个数有限时,带有均值不确定性的随机变量的上方差和下方差的新算法,可以预见该算法将会在数理统计、金融数学、机器学习等领域具有广泛的应用前景。（3）新的风险度量模型:带有均值不确定性的G-VaR模型。本文将已有的零均值G-VaR模型推广到带有均值不确定性的情形,该模型具有更强的稳健性,将成为金融领域一个重要的风险度量模型,具有重要的应用价值。本文的主要研究内容如下:第一章绪论中主要介绍了本博士论文的研究背景、研究内容和创新点。第二章主要研究上下方差的定义和性质。给定可测空间（Ω,F）和其上的概率测度族P,其中概率测度族P用来刻画模型不确定性或奈特不确定性。由概率测度族P可以诱导出次线性期望EP[X]:=supP∈PEP[X],在此基础上,本文给出了随机变量X的上方差V（X）和下方差V（X）的定义:（?）然后对上方差和下方差的性质进行了深入的研究,为本文的后续研究打下了坚实的理论基础。第三章主要研究上下方差在概率论中的应用。大数定律、中心极限定理和重对数律是概率论中的三大基本定理。本文首先将经典的Chebyshev不等式推广到模型不确定的情形,在此基础上得到了大数定律。不同于现有的基于偏微分方程等分析技巧的证明,本文大数定律的证明为纯概率方法的证明。随后本文在彭实戈院士使用偏微分方程方法给出的零均值中心极限定理的证明基础上,结合前文所得的上下方差的性质,得到了随机变量带有均值不确定性的中心极限定理的部分结果,并利用经典概率论中关于鞅的重对数律证明了均值不确定时的重对数律。这些结果均是对现有的零均值中心极限定理和重对数律的非平凡推广,具有重要的理论价值。第四章主要研究上下方差在数理统计中的应用。国际著名学者Peter Walley在其专著《Statistical Reasoning with Imprecise Probabilities》中明确指出,上方差的计算非常困难。本文在概率测度族由有限个概率测度组成时,给出了上方差和下方差的显式计算公式。概率测度族有限这一假设可以满足实际中的需要,我们进一步给出了基于样本数据的上方差和下方差的参数估计方法,并给出了该参数估计方法的概率解释。本章为后续的实证研究提供了理论指导和方法支持。第五章主要研究上下方差在金融风险度量中的应用。我们建立了基于G-分布的带有均值不确定性的G-VaR模型,并得到相应的VaR的显式计算公式。这将已有的基于G-正态分布的零均值G-VaR模型推广到均值不确定的情形。新模型的假设条件更宽松,适用性更广泛,模型更加稳健。在此基础上,我们使用金融市场中常见的NASDAQ指数,S＆P500指数,沪深300指数进行实证分析,发现均值不确定的G-VaR模型在实际金融市场中表现出色,表明本文所建立的G-VaR模型具有重要的应用价值。