美式期权因为允许提前执行让我们感觉到棘手，但是它与实际生活又是如此贴近而运用得相当广泛，从我们最初认识的美式股票期权，到现在名目繁多的美式外汇期权，天气期权等，运用美式期权方法进行投资决择，对泡沫价格进行定价，对公司证券价格进行定价，研究公司破产概率，探讨信用风险。如今的美式期权已经大大超出了本身研究的范畴。本文中着重论述了如何利用数值方法计算美式期权并确定自由边界，本文的最后两章，讲述美式期权在抵押贷款证券上和保险上的应用和基于期权对其他金融衍生产品进行定价。 第一章主要是介绍期权的基本特征，并给出股票价格的随机游动模型，讨论概率和偏微分方程之间的联系，从而导出著名的It(?)引理，并在此基础上给出期权定价的数学模型。 第二章主要是给出美式期权的特点，并建立美式期权所满足的存在自由边界的微分方程，在此基础上通过概率的方法给出美式期权的解析定价公式(其中存在未知的变量)。然后将问题简化，给出两种理论上可行的数值解。 在第三章中，首先介绍SOR算法，然后介绍SOR算法在美式期权上的具体操作，依据基本思路给出偏程步骤，最后给出相应的数值计算方法与结果 在第四章中，首先介绍人工边界算法，然后通过极值原理，研究Black-Scholes方程的性质，在此理论基础上引入人工边界算法，与此同时利用辅助问题的性质确定自由边界所在位置，最后通过下三角简化矩阵，给出算法和结果。 第五章主要研究基于美式期权建立抵押贷款模型，并利用无套利原理导出对应的微分方程。随后通过特征线方法和算子分裂法进行数值计算，给出相应的算法。 在第六章中，同样利用美式期权，在分析投资连结型保单的特征之后，建立相应的微分方程，通过转化为相应的变分不等式，并利用惩罚问题和极值原理分析时间，资产的影响。最后给出相应的数值结果。