【摘 要】
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由Amice[1],我们知道在一局部域K的赋值环OK的对偶空间上,存在一组所谓的Newton type基{Qn（x）}n∈N,使得对任意的f∈C（OK,K）,f都可展开成为f（x）=（?）（x）.随后P.E.Helsmoortel利用Amice的结果,证明了如果f（x）=（?）（x）∈C（OK,K）,且（?）,则f是C~1类函数,其中|·|表示此局部域上的绝对值。更一般地,他还证明了如果有（?）,
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由Amice[1],我们知道在一局部域K的赋值环OK的对偶空间上,存在一组所谓的Newton type基{Qn（x）}n∈N,使得对任意的f∈C（OK,K）,f都可展开成为f（x）=（?）（x）.随后P.E.Helsmoortel利用Amice的结果,证明了如果f（x）=（?）（x）∈C（OK,K）,且（?）,则f是C~1类函数,其中|·|表示此局部域上的绝对值。更一般地,他还证明了如果有（?）,则f是Cj类函数。不久,D.Barsky[5]也研究了局部域的赋值环上的Cj类函数,但文章[5]存在一些问题.我们在文章前半部分回顾P.E.Helsmoortel对Qn（x）的差分估计和D.Barsky关于Lipschitz条件的计算,给出在具体情况下有关函数的部分赋值估计,其中char（K）=0.在文章后半部分,我们利用上述关于局部域上函数n次一致连续可导的结果,讨论局部域上的积分结构,讨论测度空间与幂级数空间的关系,并给出测度空间的某些性质。
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