偏微分方程中的自由边界问题是一类特殊的偏微分方程定解问题.这类问题主要源自医学、物理学、化学以及生物学等诸多领域.比如肿瘤生长问题、美式期权定价问题、冶金业中金属的融化凝固问题、水坝渗流问题、水晶的生长问题、图像处理问题、伤口愈合问题、种群迁移问题等等都属于自由边界问题.对具体的自由边界问题解的性质的研究，将有助于人们准确地解释自然界中的许多非线性现象;同时可以建立基本理论，发展数学方法，为自然科学和工程技术等领域中出现的这类方程组的研究提供有力的数学方法和工具，从而促进非线性偏微分方程理论的应用和发展.因此自由边界问题已成为偏微分方程研究领域的一个热点课题.　　 生态学中还有一类问题，它虽然是用来描述固定区域上的种群竞争的反应扩散方程组，但它在一定的条件下能生成自由边界问题.用常微分方程组或偏微分方程组描述种群的共存或竞争的动力系统已得到广泛的讨论.最近，对描述种群竞争的反应扩散问题空间分离模式的研究也受到许多数学工作者的极大关注.　　 本文围绕区域的变化，对来自不同背景的三类自由边界问题进行系统的研究.具体内容由以下五个章节构成.　　 第一章，简要地介绍与本论文研究问题有关的背景知识及其发展概况.　　 第二章，我们研究了具超线性反应项的热方程的自由边界问题.其中第一部分，讨论了高维情形下相应的自由边界问题.首先，通过作函数变换，将原自由边界问题化为固定区域上的抛物问题，再利用压缩映像原理给出了局部古典解的存在唯一性;其次，对自由边界的渐近性态进行了细致的刻划，并定义一个与初值和空间维数有关的的能量函数，通过建立几个能量恒等式，给出了一个与初值及空间维数有关的能量条件，并证明了在此条件下，该问题的解在有限时刻爆破;最后，通过对全局解性质的刻划，我们给出了全局解的分类。结论表明，当初值小时，解全局存在且自由边界渐近有界，这个解被称为全局快解;而当初值适当时，存在全局慢解，即自由边界随时间增加趋于无穷.在第二部分，我们考虑了一维情形下具双自由边界的相应问题.在这一部分我们首先建立一些预备性的引理，包括局部古典解的存在唯一性、自由边界g(t)的单调非增性质与h(t)的单调非减性质以及它们所特有的性质:-2h0＜g(t)+h(t)＜2h0，t∈[0，T*）.即两个自由边界要么同时趋于有限、要么同时趋于无限.其次，我们得到了当初值充分大时，该问题的解在有限时刻一定爆破;最后，证明了全局解一致有界，且一致退化到0的性质.同时给出了该问题出现全局快解、全局慢解的充分条件.　　 第三章，考虑了描述SIR传染病模型的自由边界问题.我们首先回顾了固定区域上的SIR常微分模型与偏微分模型的一些主要结果，并且对理论结果进行了数值模拟.其次，利用先验估计和压缩映像原理得到局部古典解的存在唯一性.并且通过对自由边界的细致刻划延拓了解的存在范围，得到问题存在唯一整体解.此外，我们还得到了传染病蔓延与消退的充分条件.我们的结果表明，若基本再生数R0＜1，则疾病消退;而R0＞1，但只要初始感染区域h0足够小，则疾病也消退;若基本再生数R0＞1，且初始接触区域h0适当大，则疾病会蔓延开来.这是与固定区域常微分模型或偏微分模型不同的结果.　　 第四章，研究了一类能生成自由边界的拟线性强竞争抛物问题.由于在生态动力学中，种群受到周期性变化的环境的影响，它们的某些习性也表现出周期性，这种周期性会影响种群的数量，并且还可能会出现一些周期性现象.因而这些模型周期解的存在性及其稳定性成为众多学者的研究对象.为此，在本章第一部分，通过上下解方法我们得到系数为周期函数的拟线性竞争抛物问题周期解的存在性，并证明了该问题存在极大周期解和极小周期解.然后给出了一类拟线性竞争抛物问题正周期解存在的充分条件.第二部分，我们首先建立一类拟线性强竞争抛物问题正解的一致估计;然后证明了当种群间竞争系数足够大时，种群空间必定分离，即至多有一类种群的密度不为零，另一类种群一定灭绝.更重要的是，我们证明了当种群间竞争系数足够大时，该拟线性问题解的极限满足一个自由边界问题.最后我们还得到了在两种群的自扩散系数α11=α22=0的情形下，所讨论问题与k有关的解序列｛uk｝和{vk｝在L2(0，T;H1(Ω)中的强收敛性.　　 第五章，我们对上述结论进行概况总结，并就今后的研究工作作进一步的设想.