拓扑流体力学是理性力学的重要分支,有重要的理论价值,其独特作用在数学物理、计算生物学、天体物理等多个领域日益凸显。本论文第一部分(第1、2章)简要回顾该领域的发展史,突出了学科方向的最新进展。作为预备知识,介绍了研究中将要用到的拓扑学知识,重点放在流体螺旋度的拓扑内涵,指出它可以用于构造自缠绕数、高斯互缠绕数等拓扑不变量。特别是,基于螺旋度可以构造纽结多项式,如Jones、HOMFLYPT等多项式。第二部分(第3、4章)是本论文的重点,主要是对理论模型的数值模拟。论文研究了量子涡旋演化的基础模型即Gross-Pitaevskii(GP)方程,并求得一定初始条件之下的数值解。具体内容包括初条件的选择和构建,超流体系统中对涡旋重链接过程的重现和检验,等等。主要方法是基于GP方程的二维解,构造出特定拓扑结构的玻色-爱因斯坦凝聚体的量子涡旋链环。对于具有不同缠绕数的对称基本链环涡旋,以非等距快速傅里叶变换(NFFT)为工具进行数值求解,推演其时空演化。第三部分(第5章)给出本论文的结论与展望,其中展望部分包括我们正在进行的一项关于三叶结的数值模拟工作。涡旋重联是湍流这一重大课题的子问题。它是一种拓扑非守恒变化,过程中往往伴随着能量的改变。从拓扑学的角度研究重联在湍流问题中扮演什么角色,就需要首先确认过程中哪些拓扑不变量不会发生变化、哪些会变化。本论文的第一个创新点在于:通过监控演化过程中的几个典型物理量和拓扑量,最终验证了缠绕数在流体Hopf链环的量子涡旋结构中的确实能够保持拓扑不变性与对称性。这样一来,下一步研究中需要凸显重联中出现的阶梯化跃变时,就需选取缠绕数以外的拓扑不变量(比如基于螺旋度构造出来的纽结多项式等不变量)。论文的第二个创新点在于:研究过程中还发现平庸螺旋度(螺旋度在无旋部分的取值)可作为检测指标来判断边界条件等环境变量是否合理,故平庸螺旋度是良好的数值稳定性检验指标。模型所获结果的鲁棒性(robustness)也可使用包括这一手段在内的方法给出检验。