自然界中的斑图,多姿多彩,千姿百态。反应扩散系统作为描述客观世界的重要模型,研究其斑图动力学随系统参数变化的规律,有助于我们深入理解事物的本质。Gierer-Meinhardt模型是由生物学家建立的一个重要而典型的反应扩散系统模型,此模型一直是研究者们关注的热点。微分方程和动力系统的相关理论可以较好地实现从有限维动力系统到无穷维动力系统的过渡,从而加深对有限维到无限维的理解。本文结合特征多项式的特征值分析、稳定性定理、规范型和中心流形定理理论,研究了Gierer-Meinhardt模型在Neumann边界条件下的Hopf分支和图灵失稳。具体内容总结如下:1.研究了Gierer-Meinhardt模型的活化剂-抑制剂模型。经推导得到了模型正平衡点的存在性和稳定性条件,证实了模型在一定参数范围内经历的Hopf分支是超临界的。其次,讨论了扩散作用对系统平衡点和分支产生的周期解稳定性的影响,得到了图灵失稳的条件,并通过对理论结果的数值模拟,验证了系统具体的斑图形态。2.研究了活化剂带有饱和作用的Gierer-Meinhardt模型。通过论证得到了模型唯一正平衡点的稳定性和产生Hopf分支的精确参数条件。结果表明,在一定参数范围内,模型的Hopf分支是超临界的或者是次临界的。此外,进一步验证了除由Hopf分支产生的周期解外,还至少存在一个稳定极限环的结论。最后,讨论了模型发生图灵失稳的条件,并通过数值模拟对结果进行了验证。结果表明,系统的图灵斑图是条状或点状的。