信号的采集和恢复问题很早就被提出,并且已经有了一些很经典的结论,它的理论依据亦是日渐完善.随着时代的发展,人们对信号的采样频率与处理速度的要求越来越高,过大的采样频率耗时费力,已经不能满足时代的需求了.近些年Donoho等人提出了压缩感知这一理论.他提出了只要信号在某个变换下是稀疏的,那么就不需要进行大量的观测采样,在满足一定条件下,观测数就可以大幅度的减少,并以很大的概率重构出原始的信号或者图像.对于稀疏信号重构问题,l1范数最小化给出了一个凸优化方法,可以通过转化变成一个求解线性规划的问题,以此来代替l0范数求解原问题.本文主要研究了l1范数最小化方法下恢复信号的可行性及能够精确恢复出信号所需的条件.作为l1范数的推广,原子范数与信号的压缩感知理论也有很大的联系.引入原子范数的思想,给这样更一般的问题提供了很好的思路.受l1范数最小化方法的启发,本文将l1范数最小化方法的结论在原子范数中进行了推广及验证.本文的主要工作包括以下几个方面：(1)介绍压缩感知理论及其数学模型.(2)论证l1范数最小化方法恢复稀疏向量的可行性,探讨在满足何种条件下才能精确的恢复出稀疏向量,并推导出恢复稀疏向量所需要的最少观测数量.(3)对原子范数理论进行介绍,将l1范数最小化方法的结论进行推广及验证.