【摘 要】
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本文研究了用等熵无旋的位势流方程描述的定常可压缩理想流体在二维收缩管道内连续亚音速—音速流动的适定性问题,使用的主要方法是Schauder不动点定理和能量估计.本文主体内容共分四部分.第一部分为绪论,简要地介绍了亚音速—音速流问题的历史发展和研究进展,以及前人关于Euler方程的一些工作,然后对本文研究的连续亚音速—音速流的扰动问题,给出了问题的提法和处理上的大体思路.在接下来的三部分中,我们分别
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本文研究了用等熵无旋的位势流方程描述的定常可压缩理想流体在二维收缩管道内连续亚音速—音速流动的适定性问题,使用的主要方法是Schauder不动点定理和能量估计.本文主体内容共分四部分.第一部分为绪论,简要地介绍了亚音速—音速流问题的历史发展和研究进展,以及前人关于Euler方程的一些工作,然后对本文研究的连续亚音速—音速流的扰动问题,给出了问题的提法和处理上的大体思路.在接下来的三部分中,我们分别研究了入口和入口处来流速度角同时扰动的情形,管道的入口和管道壁双重扰动的情形,三种扰动同时发生的情形.与入口扰动的情形相比,我们所考虑的问题更具有一般性,数学研究上也更复杂和困难.这些扰动问题的主要困难在于流体所满足的方程不仅在音速界面上是退化的,而且音速界面是自由的,因此这些扰动问题都是一个在自由边界上具有退化性的拟线性椭圆方程问题.此外,入口处来流速度角的扰动会带来新的自由边界,而管道壁的扰动会产生新的非局部边值条件,且在这种扰动情形时,流体的质量通量是与流体的速度相关的.也就是说,在位势平面上,我们在第一章中考虑的是一个具有两个自由边界且入口处有非局部边界条件的退化问题,在第二章中,研究的是一个具有两个自由边界且入口处和出口处具有非局部边界条件的退化问题,而在最后一章中,所要研究的退化问题具有三个自由边界且入口处和出口处的边界条件都是非局部的.我们通过选取适当的解空间和迭代过程以及一系列细致的先验估计,利用Schauder不动点定理和能量估计证明了这三种连续亚音速-音速流的扰动问题的适定性,并刻画了流体的音速位置和流体在音速附近的性态.这些亚音速-音速流的音速点构成了一条自由边界,流体在音速边界上是奇异的,即流体的速度在音速边界上连续但加速度爆破.
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