20世纪20年代,芬兰著名数学家R.Nevanlinna系统应用Poisson-Jensen公式,创立了亚纯函数值分布理论,这不仅对数学的其他分支产生了重大的影响,而且也为复微分方程理论的研究提供了极其重要的研究方法。复差分方程的Nevanlinna值分布理论是近期才建立起来的,其中最重要的结论是差分形式的对数导数引理。Chiang-Feng[12]和Halburd-Korhonen[15]分别给出了对数导数引理的两种表达形式。Halburd-Korhonen[14]在差分算子的基础上给出了差分形式的Nevanlinna值分布理论。本文将以Nevanlinna值分布理论为主要工具,研究微分方程及差分方程解的问题。本研究分为四个部分：　　 第一章：简单介绍Nevanlinna值分布理论和常用符号,以及一些经典结论。　　 第二章：主要考虑方程F(k)-1=Reα(F-1)(0-1)的解的情况。其中R=N/M为有理函数,M、N均为多项式,F=fn,α为任意整函数。得到下面的结论：定理2.1若正整数n、k满足n≥k+1,则方程(0-1)具有超越整函数解f且f=ceλz/n,其中λk=1,C为非零常数。　　 第三章：首先讨论方程△2f(z)+A(z)△f(z)+B(z)f(z)=0(0-2)的解的振荡性,得到以下定理。定理3.1设A(z)为有穷级整函数并且具有有穷亏值,B(z)为超越整函数。若存在两个正数α,β以及对于任意给定的正数ε,存在两个有限实数集合{φk}和{θk}满足φ1＜θ1＜φ2＜θ2＜＜φm＜θm＜φm+1(φm+1=φ1+2π)和∑m k=1(φk+1-θk)＜ε使得|B(z)|≥exp{(1+o(1))α|z|β}(r→∞,φk≤argz≤θk,k=1,2，m),则差分方程(0-2)的任意非零解f(z)满足p(f)≥1。用类似于定理3.1的证明方法,我们还得到定理3.2。另外,我们用差分算子代替杨重竣、I.Laine[19]中的平移算子,得到下面的定理：定理3.3假设整数n≥4,q(z)为任意多项式,p1.、p2、α1、α2为非零常数,且α1≠α2,若方程fn+q(z)△f(z)=p1eα1z+pzeα2z(0-3)。存在超越整函数解f,则f具有如下形式之一:(1)f(z)=c1eα1z/n;(2)f(z)=c2eα2z/n,其中c1,c2为非零常数,且c1n=p1,c2n=p2。对于n=3的情况,有如下结论：定理3.4对于非线性差分方程f3+q(z)△3f(z)=csin bz(0-4)。若q(z)为非常数多项式,b,C为非零复数,则方程(0-4)没有有限阶整函数解;若q(z)=q为一非零复数,则当b=3,nπ,n为奇数,q3=27/2048c2或b=6nπ±π,q3=-27/4 c2时,方程(0-4)的解为f=c1ebiz/3+c2e-biz/3,c31=-c32=c/2i。　　 第四章：讨论惟一性问题。首先考虑两个平移算子多项式分担多项式的惟一性问题,得到的结论推广了Qiu和Fang[23]的有关结论。定理4.1假设f、g为有限阶超越整函数,c,c1,c2，cn为复常数且C≠0,p(z)为非零多项式,n、l∈N.若n≥2l+4,∏nj=1f(z+cj)f(z+c)和∏nj=1g(z+cj)g(z+c)分担p(z)CM,且N(r,fn+1/∏nj=1f(z+cj)f(z+c))≤lT(r,f),N(r,gn+1/∏nj=1g(z+cj)g(z+c))≤lT(r,g),则f=tg,t为常数且满足tn+1=1。本章中,还考虑{fn(λf+μ)}(k)和{gn(λg+μ)}(k)分担一个多项式的惟一性问题得到：定理4.2假设超越亚纯函数f、g的零点和极点的重级至少为s.s、n、k∈N,(O)(∞,f)＞2/n,n＞9k+20,max{x1,x2}＜0.若{fn(λf+μ)}(k)和{gn(λg+μ)}(k)分担p(z)IM,则f=g,其中λ,μ∈C且|λ|+|μ|≠0,p(z)为非零多项式,x1=2/(n-2k+1)+2/[(n+1)s+2k]+(2k+1)/[(n+1)s+k]+1-2(O)(-μ/λ,f)+ε,x2=2/(n-2k+1)+2/[(n+1)s+2k]+(2k+1)/[(n+1)s+k]+1-2(O)(-μ/λ,g)+ε。另外,讨论f(z)与△nηf(z)或f(z+η)CM分担小函数α(z)时的惟一性,得到的结论推广了李异和高宗升[28]的结论。定理4.3假设f为有穷级的超越整函数,α(z)为其小函数。如果f(z)和△nηf(z)分担α(z)CM,则1≤ρ(f)。定理4.4假设f为有穷级的超越整函数,α(z)为其小函数。如果f(z)和f(z+η)分担α(z)CM,则1≤ρ(f)或f(z)=f(z+η)。