上世纪二十年代，Rolf Nevanlinna推广了早期Picard，Borel等人在整函数方面的工作进而建立了亚纯函数的值分布理论，从而引起了数学界广泛深入的研究和推广。Nevanlinna所发展的亚纯函数值分布理论的影响是极其深远的。因此现如今，值分布理论又被称之为Nevanlinna理论，其核心就是如今的Nevanlinna第一基本定理和第二基本定理。其后Ahlfors又给出了该理论的几何解释，从而更加坚实了该理论的理论基础。　　Nevanlinna理论是简洁而又深刻的，因为除了其本身的重要性外，该理论也被广泛地应用于其它数学方向的研究中。其中一个尤为重要的方面就是应用Nevanlinna理论研究复域上微分方程的解的存在性和其它性质。该理论现在已经非常成熟，同时又在不断的更新中。近年来，有一些学者将Nevanlinna理论应用到复域上差分算子和差分方程的研究中，比如，给出了差分形式的对数导数引理，研究了差分算子的零点与不动点的存在性，以及复域上差分方程解的一些性质。同时，Nevanlinna理论在复解析动力系统以及半群上的动力系统中也有广泛的应用，在此不做叙述。　　论文的第一章中，主要给出Nevanlinna理论的一些基本知识，包括一些基本的定义以及论文中将会用到的一些符号。　　假设f为定义在整个复平面上的亚纯函数。Bergweiler与Langley首次于2007年研究了差分算子△f:=f(z+c)-f(z)以及差商△f/f的零点的存在性问题。他们的结果后来被一些学者进行了深化与推广。在本论文的第二章中，将继续这一方面的研究，主要给出了在亚纯函数的增长级为1时差分算子与差商的零点与不动点存在性的条件。同时，也给出了一些简单具体的例子来说明条件的精确性。　　在第三章中，不再局限于常规的差分算子与差商。考虑了差分平移以及差商的线性组合的零点与不动点问题。该问题是第二章中提到的结论的推广，同时也与差分方程有密切关系。主要给出了在该线性组合的系数满足何种条件时，该线性组合有无穷多个零点和无穷多个不动点。该问题研究的关键在于，在满足这些条件时线性组合是超越的。　　第四章是上面第三章的深化。主要考虑在何种更弱的条件下仍然可以得到第三章的结论。不过，该章节中，将使用不同于上一章中使用的Hadamard分解定理，这一章主要分析方程解的零点的分布情形，从而来导出矛盾。因为该方法更多的是依赖于方程解的本身的性质，所以所限制的条件比上一章更弱。　　在论文的最后一章，将讨论一些关于差分算子的问题，以及后续的研究。在前面几章中主要讨论的时在何种条件下差分算子有零点和不动点。此时，提出的主要问题是在何种情形下差分算子没有或者只有有限个零点或不动点。