期权定价是金融数学研究的核心问题之一,它涉及现代金融学的资产定价理论、投资组合理论以及现代数学中的随机分析、随机控制、优化理论等学科。要对风险进行有效的管理,就必须对金融衍生证券进行正确的估价,如何确定金融衍生证券的公平价格是它们合理存在与健康发展的关键。近年来,国际金融衍生市场除了人们熟知的欧式期权和美式期权之外,还涌现出了大量由标准期权变化、组合、派生出的新品种。迄今为止,包括Black-Scholes期权定价公式在内,对期权定价的研究与分析基本上都是在经典资本市场理论的线性范式下展开的。然而,经典资本市场理论的线性化分析方法有其内在的局限性,它不能解释现实金融市场资产价格变化的复杂多变的行为,在这样的背景下,资本市场的研究逐渐从线性化分析转向非线性化分析(最典型的研究是由有效市场理论转向分形市场的理论)。研究表明,基于有效市场的传统理论假设:正态分布、随机游动与独立性(布朗运动)并不能准确刻画股票价格行为,而基于分形市场的理论假设,非正态分布、实际的金融时间序列服从一个有偏的随机游走(又称为分数布朗运动)过程,具有显著的分形特征与长期记忆效应,分数布朗运动与长期记忆性能够很好描述实际资本市场的价格行为。本文从资本市场的分形特征的角度,假设股票价格变动服从分数布朗运动,对期权定价的跳-扩散模型进行扩展,提出分数跳-扩散模型,并研究了服从分数跳-扩散模型的两种奇异期权(复合期权,交换期权)的定价问题。主要成果有:①用保险精算法,在标的资产价格服从分数跳-扩散过程,且风险利率、波动率和期望收益率为时间的非随机函数的情况下,给出了一类多资产期权——欧式交换期权的定价公式。进一步说明了该公式是标准跳扩散模型下的欧式期权及欧式交换期权定价公式的推广。②用保险精算法,在标的资产价格服从分数跳-扩散过程,且风险利率、波动率和期望收益率为时间的非随机函数的情况下,给出了欧式复合期权的定价公式。该结果推广了Gukhal以及Li等关于传统跳-扩散模型下的欧式复合期权的定价公式。