随着通信技术的迅速发展,公钥密码体制在政治、经济、军事等领域的应用越来越普遍和深入,随之而来的公钥密码体制的安全性问题也受到人们越来越多的关注和重视。本文对近年来提出的若干基于Chebyshev多项式的公钥密码系统进行研究,并利用可证明安全的思想对密码体制的安全性进行了较为全面的论证,指出了在某些情况下有限域上的Chebyshev公钥密码系统的安全性与解离散对数等价,某些情况下要高于求解离散对数。Chebyshev多项式的迭代定义可以看成一个线性移位寄存器序列,利用这一性质,本文首先研究了有限域上Chebyshev多项式的周期,详细分析了周期对密码体制安全性的影响,并对参数的选择提出建议：在模P的情况下,P-1和P+1应分别有一个大的素因子,这样可以有效的避免小周期对密码体制的安全性影响。比较了三种有限域和有限环上的Chebyshev公钥密码体制的优点和缺点,利用孙子定理和周期的性质给出了有限环上的Chebyshev公钥密码体制的快速算法。这种快速算法大大减少了位操作,并且允许并行计算,对运算速度的提升非常明显。RSA, Lucas和Chebyshev公钥密码体制都是Dickson多项式的应用,本文通过研究Chebyshev多项式的周期类比它们的周期,从周期的角度分析了这些密码体制的安全性,并对参数的选择提出了建议。通过周期的研究,指出循环攻击本质上是对小周期的攻击,针对类RSA公钥密码系统提出了一种效率更高的攻击。循环攻击需要对密文重复进行幂运算,这种攻击只须密文自身多次相乘即可。为了抵抗循环攻击,RSA系统里的N=pq应满足p-1和g-1有一个大的素因子,本文结合欧拉函数的性质给出了一个简洁的证明。