论文部分内容阅读
本文主要研究了在光滑度量测度空间上和调和Ricci流下一些量化的几何分析,包括非线性扩散方程和调和方程的梯度估计,熵单调公式,特征值估计,微分Harnack不等式以及变分公式.所用到的工具有最大值原理,Moser迭代,Bochner技巧等.具体内容如下：第一章是前言部分,介绍了本文所研究问题的动机、背景和进展,以及一些本文将要讨论的问题.第二章是预备知识,包括在证明过程中涉及的概念以及基本公式,如Bakry-Emery Ricci曲率,加权的Bochner公式以及调和Ricci流的一些变分公式.第三章是本文的主要部分,考虑了三类非线性扩散方程：多孔介质方程和快速扩散方程、p-Laplacian热方程以及双重退化扩散方程.首先在光滑度量测度空间中,在m-Bakry-Emery Ricci曲率下有界条件下,对于加权多孔介质和快速扩散方程,分别证明了整体和局部Aronson-Benilan型估计与Hamilton型椭圆估计;其次当rn-Bakry-Emery Ricci曲率非负时,我们得到了加权p-Laplacian热方程解的最优梯度估计和Perelman型熵单调公式,同时给出了加权p-调和函数的局部梯度估计和加权p-Laplacian算子的第一特征值估计；最后在一般的黎曼流形上,对于双重退化扩散方程,我们也证明了最优整体梯度估计和熵单调公式,在加权情形可以得到类似的结果.第四章我们讨论了几何分析中不同类型的单调公式,并且将Colding最近关于调和函数的三个椭圆单调公式推广到了f-调和函数的情形.第五章首先回顾了微分Harnack估计的研究进程,然后给出了一类半线性抛物方程在调和Ricci流下的Li-Yau-Hamilton不等式以及插值和限制性Harnack估计,同时得到了梯度调和Ricci孤立子的第二变分公式与在调和Ricci流背景下的平均曲率流,其广义加权Gibbons-Hawking-York泛函的第一变分公式.