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我们通过研究共形几何来研究球型四元切触(spherical qc)流形.我们构造了四元切触流形上的四元Yamabe算子,它在共形变换下是协变的.一个四元切触流形称为数量曲率为正,负,零的,当且仅当它的Yamabe不变量是正,负,零的.在数量曲率为正的球型四元切触流形上,我们可以构造四元切触Yamabe算子的Green函数,并用它来构造一个共形不变量.如果四元切触正质量猜测成立的话,这是一个球型四元切触度量.球型四元切触流形上的共形几何可以用来研究Sp(n+1,1)的凸余紧子群.第一章中,我们介绍了四元切触流形,Yamabe问题,凸余紧子群以及四元Heisenberg群上的链和R-圆的历史背景和研究现状,同时介绍了本文的研究思想和主要结论.第二章中,我们介绍了四元切触流形,四元Heisenberg群,四元双曲空间,Sp(n+1,1)作用以及球型四元切触流形和连通和的基本概念及相关性质.第三章中,我们构造了四元切触Yamabe算子及其Green函数,并给出了相关性质.第四章中,我们用四元切触Yamabe算子的Green函数构造了一个共形不变张量并提出了四元切触正质量猜测.我们证明了如果四元切触正质量猜测成立的话,这是一个球型四元切触度量.同时我们还证明了两个数量曲率为正的球型四元切触流形的连通和的数量曲率也是正的.第五章中,我们回顾了Patterson-Sullivan测度的定义.对于Sp(n+1,1)的凸余紧子群Γ,我们构造了Q(Γ)/Γ上的不变度量.这里Ω(Γ)=S4n+3\Λ(Γ)且人(Γ)是Γ的极限集.我们证明了Q(Γ)/Γ的数量曲率是正,负,零的,当且仅当Γ的Poincare指数是大于,小于,等于2n+2.第六章中,我们定义了四元Heisenberg群上的链和R-圆,并给出了链在垂直投影下的性质.我们还证明了经过四元Heisenberg群上固定两点的链的唯一性,R-球的qc-水平性,并给出了R-圆与纯虚R-圆之间的关系.