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有些排列组合问题,直接考虑不易解决.如果对问题进行观察、分析、联想,把不熟悉、不规范、复杂的问题通过分割、变形、映射等手段转化为热悉的、规范的、简单的甚至模式化的问题,则可使原问题轻松获解.这种转化方法在解题过程中常用,它是我们进行解题的杠杆,不但能拓宽解题思路,还能避繁就简,化难为易.
一、抽象与具体的转化
运用集合语言,常常可以使问题更加简洁、明确、严密,能化抽象为具体.
图1
例1 6名运动员参加4×100接力赛,要求甲不跑第一棒且乙不跑第四棒,有多少种安排方法?
解:用card(A)表示甲跑第一棒的排列数,
用card(B)表示乙跑第四棒的排列数,
则card(A∩B)表示甲跑第一棒且乙跑第四棒的排列数,
A∪B表示甲跑第一棒或乙跑第四棒的排列数.
结合图1,得card
=card(I)-card(A)-card(B)+card
(A∩B).
因此所求排列数为A46-A35-A35+A24=252.
二、正与反的转化
我们解题一般总是从正面入手,习惯正向思维,但有些数学问题如果从正面入手求解繁琐、难度较大,不妨打破思维常规实行“正难则反”策略,转化为考虑问题的相反方面,往往能绝处逢生.
例2 8个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻,A、B、C三人也互不相邻,有多少种不同的站法?
解:满足A、B、C互不相邻的排法有
A55A36种,这里包含甲、乙相邻,甲、乙不相邻.
在A、B、C互不相邻的条件下,甲、乙相邻的排法有
A44A22A35种.
故有A55A36-A44A22A35=11520种.
例3 四面体的顶点和各棱的中点共10个,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有多少种?
解:从10个点中取4个点的取法有C410种,其中4点共面的分为三类:
①从四面体的每个面上的6点之中取4点,有4C46种;
②4点成一个平行四边形的4个中点,有3种;
③4点中有3点位于同一条棱,另一点是对棱中点,共有6种.
故有C410-4C46-3-6=141.
三、生与熟的转化
排列组合问题千变万化,我们经常会遇到一些较复杂的或生疏的问题.对于这些问题,我们要冷静思考,仔细分析,抓住问题的实质,将它转化为另一个与它有关的自己早已熟悉的问题去解答.化生为熟是解题的通用方略.
例4 马路上有编号为
1,2,3,…,8,9
的九只路灯,为节约用电,可以把其中的三只路灯关掉,
但不能同时关掉相邻的两只,也不能关掉两端的路灯,满足条件的关灯方法有多少种?
解:将问题转化为熟悉的问题:
3个相同的黑球不相邻地插入6个相同的白球之间(不包括首尾两侧),有多少种插法?
因为任意2个相邻白球之间最多插1个黑球,
于是,这就是从5个位置中任选3个位置的组合问题,故共有C35=10种方法.
故原题答案为10种方法.
图2
例5 某城市街道如图2所示,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有多少种?
解:从A地前往B地必须走4个横段4个竖段,用a表示横段,b表示竖段,
则问题转化为熟悉的问题:4个a,4个b的排列问题,有C48种.
所以,所求路程最短的走法有70种.
例6 楼梯共有12级,某人上楼,每步可以上一级,也可以上两级,要用8步
走完这12级楼梯,共有多少种不同的走法?
解:要用8步走完这12级楼梯,有且只有4步上两级,
于是问题化为熟悉的问题: 4个2,4个1的排列问题,有C48种.
故原题答案为70种不同的走法.
四、排列组合与概率的转化
我们常利用排列组合方法去解决古典概型问题,反过来,利用概率的思想处理某些排列组合问题,不仅思路清晰,解法简便,而且对融会贯通,促进知识的深化均有裨益.
例7 由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有多少个.
解:由数字0,1,2,3,4,5可组成没有重复数字的六位数C15A55个,
又“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”的机会均等,
故原题答案为12C15A55=300个.
例8 从7个元素a
、b、c、d、e、f、g中选取5个作排列,若a在b前,亦在c前,共有多少种不同的排法?
解:从d
、e、f、g中选取2个元素,有C24种选法,
选取的2个元素与a
、b、c作排列,有A55种排法.
因为a、b、c之中任一元素在其他两元素之前的情况是等可能的,
故原题答案为13C24A55=240种排法.
五、组合与组合数恒等式的转化
有关组合数的恒等式,虽然可以直接利用组合数的有关公式证明,但是往往过程较繁.如果细察题目特征,类比联想,构造模型,利用组合知识及“乘法原理”、“加法原理”来解决,思路明了,趣味横生.
例9 求证:
(C0n)2+(C1n)2+…+(Cnn)2=Cn2n.
解:设有
A、B两只口袋,A中装有n个不同的白球,B中装有n个不同的红球.
一方面,从A、B两只口袋中的2n个小球中取n个小球有
Cn2n种取法.
另一方面,从A、B两只口袋中的2n个小球中取n个小球可分为
n+1类:
不取A袋中的小球,有
C0nCnn=(C0n)2种;取A袋中的1个小球,有
C1nCn-1n=(C1n)2种;
取A袋中的2个小球,有C2nCn-2n=
(C2n)2种;依次类推,取A袋中的n个小球,有
CnnC0n=(Cnn)2
种.
根据加法原理,从A、B两只口袋中的2n个小球中取n个小球有
(C0n)2+(C1n)2+…+
(Cnn)2
种取法.
故原式得证.
六、映射转化
在解决问题时,注意和已解决过的问题建立一对一或多对一映射,则可使解法完整、合理,有效避免“重复”和“遗漏”.
例10 设凸六边形C的任意三条对角线都不在C的内部共点,在C的内部对角线交点数有多少个?
解:在C内相交的两条对角线对应于C的四个顶点,
反过来,C的四个顶点对应于两条对角线的一个交点.
故交点数为C46=15.
例11 △ABC内有任意不共线的2002个点,加上A、B、C三个顶点,共2005个点,把这2005
个点连线形成互不重叠的小三角形,则一共可以形成多少个小三角形?
解:小三角形与“内角和180°”之间是一一对应关系.
设一共可以形成x个小三角形,则x×180°=2002×360°+180°.
解得x=4005,即一共可以形成4005个小三角形.
例12 长方体的棱、面对角线、体对角线中,异面直线共有多少对?
解:题中涉及的直线是长方体八个顶点中任意两点的连线.
这八个顶点共可构成(C48-12)个四面体,
每个四面体对应三对异面直线.故共有174对异面直线.
七、等效转化
等效转化是物理学中一种常用转化方法,它通过换个说法、换个图形,将原问题等效转化为另一问题,通过对新问题的研究达到解决原问题的目的.在数学中,运用这种方法,往往会获得独具特色的简捷解法.
例13 组织一个球队共10人,他们从3所中学中组成,每个学校至少2人,名额分配方案有多少种?
解:将问题等效转化:
先每所学校分1个名额,剩余7个名额,3所中学每校至少1个名额,有多少种分配方案?
问题即是用2个隔板插入6个间隙中的插法有多少种?
故共有C26=15种方法.所以,原题答案为15种方法.
图3
例14 如图3(1)中的每个开关都有闭合与不闭合两种情况,因此5
个开关共有25种可能,在这25种可能中,电路从P到Q接通的情况共
有多少种?
解:电路从P到Q接通的情况分两类:
①开关3不闭合,电路图等效转化为图3(2),
则电路从P到Q接通的情况有
2×C22×(C02+C12+C22)-1=7种.
②开关3闭合,电路图等效转化为图3(3),
则电路从P到Q接通的情况有
(C12+C22)×(C12+C22)=9种.
故电路从P到Q接通的情况共有16种.
四川省苍溪中学(628400)
苍溪县城郊中学(628400)
一、抽象与具体的转化
运用集合语言,常常可以使问题更加简洁、明确、严密,能化抽象为具体.
图1
例1 6名运动员参加4×100接力赛,要求甲不跑第一棒且乙不跑第四棒,有多少种安排方法?
解:用card(A)表示甲跑第一棒的排列数,
用card(B)表示乙跑第四棒的排列数,
则card(A∩B)表示甲跑第一棒且乙跑第四棒的排列数,
A∪B表示甲跑第一棒或乙跑第四棒的排列数.
结合图1,得card
=card(I)-card(A)-card(B)+card
(A∩B).
因此所求排列数为A46-A35-A35+A24=252.
二、正与反的转化
我们解题一般总是从正面入手,习惯正向思维,但有些数学问题如果从正面入手求解繁琐、难度较大,不妨打破思维常规实行“正难则反”策略,转化为考虑问题的相反方面,往往能绝处逢生.
例2 8个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻,A、B、C三人也互不相邻,有多少种不同的站法?
解:满足A、B、C互不相邻的排法有
A55A36种,这里包含甲、乙相邻,甲、乙不相邻.
在A、B、C互不相邻的条件下,甲、乙相邻的排法有
A44A22A35种.
故有A55A36-A44A22A35=11520种.
例3 四面体的顶点和各棱的中点共10个,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有多少种?
解:从10个点中取4个点的取法有C410种,其中4点共面的分为三类:
①从四面体的每个面上的6点之中取4点,有4C46种;
②4点成一个平行四边形的4个中点,有3种;
③4点中有3点位于同一条棱,另一点是对棱中点,共有6种.
故有C410-4C46-3-6=141.
三、生与熟的转化
排列组合问题千变万化,我们经常会遇到一些较复杂的或生疏的问题.对于这些问题,我们要冷静思考,仔细分析,抓住问题的实质,将它转化为另一个与它有关的自己早已熟悉的问题去解答.化生为熟是解题的通用方略.
例4 马路上有编号为
1,2,3,…,8,9
的九只路灯,为节约用电,可以把其中的三只路灯关掉,
但不能同时关掉相邻的两只,也不能关掉两端的路灯,满足条件的关灯方法有多少种?
解:将问题转化为熟悉的问题:
3个相同的黑球不相邻地插入6个相同的白球之间(不包括首尾两侧),有多少种插法?
因为任意2个相邻白球之间最多插1个黑球,
于是,这就是从5个位置中任选3个位置的组合问题,故共有C35=10种方法.
故原题答案为10种方法.
图2
例5 某城市街道如图2所示,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有多少种?
解:从A地前往B地必须走4个横段4个竖段,用a表示横段,b表示竖段,
则问题转化为熟悉的问题:4个a,4个b的排列问题,有C48种.
所以,所求路程最短的走法有70种.
例6 楼梯共有12级,某人上楼,每步可以上一级,也可以上两级,要用8步
走完这12级楼梯,共有多少种不同的走法?
解:要用8步走完这12级楼梯,有且只有4步上两级,
于是问题化为熟悉的问题: 4个2,4个1的排列问题,有C48种.
故原题答案为70种不同的走法.
四、排列组合与概率的转化
我们常利用排列组合方法去解决古典概型问题,反过来,利用概率的思想处理某些排列组合问题,不仅思路清晰,解法简便,而且对融会贯通,促进知识的深化均有裨益.
例7 由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有多少个.
解:由数字0,1,2,3,4,5可组成没有重复数字的六位数C15A55个,
又“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”的机会均等,
故原题答案为12C15A55=300个.
例8 从7个元素a
、b、c、d、e、f、g中选取5个作排列,若a在b前,亦在c前,共有多少种不同的排法?
解:从d
、e、f、g中选取2个元素,有C24种选法,
选取的2个元素与a
、b、c作排列,有A55种排法.
因为a、b、c之中任一元素在其他两元素之前的情况是等可能的,
故原题答案为13C24A55=240种排法.
五、组合与组合数恒等式的转化
有关组合数的恒等式,虽然可以直接利用组合数的有关公式证明,但是往往过程较繁.如果细察题目特征,类比联想,构造模型,利用组合知识及“乘法原理”、“加法原理”来解决,思路明了,趣味横生.
例9 求证:
(C0n)2+(C1n)2+…+(Cnn)2=Cn2n.
解:设有
A、B两只口袋,A中装有n个不同的白球,B中装有n个不同的红球.
一方面,从A、B两只口袋中的2n个小球中取n个小球有
Cn2n种取法.
另一方面,从A、B两只口袋中的2n个小球中取n个小球可分为
n+1类:
不取A袋中的小球,有
C0nCnn=(C0n)2种;取A袋中的1个小球,有
C1nCn-1n=(C1n)2种;
取A袋中的2个小球,有C2nCn-2n=
(C2n)2种;依次类推,取A袋中的n个小球,有
CnnC0n=(Cnn)2
种.
根据加法原理,从A、B两只口袋中的2n个小球中取n个小球有
(C0n)2+(C1n)2+…+
(Cnn)2
种取法.
故原式得证.
六、映射转化
在解决问题时,注意和已解决过的问题建立一对一或多对一映射,则可使解法完整、合理,有效避免“重复”和“遗漏”.
例10 设凸六边形C的任意三条对角线都不在C的内部共点,在C的内部对角线交点数有多少个?
解:在C内相交的两条对角线对应于C的四个顶点,
反过来,C的四个顶点对应于两条对角线的一个交点.
故交点数为C46=15.
例11 △ABC内有任意不共线的2002个点,加上A、B、C三个顶点,共2005个点,把这2005
个点连线形成互不重叠的小三角形,则一共可以形成多少个小三角形?
解:小三角形与“内角和180°”之间是一一对应关系.
设一共可以形成x个小三角形,则x×180°=2002×360°+180°.
解得x=4005,即一共可以形成4005个小三角形.
例12 长方体的棱、面对角线、体对角线中,异面直线共有多少对?
解:题中涉及的直线是长方体八个顶点中任意两点的连线.
这八个顶点共可构成(C48-12)个四面体,
每个四面体对应三对异面直线.故共有174对异面直线.
七、等效转化
等效转化是物理学中一种常用转化方法,它通过换个说法、换个图形,将原问题等效转化为另一问题,通过对新问题的研究达到解决原问题的目的.在数学中,运用这种方法,往往会获得独具特色的简捷解法.
例13 组织一个球队共10人,他们从3所中学中组成,每个学校至少2人,名额分配方案有多少种?
解:将问题等效转化:
先每所学校分1个名额,剩余7个名额,3所中学每校至少1个名额,有多少种分配方案?
问题即是用2个隔板插入6个间隙中的插法有多少种?
故共有C26=15种方法.所以,原题答案为15种方法.
图3
例14 如图3(1)中的每个开关都有闭合与不闭合两种情况,因此5
个开关共有25种可能,在这25种可能中,电路从P到Q接通的情况共
有多少种?
解:电路从P到Q接通的情况分两类:
①开关3不闭合,电路图等效转化为图3(2),
则电路从P到Q接通的情况有
2×C22×(C02+C12+C22)-1=7种.
②开关3闭合,电路图等效转化为图3(3),
则电路从P到Q接通的情况有
(C12+C22)×(C12+C22)=9种.
故电路从P到Q接通的情况共有16种.
四川省苍溪中学(628400)
苍溪县城郊中学(628400)