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考情分析
直线与圆的方程问题在近几年的高考中考查强度有所增大，主要体现在两个方面：一是在选择题或填空题中考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等；二是在解答题中考查直线与圆的综合问题或是圆锥曲线中的最值与范围、含参数问题以及探讨性问题等，主要考查数形结合、分类讨论等思想.
命题特点
直线与圆在近几年高考题命题中有以下特点：①直线考查斜率的应用较多；②直线与圆的位置关系考查是重点，含参数问题较多；③试题基本上以选择填空为主，直线与圆单个知识点命题可能性很小，相互结合命题较多，多与函数、三角函数、平面向量交汇命题，主要考查数形结合、分类讨论等常用思想.
纵观近两年高考试卷中的直线与圆的命题，考查强度加大.在设计上“新且活而不偏”，这有利于试卷保持较高的信度、效度和区分度.
1. 直线重基础、显方法
例1 直线[l]过点[M（-1，2）]且与以点[P（-2，-3）]，[Q（4，0）]为端点的线段恒相交，则[l]的斜率范围是________.
解析 本题考查直线的倾斜角、斜率与正切函数的单调性.
如图，过点[M]作[y]轴的平行线与线段[PQ]交于点[N].则[kMP=5，kMQ=-25].
当直线[l]从[MP]开始绕[M]逆时针方向旋转到[MN]时，倾斜角在增大，斜率也在增大，
这时，[k≥5]，当直线[l]从[MN]开始逆时针旋转到[MQ]时，
∵正切函数在[（π2，π）]上仍为增函数，
∴斜率从[-∞]开始增加，增大到[kMQ=-25].
故直线[l]的斜率范围是[（-∞，-25]?[5，+∞）].
点拨 （1）要注意斜率的两种求法：[k=tanθ=][y1-y2x1-x2].（2）处理斜率范围和倾斜角范围时，由于涉及到正切函数的单调性，因此常常借助正切函数图象，将角分为[0，π2，π2，π]两部分分别对应斜率中的非负值和负值.（3）注意转化与化归思想的应用.
2. 求解圆的方程要注意通性通法.
例2 根据下列条件，求圆的方程.
（1）经过点[A（2，0），B（4，0），C（0，2）；]
（2）求过点[A（1，-1），B（-1，1）]且圆心在直线[x+y][-2=0]上的圆的方程；
（3）经过[P（-2，4），B（3，-1）]两点，并且在[x]轴上截得的弦长等于6.
解析 （1）设圆的方程为[x2+y2+Dx+Ey][+F=0]，
则有[4+2D+F=0，16+4D+F=0， ?D=-6，E=-6，F=8.2E+F+4=0]
所以圆的方程是[x2+y2-6x-6y+8=0].
（2）由题意可知，圆心在线段[MN]的中垂线上，又[kAB=-1]且线段[k]的中点为[（0，0）]，
则线段[AB]的中垂线方程为[y=x].
联立得，[y=x，x+y-2=0]
∴圆心为[（1，1）]，半径[r=（1-1）2+（1+1）2=2].
∴所求圆的方程为[（x-1）2+（y-1）2=4].
（3）设圆的方程为[x2+y2+Dx+Ey+F=0]，
将P，Q两点的坐标分别代入得， [2D-4E-F=20，①3D-E+F=-10.②]
又令[y=0，]得[x2+Dx+F=0].
由[|x1-x2|=6]（其中[x1，x2]是方程[x2+Dx+F=0]的两根），
∴[D2-4F=36].③
联立①②③，
解得，[D=-2，E=-4，F=-8，]或[D=-6，E=-8，F=0.]
∴所求圆的方程为[x2+y2-2x-4y-8=0，]或[x2+y2][-6x-8y=0].
点拨 求圆的方程有两种方法：（1）几何法，即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量（圆心、半径）和方程；（2）代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，
3. 直线与圆的位置关系是高考重点，重交汇、重能力
例3 已知向量[m=（2cosα，2sinα），n=（3cosβ，][3sinβ），]若[m]与[n]的夹角为[60°]，则直线[l：xcosα-ysinα][+12=0]与圆[C：（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=12]的位置关系是 （ ）
A.相交但不过圆心 B.相交过圆心
C.相切 D.相离
解析 ∵[m?n|m|?|n|=6（cosαcosβ+sinαsinβ）2×3] [=cos（α-β）=cos60°=12]，
∴圆心[C（cosβ，-sinβ）]到直线[l]的距离
[d=|cos（α-β）][+12|=1>22=r]，
∴直线与圆相离.
答案 D
点拨 （1）有关直线和圆的位置关系，一般用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.数形结合法是解决直线与圆位置关系的重要方法.（2）当直线和圆相切时，求切线方程一般用圆心到直线的距离等于半径，求切线段的长一般用切线段、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；直线与圆相交时，弦长的计算用圆心距、半径及弦长一半构成的直角三角形.（3）求经过已知点的切线方程时，要分清点在圆外还是在圆上，并且要注意切线斜率不存在的情况.（4）分类讨论及数形结合的思想在本讲中有广泛的应用，在分类讨论时，应做到不重不漏.
备考指南
（1）明确要素：要明确直线与圆的几何要素，会根据已知条件求直线或圆的方程. （2）明确思路：要掌握直线方程的各种形式及其适用范围、圆的标准方程和一般方程；明确直线与圆的位置关系的判定方法，尤其注意圆的切线求法.
（3）注意细节：联立直线与圆锥曲线方程后，要注意对二次项系数和判别式进行讨论，要注意直线与圆锥曲线有一个交点和相切的区别.
限时训练
1. 下列四个命题中真命题是 （ ）
A. 经过定点[P0（x0，y0）]的直线都可以用方程[y-y0=k（x-x0）]表示
B.经过任意两个不同点[P1（x1，y1）]，[P2（x2，y2）]的直线可以用方程：[（y-y1）（x2-x1）-（x-x1）（y2-y1）=0]表示
C.不过原点的直线都可以用[xa+yb=1]表示
D.经过定点[A（0，b）]的直线都可以用方程[y=kx+b]表示
2. 已知条件[p：k=3；]条件[q：]直线[y=kx+2]与圆[x2+y2=1]相切，则[p]是[q]的 （ ）
A.充要条件
B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件
D.必要不充分条件
3. 过点[（3，1）]作圆[（x-1）2+y2=1]的两条切线，切点分别为[A，B]，则直线[AB]的方程为 （ ）
A.[2x+y-3=0] B.[2x-y-3=0]
C.[4x-y-3=0] D.[4x+y-3=0]
4. 设椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的离心率为[e=12]，右焦点为[F（c，0）]，方程[ax2+bx-c=0]的两个实根分别为[x1]和[x2]，则点[P（x1，x2）] （ ）
A.必在圆[x2+y2=2]内
B.必在圆[x2+y2=2]上
C.必在圆[x2+y2=2]外
D.以上三种情形都有可能
5. 过点[（2，0）]引直线[l]与曲线[y=1-x2]相交于[A，B]两点，[O]为坐标原点，当[△ABC]的面积取最大值时，直线[l]的斜率等于 （ ）
A. [33] B. [-33]
C. [±33] D. [-3]
6. 在[O]点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于[P]点，一分钟后，其位置在[Q]点，且[∠POQ=90°]，再过两分钟后，该物体位于[R]点，且[∠QOR=30°]，则[tan∠OPQ]的值为 （ ）
A.[32] B.[233]
C.[32] D.[23]
7.6支签字笔与3本笔记本的金额之和大于24元，而4支签字笔与5本笔记本的金额之和小于22元，则2支签字笔与3本笔记本的金额比较结果是 （ ）
A.3本笔记本贵 B.2支签字笔贵
C.相同 D.不确定
8.设[P]为曲线[C：y=x2+2x+3]上的点，且曲线[C]在点[P]处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点[P]横坐标的取值范围为 （ ）
A.[-1，-12] B.[-1，0]
C.[0，1] D.[12，1]
9. 若曲线[C1：x2+y2-2x=0]与曲线[C2：y（y-mx-m）=0]有4个不同的交点，则实数[m]的取值范围是 （ ）
A. [（-33，33）] B. [（-33，0）?（0，33）]
C. [[-33，33]] D. [（-∞，-33）?（33，+∞）]
10. 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”.已知直线[l1：ax+3y+6=0，l2：2x+（a+1）y+6=0，]和圆[C：x2+y2+2x=][b2-1（b>0）]的位置关系是“平行相交”，则[b]的取值范围为 （ ）
A. [（2，322）] B. [（0，2）]
C. [（0，322）] D. [（2，322）?（322，+∞）]
11. 圆心在直线[x-2y+7=0]上的圆[C]与[x]轴交于两点[A（-2，0），B（-4，0）]，则圆[C]的方程为__________.
12. 已知直线[x+y+m=0]与圆[x2+y2=4]交于不同的两点[A，B，O]是坐标原点，[|OA+OB|≥|AB|]，则实数[m]的取值范围是_____________.
14. 设[A=（x，y）|（x-3）2+（y-4）2=45，]
[B=（x，y）|（x-3）2+（y-4）2=165]，
[C=（x，y）|2|x-3|+|y-4|=λ]，
若[（A?B）][?C≠?]，则实数[λ]的取值范围是_________.
15. 已知直线[l1]过点[A（2，1），B（0，3）]，直线[l2]的斜率为[-3]，且过点[C（4，2）].
（1）求[l1]，[l2]的交点[D]的坐标；
（2）已知点[M（-2，2），N（152，72）]，若直线[l3]过点[D]且与线段[MN]相交，求直线[l3]的斜率[k]的取值范围.
16. 已知圆[C]的方程为[x2+（y-4）2=4]，点[O]是坐标原点.直线[l：y=kx]与圆[C]交于[M，N]两点.
（1）求[k]的取值范围；
（2）设[Q（m，n）]是线段[MN]上的点，且[2|OQ|2=1|OM|2][+1|ON|2].请将[n]表示为[m]的函数.
17. 已知半径为2，圆心在直线[y=-x+2]上的圆[C].
（1）当圆[C]经过点[A（2，2）]且与[y]轴相切时，求圆[C]的方程；
（2）已知[E（1，1），F（1，-3）]，若圆[C]上存在点[Q]，使[|QF|2-|QE|2=32]，求圆心的横坐标[a]的取值范围.
18. 如图，圆[C：x2-（1+a）x+y2-ay+a=0].
（1）若圆[C]与[x]轴相切，求圆[C]的方程.
（2）已知[a>1]，圆[C]与[x]轴相交于两点[M，N]（点[M]在点[N]的左侧）.过点[M]任作一条直线与圆[O：x2+y2=4]相交于两点[A，B].问：是否存在实数[a]，使得[∠ANM=∠BNM]？若存在，求出实数[a]的值；若不存在，请说明理由.
直线与圆的方程问题在近几年的高考中考查强度有所增大，主要体现在两个方面：一是在选择题或填空题中考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等；二是在解答题中考查直线与圆的综合问题或是圆锥曲线中的最值与范围、含参数问题以及探讨性问题等，主要考查数形结合、分类讨论等思想.
命题特点
直线与圆在近几年高考题命题中有以下特点：①直线考查斜率的应用较多；②直线与圆的位置关系考查是重点，含参数问题较多；③试题基本上以选择填空为主，直线与圆单个知识点命题可能性很小，相互结合命题较多，多与函数、三角函数、平面向量交汇命题，主要考查数形结合、分类讨论等常用思想.
纵观近两年高考试卷中的直线与圆的命题，考查强度加大.在设计上“新且活而不偏”，这有利于试卷保持较高的信度、效度和区分度.
1. 直线重基础、显方法
例1 直线[l]过点[M（-1，2）]且与以点[P（-2，-3）]，[Q（4，0）]为端点的线段恒相交，则[l]的斜率范围是________.
解析 本题考查直线的倾斜角、斜率与正切函数的单调性.
如图，过点[M]作[y]轴的平行线与线段[PQ]交于点[N].则[kMP=5，kMQ=-25].
当直线[l]从[MP]开始绕[M]逆时针方向旋转到[MN]时，倾斜角在增大，斜率也在增大，
这时，[k≥5]，当直线[l]从[MN]开始逆时针旋转到[MQ]时，
∵正切函数在[（π2，π）]上仍为增函数，
∴斜率从[-∞]开始增加，增大到[kMQ=-25].
故直线[l]的斜率范围是[（-∞，-25]?[5，+∞）].
点拨 （1）要注意斜率的两种求法：[k=tanθ=][y1-y2x1-x2].（2）处理斜率范围和倾斜角范围时，由于涉及到正切函数的单调性，因此常常借助正切函数图象，将角分为[0，π2，π2，π]两部分分别对应斜率中的非负值和负值.（3）注意转化与化归思想的应用.
2. 求解圆的方程要注意通性通法.
例2 根据下列条件，求圆的方程.
（1）经过点[A（2，0），B（4，0），C（0，2）；]
（2）求过点[A（1，-1），B（-1，1）]且圆心在直线[x+y][-2=0]上的圆的方程；
（3）经过[P（-2，4），B（3，-1）]两点，并且在[x]轴上截得的弦长等于6.
解析 （1）设圆的方程为[x2+y2+Dx+Ey][+F=0]，
则有[4+2D+F=0，16+4D+F=0， ?D=-6，E=-6，F=8.2E+F+4=0]
所以圆的方程是[x2+y2-6x-6y+8=0].
（2）由题意可知，圆心在线段[MN]的中垂线上，又[kAB=-1]且线段[k]的中点为[（0，0）]，
则线段[AB]的中垂线方程为[y=x].
联立得，[y=x，x+y-2=0]
∴圆心为[（1，1）]，半径[r=（1-1）2+（1+1）2=2].
∴所求圆的方程为[（x-1）2+（y-1）2=4].
（3）设圆的方程为[x2+y2+Dx+Ey+F=0]，
将P，Q两点的坐标分别代入得， [2D-4E-F=20，①3D-E+F=-10.②]
又令[y=0，]得[x2+Dx+F=0].
由[|x1-x2|=6]（其中[x1，x2]是方程[x2+Dx+F=0]的两根），
∴[D2-4F=36].③
联立①②③，
解得，[D=-2，E=-4，F=-8，]或[D=-6，E=-8，F=0.]
∴所求圆的方程为[x2+y2-2x-4y-8=0，]或[x2+y2][-6x-8y=0].
点拨 求圆的方程有两种方法：（1）几何法，即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量（圆心、半径）和方程；（2）代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，
3. 直线与圆的位置关系是高考重点，重交汇、重能力
例3 已知向量[m=（2cosα，2sinα），n=（3cosβ，][3sinβ），]若[m]与[n]的夹角为[60°]，则直线[l：xcosα-ysinα][+12=0]与圆[C：（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=12]的位置关系是 （ ）
A.相交但不过圆心 B.相交过圆心
C.相切 D.相离
解析 ∵[m?n|m|?|n|=6（cosαcosβ+sinαsinβ）2×3] [=cos（α-β）=cos60°=12]，
∴圆心[C（cosβ，-sinβ）]到直线[l]的距离
[d=|cos（α-β）][+12|=1>22=r]，
∴直线与圆相离.
答案 D
点拨 （1）有关直线和圆的位置关系，一般用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.数形结合法是解决直线与圆位置关系的重要方法.（2）当直线和圆相切时，求切线方程一般用圆心到直线的距离等于半径，求切线段的长一般用切线段、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；直线与圆相交时，弦长的计算用圆心距、半径及弦长一半构成的直角三角形.（3）求经过已知点的切线方程时，要分清点在圆外还是在圆上，并且要注意切线斜率不存在的情况.（4）分类讨论及数形结合的思想在本讲中有广泛的应用，在分类讨论时，应做到不重不漏.
备考指南
（1）明确要素：要明确直线与圆的几何要素，会根据已知条件求直线或圆的方程. （2）明确思路：要掌握直线方程的各种形式及其适用范围、圆的标准方程和一般方程；明确直线与圆的位置关系的判定方法，尤其注意圆的切线求法.
（3）注意细节：联立直线与圆锥曲线方程后，要注意对二次项系数和判别式进行讨论，要注意直线与圆锥曲线有一个交点和相切的区别.
限时训练
1. 下列四个命题中真命题是 （ ）
A. 经过定点[P0（x0，y0）]的直线都可以用方程[y-y0=k（x-x0）]表示
B.经过任意两个不同点[P1（x1，y1）]，[P2（x2，y2）]的直线可以用方程：[（y-y1）（x2-x1）-（x-x1）（y2-y1）=0]表示
C.不过原点的直线都可以用[xa+yb=1]表示
D.经过定点[A（0，b）]的直线都可以用方程[y=kx+b]表示
2. 已知条件[p：k=3；]条件[q：]直线[y=kx+2]与圆[x2+y2=1]相切，则[p]是[q]的 （ ）
A.充要条件
B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件
D.必要不充分条件
3. 过点[（3，1）]作圆[（x-1）2+y2=1]的两条切线，切点分别为[A，B]，则直线[AB]的方程为 （ ）
A.[2x+y-3=0] B.[2x-y-3=0]
C.[4x-y-3=0] D.[4x+y-3=0]
4. 设椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的离心率为[e=12]，右焦点为[F（c，0）]，方程[ax2+bx-c=0]的两个实根分别为[x1]和[x2]，则点[P（x1，x2）] （ ）
A.必在圆[x2+y2=2]内
B.必在圆[x2+y2=2]上
C.必在圆[x2+y2=2]外
D.以上三种情形都有可能
5. 过点[（2，0）]引直线[l]与曲线[y=1-x2]相交于[A，B]两点，[O]为坐标原点，当[△ABC]的面积取最大值时，直线[l]的斜率等于 （ ）
A. [33] B. [-33]
C. [±33] D. [-3]
6. 在[O]点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于[P]点，一分钟后，其位置在[Q]点，且[∠POQ=90°]，再过两分钟后，该物体位于[R]点，且[∠QOR=30°]，则[tan∠OPQ]的值为 （ ）
A.[32] B.[233]
C.[32] D.[23]
7.6支签字笔与3本笔记本的金额之和大于24元，而4支签字笔与5本笔记本的金额之和小于22元，则2支签字笔与3本笔记本的金额比较结果是 （ ）
A.3本笔记本贵 B.2支签字笔贵
C.相同 D.不确定
8.设[P]为曲线[C：y=x2+2x+3]上的点，且曲线[C]在点[P]处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点[P]横坐标的取值范围为 （ ）
A.[-1，-12] B.[-1，0]
C.[0，1] D.[12，1]
9. 若曲线[C1：x2+y2-2x=0]与曲线[C2：y（y-mx-m）=0]有4个不同的交点，则实数[m]的取值范围是 （ ）
A. [（-33，33）] B. [（-33，0）?（0，33）]
C. [[-33，33]] D. [（-∞，-33）?（33，+∞）]
10. 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”.已知直线[l1：ax+3y+6=0，l2：2x+（a+1）y+6=0，]和圆[C：x2+y2+2x=][b2-1（b>0）]的位置关系是“平行相交”，则[b]的取值范围为 （ ）
A. [（2，322）] B. [（0，2）]
C. [（0，322）] D. [（2，322）?（322，+∞）]
11. 圆心在直线[x-2y+7=0]上的圆[C]与[x]轴交于两点[A（-2，0），B（-4，0）]，则圆[C]的方程为__________.
12. 已知直线[x+y+m=0]与圆[x2+y2=4]交于不同的两点[A，B，O]是坐标原点，[|OA+OB|≥|AB|]，则实数[m]的取值范围是_____________.
14. 设[A=（x，y）|（x-3）2+（y-4）2=45，]
[B=（x，y）|（x-3）2+（y-4）2=165]，
[C=（x，y）|2|x-3|+|y-4|=λ]，
若[（A?B）][?C≠?]，则实数[λ]的取值范围是_________.
15. 已知直线[l1]过点[A（2，1），B（0，3）]，直线[l2]的斜率为[-3]，且过点[C（4，2）].
（1）求[l1]，[l2]的交点[D]的坐标；
（2）已知点[M（-2，2），N（152，72）]，若直线[l3]过点[D]且与线段[MN]相交，求直线[l3]的斜率[k]的取值范围.
16. 已知圆[C]的方程为[x2+（y-4）2=4]，点[O]是坐标原点.直线[l：y=kx]与圆[C]交于[M，N]两点.
（1）求[k]的取值范围；
（2）设[Q（m，n）]是线段[MN]上的点，且[2|OQ|2=1|OM|2][+1|ON|2].请将[n]表示为[m]的函数.
17. 已知半径为2，圆心在直线[y=-x+2]上的圆[C].
（1）当圆[C]经过点[A（2，2）]且与[y]轴相切时，求圆[C]的方程；
（2）已知[E（1，1），F（1，-3）]，若圆[C]上存在点[Q]，使[|QF|2-|QE|2=32]，求圆心的横坐标[a]的取值范围.
18. 如图，圆[C：x2-（1+a）x+y2-ay+a=0].
（1）若圆[C]与[x]轴相切，求圆[C]的方程.
（2）已知[a>1]，圆[C]与[x]轴相交于两点[M，N]（点[M]在点[N]的左侧）.过点[M]任作一条直线与圆[O：x2+y2=4]相交于两点[A，B].问：是否存在实数[a]，使得[∠ANM=∠BNM]？若存在，求出实数[a]的值；若不存在，请说明理由.