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三、数列知识与其它数学知识交汇问题
例10 （辽宁理16）已知数列{an}满足a1=33,an+1－an=2n,则ann的最小值为__________ .
解析：an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+…+(a2－a1)+a1= 2+33=33+n2－n，
所以ann=33n+n－1，设f(x)=33x+x－1，令f′(x)=－33x2+1>0，
则f(x)在(33,+∞)上是单调递增，在(0,33)上是递减，
因为n∈N，所以当n=5或6时，f(n)即ann有最小值．
又因为a55=535，a66=636=212，所以ann的最小值是a66=212．
点评：本题考查了递推数列的通项公式的求解，研究构造函数利用导数判断函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．
例11 （2010年江苏8）函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,a2k)处的切线与轴交点的横坐标为ak+1，其中k∈N，a1=16，则a1+a3+a5=__________ .
解析：在点(ak,a2k)处的切线方程为：y-a2k=2ak(x-ak),
当y=0时，解得x=ak2，
所以ak+1=ak2,a1+a3+a5=16+4+1=21．
点评：考查了函数的切线方程、等比数列的通项等基础知识，同时考查了学生的综合运算能力．
例12 （2010年安徽文21）设C1,C2,…,Cn,…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=33x相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半径，已知{rn}为递增数列．
（1）证明：{rn}为等比数列；
（2）设r1=1，求数列{nrn}的前n项和．
解析：
（1）证明：将直线y=33x的倾斜角记为θ，则有tanθ=33,sinθ=12．设Cn的圆心为(λn,0)，则由题意知rnλn=12,得λn=2rn．
同理λn+1=2rn+1，从而λn+1=λn+rn+rn+1=2rn+1，将λn=2rn代入，解得rn+1=3rn．
故{rn}为公比q=3的等比数列．
(2)由于r1=1，q=3故rn=3n－1，从而nrn=n•31－n，
记Sn=1r1+2r2+…+nrn,则有 Sn=1+2•3－1+3•3－2+…+n•31－n, ①
Sn3=1•3－1+2•3－2+3•3－3+…+n•3－n, ②
① - ②得2Sn3=1+3－1+3－2+3－3+…+31－n－n•3－n
=1－3－n23－n•3－n=32－(n+32)•3－n,
所以Sn=94－12(n+32)•31－n
=9－(2n+3)•31－n4.
点评：本题考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力．对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项an与an+1之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式是由等差与等比数列的积构成的数列，通常利用前n项和Sn乘以公比，然后错位相减解决.
例13 （2010年湖南理）数列{an}(n∈N*)中，a1=a,an+1是函数fn(x)=13x3－12(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点.
（1）当a=0时，求通项an；
（2）是否存在a，使数列{an}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.
解析：易知f′n(x)=x2－(3an+n2)x+3n2an=(x－3an)(x－n2).
令f′n(x)=0，得x1=3an,x2=n2.
（1）a1=0,a2=1,a3=4,a4=12,a5=36由此猜测：当n≥3时，an=4×3n－3.
下面先用数学归纳法证明：当n≥3时，3an>n2.
事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立.假设当n=k(k≥3)时，3ak>k2成立，
则ak+1=3ak>k2，从而3ak+1=9k2>(k+1)2成立故当n≥3时，3an>n2成立.
综上所述，当a=0时，a1=0，a2=1，an=4×3n－3(n≥3).
（2）存在a，使数列{an}是等比数列.
事实上，由（2）知，若对任意的n，都有3an>n2，则an+1=3an.即数列{an}是首项为a，公比为3的等比数列，且an=a•3n-1.而要使3an>n2，即a•3n>n2对一切n∈N都成立，只需a>n23n对一切n∈N都成立.
记bn=n23n，则b1=13,b2=49,b3=13,….
令y=x23x，则y/=13x(2x－x2ln3)<13x(2x－x2)，因此当x≥2时，y/<0，
从而函数y=x23x在49．于是当a>49时，必有a>n23n．这说明，当a∈(49,+∞)时，数列{an}是等比数列．
当a=49时，可得a1=49,a2=43．而3a2=4=22进而可知f2(x)无极值，不合题意．
当13 当a=13时，3a=1=12，进而可知f1(x)无极值，不合题意．
当a<13可得a1=a,a2=1,a3=4,a4=12,…故数列不是等比数列．
综上所述，存在a，使得{an}是等比数列，且a的取值范围是(49,+∞)．
点评：本题是一个大综合题，除了考查有关知识外，还考查了学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分类讨论思想和构造方法．
例14 （2010年江西理22）证明以下命题：
（1）对任一正整数a,都存在整数b,c(b （2）存在无穷多个互不相似的三角形，其边长a2n，b2n，c2n为正整数且成等差数列．
解析：（1）考虑到结构要证a2+c2=2b2，类似勾股数进行拼凑．
证明：考虑到结构特征，取特值12,52,72满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立．
（2）结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷．
证明：当a2n，b2n，c2n成等差数列，则b2n－a2n=c2n－b2n，
分解得：(bn+an)(bn－an)=(cn+bn)(cn－bn)
选取关于n的一个多项式4n(n2－1)做两种途径的分解
4n(n2－1)=(2n－2)(2n2+2n)=(2n2－2n)(2n+2)
对比目标式，构造an=n2－2n－1bn=n2+1cn=n2+2n－1 (n≥4)，由第一问结论得，等差数列成立，
考察三角形边长关系，可构成三角形的三边．
下证互不相似．
任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例m2－2m－1n2－2n－1=m2+1n2+1=m2+2m－1n2+2n－1，
由比例的性质得：m－1n－1=m+1n+1m=n，与约定不同的值矛盾，故互不相似．
点评：本题竞赛味较浓，一般学生难以上手．作为压轴题，考查了等差数列的性质和反证法以及数学综合分析问题的能力以及创新能力．估计这样的数列题今后不会经常出现．
例15 （2010年江苏19）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{Sn}是公差为d的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式（用n,d表示）；
（2）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k，不等式Sm+Sn>cSk都成立．求证：c的最大值为92．
解析：（1）由题意知：d>0， 2a2=a1+a33a2=S33(S2－S1)=S3
由2a2=a1+a33a2=S33(S2－S1)=S3，3a1+d)2－a1〗=(a1+2d)2,
化简，得：a1－2a1•d+d2=0,a1=d,a1=d2，Sn=d+(n－1)d=nd,Sn=n2d2，
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=n2d2－(n－1)2d2=(2n－1)d2，适合n=1情形．
故所求an=(2n－1)d2
（2）（方法一）Sm+Sn>cSkm2d2+n2d2>c•k2d2m2+n2>c•k2，
c 2(m2+n2)>(m+n)2=9k2m2+n2k2>92，故c≤92，即c的最大值为92．
（方法二）由a1=d及Sn=a1+(n－1)d，得d>0，Sn=n2d2．
于是，对满足题设的m,n,k，m≠n，有
Sm+Sn=(m2+n2)d2>(m+n)22d2=92d2k2=92Sk．
所以c的最大值cmax≥92．
另一方面，任取实数a>92．设k为偶数，令m=32k+1,n=32k－1，则m,n,k符合条件，且Sm+Sn=(m2+n2)d2=d232k+1)2+(32k－1)2〗=12d2(9k2+4)．
于是，只要9k2+4<2ak2，即当k>22a－9时，Sm+Sn<12d2•2ak2=aSk．
所以满足条件的c≤92，从而cmax≤92． 因此c的最大值为92．
点评：本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力．
高考趋势
求数列的通项公式、研究数列的单调性、周期性和数列递推关系式的应用，是历年高考命题的重点和热点，且命题的最大亮点是创新．
2010年高考数学全国Ⅰ、Ⅱ这两套试卷和不少省市的试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.
估计以后的高考，数列的命题不仅有选择题、填空题，还有解答题，试题以等差数列、等比数列或能转化成等差数列、等比数列的题型为主，或兼顾与函数、方程、三角函数、不等式、几何图形等问题综合起来出现，试题难度大都在中档偏上，考查学生较高层次的分析问题、解决问题的能力．
（作者：徐永忠，江苏省兴化中学）
例10 （辽宁理16）已知数列{an}满足a1=33,an+1－an=2n,则ann的最小值为__________ .
解析：an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+…+(a2－a1)+a1= 2+33=33+n2－n，
所以ann=33n+n－1，设f(x)=33x+x－1，令f′(x)=－33x2+1>0，
则f(x)在(33,+∞)上是单调递增，在(0,33)上是递减，
因为n∈N，所以当n=5或6时，f(n)即ann有最小值．
又因为a55=535，a66=636=212，所以ann的最小值是a66=212．
点评：本题考查了递推数列的通项公式的求解，研究构造函数利用导数判断函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．
例11 （2010年江苏8）函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,a2k)处的切线与轴交点的横坐标为ak+1，其中k∈N，a1=16，则a1+a3+a5=__________ .
解析：在点(ak,a2k)处的切线方程为：y-a2k=2ak(x-ak),
当y=0时，解得x=ak2，
所以ak+1=ak2,a1+a3+a5=16+4+1=21．
点评：考查了函数的切线方程、等比数列的通项等基础知识，同时考查了学生的综合运算能力．
例12 （2010年安徽文21）设C1,C2,…,Cn,…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=33x相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半径，已知{rn}为递增数列．
（1）证明：{rn}为等比数列；
（2）设r1=1，求数列{nrn}的前n项和．
解析：
（1）证明：将直线y=33x的倾斜角记为θ，则有tanθ=33,sinθ=12．设Cn的圆心为(λn,0)，则由题意知rnλn=12,得λn=2rn．
同理λn+1=2rn+1，从而λn+1=λn+rn+rn+1=2rn+1，将λn=2rn代入，解得rn+1=3rn．
故{rn}为公比q=3的等比数列．
(2)由于r1=1，q=3故rn=3n－1，从而nrn=n•31－n，
记Sn=1r1+2r2+…+nrn,则有 Sn=1+2•3－1+3•3－2+…+n•31－n, ①
Sn3=1•3－1+2•3－2+3•3－3+…+n•3－n, ②
① - ②得2Sn3=1+3－1+3－2+3－3+…+31－n－n•3－n
=1－3－n23－n•3－n=32－(n+32)•3－n,
所以Sn=94－12(n+32)•31－n
=9－(2n+3)•31－n4.
点评：本题考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力．对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项an与an+1之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式是由等差与等比数列的积构成的数列，通常利用前n项和Sn乘以公比，然后错位相减解决.
例13 （2010年湖南理）数列{an}(n∈N*)中，a1=a,an+1是函数fn(x)=13x3－12(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点.
（1）当a=0时，求通项an；
（2）是否存在a，使数列{an}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.
解析：易知f′n(x)=x2－(3an+n2)x+3n2an=(x－3an)(x－n2).
令f′n(x)=0，得x1=3an,x2=n2.
（1）a1=0,a2=1,a3=4,a4=12,a5=36由此猜测：当n≥3时，an=4×3n－3.
下面先用数学归纳法证明：当n≥3时，3an>n2.
事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立.假设当n=k(k≥3)时，3ak>k2成立，
则ak+1=3ak>k2，从而3ak+1=9k2>(k+1)2成立故当n≥3时，3an>n2成立.
综上所述，当a=0时，a1=0，a2=1，an=4×3n－3(n≥3).
（2）存在a，使数列{an}是等比数列.
事实上，由（2）知，若对任意的n，都有3an>n2，则an+1=3an.即数列{an}是首项为a，公比为3的等比数列，且an=a•3n-1.而要使3an>n2，即a•3n>n2对一切n∈N都成立，只需a>n23n对一切n∈N都成立.
记bn=n23n，则b1=13,b2=49,b3=13,….
令y=x23x，则y/=13x(2x－x2ln3)<13x(2x－x2)，因此当x≥2时，y/<0，
从而函数y=x23x在49．于是当a>49时，必有a>n23n．这说明，当a∈(49,+∞)时，数列{an}是等比数列．
当a=49时，可得a1=49,a2=43．而3a2=4=22进而可知f2(x)无极值，不合题意．
当13
当a<13可得a1=a,a2=1,a3=4,a4=12,…故数列不是等比数列．
综上所述，存在a，使得{an}是等比数列，且a的取值范围是(49,+∞)．
点评：本题是一个大综合题，除了考查有关知识外，还考查了学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分类讨论思想和构造方法．
例14 （2010年江西理22）证明以下命题：
（1）对任一正整数a,都存在整数b,c(b
解析：（1）考虑到结构要证a2+c2=2b2，类似勾股数进行拼凑．
证明：考虑到结构特征，取特值12,52,72满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立．
（2）结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷．
证明：当a2n，b2n，c2n成等差数列，则b2n－a2n=c2n－b2n，
分解得：(bn+an)(bn－an)=(cn+bn)(cn－bn)
选取关于n的一个多项式4n(n2－1)做两种途径的分解
4n(n2－1)=(2n－2)(2n2+2n)=(2n2－2n)(2n+2)
对比目标式，构造an=n2－2n－1bn=n2+1cn=n2+2n－1 (n≥4)，由第一问结论得，等差数列成立，
考察三角形边长关系，可构成三角形的三边．
下证互不相似．
任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例m2－2m－1n2－2n－1=m2+1n2+1=m2+2m－1n2+2n－1，
由比例的性质得：m－1n－1=m+1n+1m=n，与约定不同的值矛盾，故互不相似．
点评：本题竞赛味较浓，一般学生难以上手．作为压轴题，考查了等差数列的性质和反证法以及数学综合分析问题的能力以及创新能力．估计这样的数列题今后不会经常出现．
例15 （2010年江苏19）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{Sn}是公差为d的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式（用n,d表示）；
（2）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k，不等式Sm+Sn>cSk都成立．求证：c的最大值为92．
解析：（1）由题意知：d>0， 2a2=a1+a33a2=S33(S2－S1)=S3
由2a2=a1+a33a2=S33(S2－S1)=S3，3a1+d)2－a1〗=(a1+2d)2,
化简，得：a1－2a1•d+d2=0,a1=d,a1=d2，Sn=d+(n－1)d=nd,Sn=n2d2，
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=n2d2－(n－1)2d2=(2n－1)d2，适合n=1情形．
故所求an=(2n－1)d2
（2）（方法一）Sm+Sn>cSkm2d2+n2d2>c•k2d2m2+n2>c•k2，
c
（方法二）由a1=d及Sn=a1+(n－1)d，得d>0，Sn=n2d2．
于是，对满足题设的m,n,k，m≠n，有
Sm+Sn=(m2+n2)d2>(m+n)22d2=92d2k2=92Sk．
所以c的最大值cmax≥92．
另一方面，任取实数a>92．设k为偶数，令m=32k+1,n=32k－1，则m,n,k符合条件，且Sm+Sn=(m2+n2)d2=d232k+1)2+(32k－1)2〗=12d2(9k2+4)．
于是，只要9k2+4<2ak2，即当k>22a－9时，Sm+Sn<12d2•2ak2=aSk．
所以满足条件的c≤92，从而cmax≤92． 因此c的最大值为92．
点评：本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力．
高考趋势
求数列的通项公式、研究数列的单调性、周期性和数列递推关系式的应用，是历年高考命题的重点和热点，且命题的最大亮点是创新．
2010年高考数学全国Ⅰ、Ⅱ这两套试卷和不少省市的试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.
估计以后的高考，数列的命题不仅有选择题、填空题，还有解答题，试题以等差数列、等比数列或能转化成等差数列、等比数列的题型为主，或兼顾与函数、方程、三角函数、不等式、几何图形等问题综合起来出现，试题难度大都在中档偏上，考查学生较高层次的分析问题、解决问题的能力．
（作者：徐永忠，江苏省兴化中学）