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【摘要】对于n阶方阵而言，秩和特征值都是其重要特征，本文将建立它们之间的联系。通过矩阵的秩，得到矩阵的特征值的相关信息;反过来，通过矩阵的特征值的情况，得到矩阵的秩的取值范围。
【关键词】n阶方阵 特征值 秩 实对称矩阵
【Abstract】For the n？鄄order matrix， rank and characteristic values are the important features， This paper will establish the connection between them. The related information about characteristic value of the matrix is obtained by matrix rank.In turn， By characteristic value of matrix， we can get the value range of the matrix rank.
【Key words】n？鄄order matrix; characteristic value; rank; real symmetrices matrix
【基金项目】长江大学工程技术学院科研项目 （2015j0802）、长江大学工程技术学院教学研究项目。
【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）27-0120-01
在全国研究生入学考试中，关于线性代数的考题常会考查方阵的特征值与特征向量。在题目给定的有限条件中如何获取帮助解题的更多信息？在本文中，将会给出一些结论，方便读者加强线性代数知识间的联系，帮助找到题目的入手点。
定理1[1] n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
定理2[1] 设A为n阶实对称矩阵，则A必能相似对角化。
例1[2] 设矩阵A=1 2 3 42 4 6 83 6 9 124 8 12 16 ，求矩阵A的特征值，矩阵A的秩。
解 由A-λE=1-λ 2 3 4 2 4-λ 6 8 3 6 9-λ 12 4 8 12 16-λ=λ （λ-30）=0
得;λ =λ =λ =0，λ =30
又经过初等行变换得到A→1 2 3 40 0 0 00 0 0 00 0 0 0 ，则矩阵A的秩r（A）=1。
通过上例，我们发现λ=0为A的三重特征值，而A的秩r（A）=4-3=1，这是巧合吗？下面的定理给出了相应的结论。
定理3 设A为n阶实对称矩阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0恰为A的n-k重特征值。
证：由定理2，实对称矩阵必能相似对角化，因此A必有n个线性无关的特征向量，即每一个特征值对应一个线性无关的特征向量，重根对应线性无关的特征向量的个数等于其重数[1]，故由秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0对应的特征向量恰有n-k个，即λ=0恰为A的n-k重特征值。
例2 设A为7阶实对称矩阵，矩阵的秩r（A）=3，且A =A，求|A-2E|。
解 因A =A，得λ =λ，即λ=0或λ=1，又A为7阶实对称矩阵r（A）=3，，由定理3，λ=0恰为A的n-k=7-3=4重特征值，那么λ=1为A的3重特征值。则矩阵A的特征值为0，0，0，0，1，1，1，由特征值的性质，矩阵A-2E的特征值为-2，-2，-2，-2，-1，-1，-1，即|A-2E|=-16。
定理4 设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0至少为A的n-k的重特征值。
例3[3] 设A=0 1 1 10 0 1 10 0 0 10 0 0 0，显然r（A）=3，依照定理4的结论，λ=0至少是1重根，而在本题中，可以看出λ=0是矩阵的4重特征值，确实符合定理4 的结论，为什么同样是矩阵，定理3与定理4有这么大的区别呢？
在定理3中给出的实对称矩阵具有很好的性质，是因为实对称矩阵一定可以相似对角化，因此重根对应的线性无关的特征向量的个数等于重数。而任意n阶方阵A并非都能对角化，在例3中λ=0所对应的线性无关的特征向量只有一个，少于其作为特征值的重数，因此例3中的矩陣不能相似对角化。可以得到，是否可以相似对角化是区别两个定理的唯一条件。
定理5 设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），且A可相似对角化，则λ=0恰为A的n-k重特征值。 证明 因矩阵A可相似对角化，假定矩阵A相似于对角矩阵A，由矩阵相似的必要条件，得到r（∧）=r（A）=k，故λ=0恰为对角矩阵∧的n-k重特征值[3]。因此λ=0恰为矩阵A的n-k重特征值。
例4[2] 设A为5阶方阵，矩阵的秩r（A）=3，且A =A，求|A-2E|。
解 因A =A，得λ =λ，则特征值只能取值为0或1，根据A =A得A（A-E）=0，从而r（A）+r（A-E）≤5，又r（A）+r（A-E）≥r（A-（A-E））=r（E）=5，则r（A）+r（A-E）=5，再者矩阵的秩r（A）=3，故r（A-E）=2，由特征向量的求解过程知λ=0对应的2个线性无关重特征值，λ=1对应3个线性无关的特征向量。故A可以相似对角化，矩阵A的特征值为0，0，1，1，1，矩阵A-2E的特征值为-2，-2，-1，-1，-1，故|A-2E|=4。
上例看到5阶方阵A可以相似对角化，且r（A-E）=2。因此λ=1是3重特征值。推广得到下面的定理：
定理6 设A为n阶方阵，矩阵的秩rf（A）=k，（0<k<n，k为正整数），且A可对角化，则λ=0恰为f（A）的n-k重特征值。
例5[4] 设A为5阶方阵，矩阵的秩r（A-E）=3，且A =A，求|A-2E|。
解 因A =A，由例4知A可以相似对角化，又r（A-E）=3，由定理6，λ=0恰为A-E的2重特征值，即λ=1是A的2重特征值，则矩阵A的特征值为0，0，0，1，1，矩阵A-2E的特征值为-2，-2，-2，-1，-1，故|A-2E|=-8。
以上例题和相关定理均给出了矩阵的秩得到矩阵的特征值的情况，反过来，若n阶方阵A恰有k（0<k<n）个特征值为0，则矩阵A的秩大于等于n-k。
参考文献：
[1]同济大学数学系.线性代数第五版 [M]. 北京：高等教育出版社，2007.5：117-127.
[2]李永樂，王式安.考研数学复习全书[M]. 北京：国家行政学院出版社，2015.1：286-287.
[3]李志明，李宏伟.分析一道线性代数例题的解法[J]. 大学数学，2014.10：116-118.
[4]龚冬宝，魏战线.从2010年考研三道线性代数试题说起[J]. 高等数学研究，2010.11：57-59.
作者简介：
秦川（1985-），女，汉族，湖北随州人，讲师，硕士，研究方向：泛函分析及其应用。
【关键词】n阶方阵 特征值 秩 实对称矩阵
【Abstract】For the n？鄄order matrix， rank and characteristic values are the important features， This paper will establish the connection between them. The related information about characteristic value of the matrix is obtained by matrix rank.In turn， By characteristic value of matrix， we can get the value range of the matrix rank.
【Key words】n？鄄order matrix; characteristic value; rank; real symmetrices matrix
【基金项目】长江大学工程技术学院科研项目 （2015j0802）、长江大学工程技术学院教学研究项目。
【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）27-0120-01
在全国研究生入学考试中，关于线性代数的考题常会考查方阵的特征值与特征向量。在题目给定的有限条件中如何获取帮助解题的更多信息？在本文中，将会给出一些结论，方便读者加强线性代数知识间的联系，帮助找到题目的入手点。
定理1[1] n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
定理2[1] 设A为n阶实对称矩阵，则A必能相似对角化。
例1[2] 设矩阵A=1 2 3 42 4 6 83 6 9 124 8 12 16 ，求矩阵A的特征值，矩阵A的秩。
解 由A-λE=1-λ 2 3 4 2 4-λ 6 8 3 6 9-λ 12 4 8 12 16-λ=λ （λ-30）=0
得;λ =λ =λ =0，λ =30
又经过初等行变换得到A→1 2 3 40 0 0 00 0 0 00 0 0 0 ，则矩阵A的秩r（A）=1。
通过上例，我们发现λ=0为A的三重特征值，而A的秩r（A）=4-3=1，这是巧合吗？下面的定理给出了相应的结论。
定理3 设A为n阶实对称矩阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0恰为A的n-k重特征值。
证：由定理2，实对称矩阵必能相似对角化，因此A必有n个线性无关的特征向量，即每一个特征值对应一个线性无关的特征向量，重根对应线性无关的特征向量的个数等于其重数[1]，故由秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0对应的特征向量恰有n-k个，即λ=0恰为A的n-k重特征值。
例2 设A为7阶实对称矩阵，矩阵的秩r（A）=3，且A =A，求|A-2E|。
解 因A =A，得λ =λ，即λ=0或λ=1，又A为7阶实对称矩阵r（A）=3，，由定理3，λ=0恰为A的n-k=7-3=4重特征值，那么λ=1为A的3重特征值。则矩阵A的特征值为0，0，0，0，1，1，1，由特征值的性质，矩阵A-2E的特征值为-2，-2，-2，-2，-1，-1，-1，即|A-2E|=-16。
定理4 设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0至少为A的n-k的重特征值。
例3[3] 设A=0 1 1 10 0 1 10 0 0 10 0 0 0，显然r（A）=3，依照定理4的结论，λ=0至少是1重根，而在本题中，可以看出λ=0是矩阵的4重特征值，确实符合定理4 的结论，为什么同样是矩阵，定理3与定理4有这么大的区别呢？
在定理3中给出的实对称矩阵具有很好的性质，是因为实对称矩阵一定可以相似对角化，因此重根对应的线性无关的特征向量的个数等于重数。而任意n阶方阵A并非都能对角化，在例3中λ=0所对应的线性无关的特征向量只有一个，少于其作为特征值的重数，因此例3中的矩陣不能相似对角化。可以得到，是否可以相似对角化是区别两个定理的唯一条件。
定理5 设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），且A可相似对角化，则λ=0恰为A的n-k重特征值。 证明 因矩阵A可相似对角化，假定矩阵A相似于对角矩阵A，由矩阵相似的必要条件，得到r（∧）=r（A）=k，故λ=0恰为对角矩阵∧的n-k重特征值[3]。因此λ=0恰为矩阵A的n-k重特征值。
例4[2] 设A为5阶方阵，矩阵的秩r（A）=3，且A =A，求|A-2E|。
解 因A =A，得λ =λ，则特征值只能取值为0或1，根据A =A得A（A-E）=0，从而r（A）+r（A-E）≤5，又r（A）+r（A-E）≥r（A-（A-E））=r（E）=5，则r（A）+r（A-E）=5，再者矩阵的秩r（A）=3，故r（A-E）=2，由特征向量的求解过程知λ=0对应的2个线性无关重特征值，λ=1对应3个线性无关的特征向量。故A可以相似对角化，矩阵A的特征值为0，0，1，1，1，矩阵A-2E的特征值为-2，-2，-1，-1，-1，故|A-2E|=4。
上例看到5阶方阵A可以相似对角化，且r（A-E）=2。因此λ=1是3重特征值。推广得到下面的定理：
定理6 设A为n阶方阵，矩阵的秩rf（A）=k，（0<k<n，k为正整数），且A可对角化，则λ=0恰为f（A）的n-k重特征值。
例5[4] 设A为5阶方阵，矩阵的秩r（A-E）=3，且A =A，求|A-2E|。
解 因A =A，由例4知A可以相似对角化，又r（A-E）=3，由定理6，λ=0恰为A-E的2重特征值，即λ=1是A的2重特征值，则矩阵A的特征值为0，0，0，1，1，矩阵A-2E的特征值为-2，-2，-2，-1，-1，故|A-2E|=-8。
以上例题和相关定理均给出了矩阵的秩得到矩阵的特征值的情况，反过来，若n阶方阵A恰有k（0<k<n）个特征值为0，则矩阵A的秩大于等于n-k。
参考文献：
[1]同济大学数学系.线性代数第五版 [M]. 北京：高等教育出版社，2007.5：117-127.
[2]李永樂，王式安.考研数学复习全书[M]. 北京：国家行政学院出版社，2015.1：286-287.
[3]李志明，李宏伟.分析一道线性代数例题的解法[J]. 大学数学，2014.10：116-118.
[4]龚冬宝，魏战线.从2010年考研三道线性代数试题说起[J]. 高等数学研究，2010.11：57-59.
作者简介：
秦川（1985-），女，汉族，湖北随州人，讲师，硕士，研究方向：泛函分析及其应用。