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排列、组合问题的特点是：题型多样，思维抽象，小巧新颖，解法别致.因此，解决排列、组合问题，首先要认真审题，弄清题意，注重挖掘题中的隐含条件；其次要抓住问题的本质特征，采用恰当的方法来处理. 具体解题过程中，要注意以下几点：
总的原则——合理分类与准确分步.即按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏.
两种思路——直接法，间接法.
三种途径——以元素为主，先满足特殊元素的要求，再考虑其它元素；以位置为主，先满足特殊位置的要求，再考虑其它位置；先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.
一、人或数的问题
对排列组合问题的考查，多以人或数的问题出现，内容基础，题型常规，注重考查通性、通法.
例1 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有（ ）个.
解法1（元素优先法） 根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类：①含0不含5，共有[C12A34]=48（个）；②含5不含0，共有[C13A34]=72（个）；③含0也含5，共有[C12C12A24]=48（个）；④不合0也不含5，共有[A44]=24（个）.所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192（个）.
解法2（位置优先法） 根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步：第一步：排个位，有[C14]种方法；第二步；排首位，有[C14]种方法；第三步：排中间两位，有[A24]种方法.所以符合条件的四位数共有[C14][C14][A24]=192（个）.
解法3（排除法） 数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的四位数有[C15A35=300]（个），能被5整除的数有两类：个位数为0的有[A35=60]（个）；个位数为5的有[C14A24]=48（个）；故符合条件的四位数共有300-60-48=192（个）.
例2 6个人参加4×100接力，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的安排方式有（ ）种.
解析 本题为元素多于位置的情形，可按“含”或 “不含”某个元素进行分类：①甲、乙都不参加的安排方法有[A44]=24种；②甲参加而乙不参加时，可从余下4人中选3人有[C34]种选法.由于甲不跑第一棒，故第一棒可从剩下的三人中选一人有[C13]种选法，余下三棒有[A33]种安排方法，共有[C34]·[C13]·[A33]=72种方法（或甲不跑第一棒时，可安排甲跑第二、三、四棒中的任一棒，有[C13]种方法，余下三棒有[A33]种安排方法）；③乙参加而甲不参加，同理有72种方法；④甲、乙都参加时，由题意有[C24]（[A33]+[A33]-[A22]）=60种方法（排除法）. 故共有24+72+72+60=228种安排方法.
解析（角色转换法） 将数字作为元素，则这是九个元素排在九个位置上的“不尽相异元素的全排列”问题.若将九个位置作为元素，则问题转化为“相异元素不许重复的组合问题”，即共有[C29C37C44=1260]种不同的排法.
二、图形问题
此类问题主要有涂色、种植、共线、共面等.
例5 某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点[A、B、C、A1、B1、C1]上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种.
解析 此例解法较多，在此用“分组”的方法求解.由于同一条棱的两端的灯泡不同色，故可将将六个顶点划分为四个“组”，然后再安装灯泡.由题意可分为九组：
例6 有3种不同种子种在如图所示的5块田中，每块种一种种子，为有利于作物生长，相邻两块田中种不同的种子，则有（ ）种不同的种法；如有6种不同种子，则又有（ ）种不同的种法.
解析 （1）按田块分类，可分为：1，24，35；13，24，5；13，25，4；14，25，3；14，35，2；15，24，3；135，2，4共七类，共有[7A33=42]种不同的涂法.
（2）按种子分类：种2种，可分为135、24两“块”，有[A26]种方法；种3种，由⑴知有[7A33]种方法；种4种，可分13，2，4，5；14，2，3，5；15，2，3，4；24，1，3，5；25，1，3，4；35，1，2，4六类，有[6A46]种方法；种5种，有[A56]种方法. 故有2952种不同种法.
三、工程问题
如分配、分组等问题.
例7 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有 种.
解析 分三种情形：甲、丙同去且乙不去，有[C25?A44]=240种选法；甲、丙同不去且乙去，有[C35?A44]=240种选法；甲、乙、丙都不去，有[A45=120]种选法.共有600种不同的选派方案.
例8 6本不同的书，按以下要求各有多少种分法.（1）平均分成三组；（2）分成1本、2本、3本三组；（3）平均分给甲、乙、丙三人；（4）分给甲、乙、丙三人，一人拿1本、一人拿2本、一人拿3本；（5）甲得一本，乙得二本，丙得三本.
解析 （1）此为平均分组问题，共有[C26?C24?C223！][=15]种分法；（2）此为非平均分组问题，共有[C16?C25?C33=60]种分法；（3）此为均匀不定向分配问题，先分组，再排序，共有[C26?C24?C223！·3！=90]种分法；（4）此为非均匀不定向分配问题，先分组，再排序，[C16?C25?C33?A33=360]种分法；（5）此为非均匀定向分配问题，共有[C16?C25?C33=60]种分法.
四、其它问题
例9 将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同的盒子中，使得有一个空盒且其它盒子中球的颜色齐全的不同放法有（ ）种.
解析 此例解法较多，此处用“隔板法”求解.先从4个盒子中选三个放置小球有[C34]种方法.注意到小球都是相同的，为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个、5个空挡中分别插入两个隔板，各有[C23]，[C24]，[C25]种方法.故共有[C34?C23?C24?C25]=720种不同的放球方法.
例10 设[ABCDEF]为正六边形，一只青蛙开始在顶点[A]处，它每次可随意地跳到相邻两个顶点之一，若在5次之内跳到[D]点，则停止跳动，若在5次之内不能到达[D]点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法的种数是（ ）
A. 6 B. 8 C. 16 D. 26
解析 青蛙从[A]点开始，往相邻两个顶点[B]和[F]跳到[D]点的次数是相同的. 又青蛙第一次往[B]方向跳的跳法可用“树型图”表示如图. 由图知有13种跳法，所以共有跳法2×13=26（种）.
答案 D
点拨 此例的解法也称回归法.有些计数模型不一定是排列或组合问题，此时可回归到最原始的方法，即画一画，数一数，算一算，这是最基本的计数方法，不可废弃.
总的原则——合理分类与准确分步.即按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏.
两种思路——直接法，间接法.
三种途径——以元素为主，先满足特殊元素的要求，再考虑其它元素；以位置为主，先满足特殊位置的要求，再考虑其它位置；先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.
一、人或数的问题
对排列组合问题的考查，多以人或数的问题出现，内容基础，题型常规，注重考查通性、通法.
例1 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有（ ）个.
解法1（元素优先法） 根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类：①含0不含5，共有[C12A34]=48（个）；②含5不含0，共有[C13A34]=72（个）；③含0也含5，共有[C12C12A24]=48（个）；④不合0也不含5，共有[A44]=24（个）.所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192（个）.
解法2（位置优先法） 根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步：第一步：排个位，有[C14]种方法；第二步；排首位，有[C14]种方法；第三步：排中间两位，有[A24]种方法.所以符合条件的四位数共有[C14][C14][A24]=192（个）.
解法3（排除法） 数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的四位数有[C15A35=300]（个），能被5整除的数有两类：个位数为0的有[A35=60]（个）；个位数为5的有[C14A24]=48（个）；故符合条件的四位数共有300-60-48=192（个）.
例2 6个人参加4×100接力，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的安排方式有（ ）种.
解析 本题为元素多于位置的情形，可按“含”或 “不含”某个元素进行分类：①甲、乙都不参加的安排方法有[A44]=24种；②甲参加而乙不参加时，可从余下4人中选3人有[C34]种选法.由于甲不跑第一棒，故第一棒可从剩下的三人中选一人有[C13]种选法，余下三棒有[A33]种安排方法，共有[C34]·[C13]·[A33]=72种方法（或甲不跑第一棒时，可安排甲跑第二、三、四棒中的任一棒，有[C13]种方法，余下三棒有[A33]种安排方法）；③乙参加而甲不参加，同理有72种方法；④甲、乙都参加时，由题意有[C24]（[A33]+[A33]-[A22]）=60种方法（排除法）. 故共有24+72+72+60=228种安排方法.
解析（角色转换法） 将数字作为元素，则这是九个元素排在九个位置上的“不尽相异元素的全排列”问题.若将九个位置作为元素，则问题转化为“相异元素不许重复的组合问题”，即共有[C29C37C44=1260]种不同的排法.
二、图形问题
此类问题主要有涂色、种植、共线、共面等.
例5 某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点[A、B、C、A1、B1、C1]上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种.
解析 此例解法较多，在此用“分组”的方法求解.由于同一条棱的两端的灯泡不同色，故可将将六个顶点划分为四个“组”，然后再安装灯泡.由题意可分为九组：
例6 有3种不同种子种在如图所示的5块田中，每块种一种种子，为有利于作物生长，相邻两块田中种不同的种子，则有（ ）种不同的种法；如有6种不同种子，则又有（ ）种不同的种法.
解析 （1）按田块分类，可分为：1，24，35；13，24，5；13，25，4；14，25，3；14，35，2；15，24，3；135，2，4共七类，共有[7A33=42]种不同的涂法.
（2）按种子分类：种2种，可分为135、24两“块”，有[A26]种方法；种3种，由⑴知有[7A33]种方法；种4种，可分13，2，4，5；14，2，3，5；15，2，3，4；24，1，3，5；25，1，3，4；35，1，2，4六类，有[6A46]种方法；种5种，有[A56]种方法. 故有2952种不同种法.
三、工程问题
如分配、分组等问题.
例7 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有 种.
解析 分三种情形：甲、丙同去且乙不去，有[C25?A44]=240种选法；甲、丙同不去且乙去，有[C35?A44]=240种选法；甲、乙、丙都不去，有[A45=120]种选法.共有600种不同的选派方案.
例8 6本不同的书，按以下要求各有多少种分法.（1）平均分成三组；（2）分成1本、2本、3本三组；（3）平均分给甲、乙、丙三人；（4）分给甲、乙、丙三人，一人拿1本、一人拿2本、一人拿3本；（5）甲得一本，乙得二本，丙得三本.
解析 （1）此为平均分组问题，共有[C26?C24?C223！][=15]种分法；（2）此为非平均分组问题，共有[C16?C25?C33=60]种分法；（3）此为均匀不定向分配问题，先分组，再排序，共有[C26?C24?C223！·3！=90]种分法；（4）此为非均匀不定向分配问题，先分组，再排序，[C16?C25?C33?A33=360]种分法；（5）此为非均匀定向分配问题，共有[C16?C25?C33=60]种分法.
四、其它问题
例9 将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同的盒子中，使得有一个空盒且其它盒子中球的颜色齐全的不同放法有（ ）种.
解析 此例解法较多，此处用“隔板法”求解.先从4个盒子中选三个放置小球有[C34]种方法.注意到小球都是相同的，为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个、5个空挡中分别插入两个隔板，各有[C23]，[C24]，[C25]种方法.故共有[C34?C23?C24?C25]=720种不同的放球方法.
例10 设[ABCDEF]为正六边形，一只青蛙开始在顶点[A]处，它每次可随意地跳到相邻两个顶点之一，若在5次之内跳到[D]点，则停止跳动，若在5次之内不能到达[D]点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法的种数是（ ）
A. 6 B. 8 C. 16 D. 26
解析 青蛙从[A]点开始，往相邻两个顶点[B]和[F]跳到[D]点的次数是相同的. 又青蛙第一次往[B]方向跳的跳法可用“树型图”表示如图. 由图知有13种跳法，所以共有跳法2×13=26（种）.
答案 D
点拨 此例的解法也称回归法.有些计数模型不一定是排列或组合问题，此时可回归到最原始的方法，即画一画，数一数，算一算，这是最基本的计数方法，不可废弃.