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摘 要：金融预测对于发现金融发展客观趋势、指导金融投资具有重要的现实指导意义。研究了应用ARIMA模型预测标准普尔S&P500指数。原始数据采集来源于Yahoo finace数据库，研究数据为标准普尔S&P500指数收盘价，数据范围为1990-1-3至2012-3-26，数据划分为建模数据与检验数据二部分。研究结果显示，预测模型为ARIMA(5,1,4)形式，模型预测平均精度为1.8%。研究结果可为金融投资提供理论实证参考。
关键词：S&P500指数；ARIMA模型；预测分析
中图分类号：F83 文献标识码：A 文章编号：16723198（2012）14010002
1 引言
自2007年美国发生金融危机以来，世界经济秩序发生了巨大的变化，全球经济增长陷入了停滞，有些国家甚至出现了负增长，尤其对于以出口导向为主的发展中国家影响更为明显，实体经济遭到沉重打击，制造业成本增加，利润减少，实体经济效益降低，刺激了相应第三产业的投资增加，其中金融行业的投资相应显现出增长趋势，而金融行业投资与实体经济投资具有明显差异，其中金融行业的不确定性因素相比实体经济而言更为复杂。因此，准确预测金融投资预期成为了当前股票、证券、期货等投资的研究热点领域。金融预测具有显著的实践指导意义，无论是投资者还是管理者，他们都迫切需要知道投资未来预期的变化趋势，以及未来的收益变化，这些变化均体现在金融数据的波动过程中，金融数据具有随机性、非线性等特征，这为准确预测带来不确定性。因此应用适当的数据工具、准确预测金融发展趋势具有重要的现实意义。针对金融时间序列数据的特性，本文拟以标准普尔500指数（即S&P500）作为研究对象，以差分自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)作为研究工具，预测S&P500指数的变化规律。
2 研究现状
S&P500是全球最著名的篮筹股指数，相对NASDAQ指数和DOW Jones Industrial Average指数，S&P500指数无论是在市场代表性、衍生品等方面具有明显的优势。深刻理解及掌握S&P500指数的变化规律，对于正确评价美国经济趋势，跟踪世界经济发展源流，参与全球市场套利及定价，具有非常重要的现实意义。标准普尔500指数英文简写为S&P500 Index，是记录美国500家上市公司的一个股票指数。标准普尔500指数在资本市场上具有重要的参考作用，其在金融投资、管理等领域均具有非常重要的参考价值。基于标准普尔500指数在金融市场的重要地位，自发布之日起便受到金融、经济界的高度重视，对S&P500指数的预测研究引起了国内外研究学者的重视，国内研究成果分别有：以上证综指、恒生指数以及S&P500指数的高频数据作为研究对象，采用跳跃显著性检验方法和扩展HAR模型,对股票市场波动跳跃特征进行了实证研究(西村友作,2012)，采纳神经网络模型建立股市预测模型，通过S&P500指数开盘价进行实例分析,与传统的时间序列分析和其他集成方法对比(赵世安，2011)，运用方差方法/重标极差方法(R/S)和消除趋势波动分析方法(DFA)对美国股市标准普尔500指数的收盘价进行分析(2009,许娜)，应用神经网络对S&P500短期走势进行预测，具体研究数据对象是从1998年3月20日至1999年4月26日S&P500的每周数据(王洪刚,2002)。国外研究的相关成果有：结合熵与LVQ网络、概率理论预测S&P500指数(Lahmiri,S.2012)，采用时间序列预测应用局部学习算法预测S&P500指数(Metghalchi,M.2005)。通过分析国内外研究现状可知，当前对于S&P500指数的研究主要集中于对短期的预测，研究工具各不相同，本文在前人研究的基础上，采用差分自回归移动平均模型对S&P500指数进行长期预测。
3 ARIMA原理
3.1 基本原理
ARIMA（p,d,q）模型全称为差分自回归移动平均模型，是由Box和Jenkins于1976年创立，其基本原理是将数据视为一随机序列，构造数学模型，以过去值和现在值预测未来数值。ARIMA(p,d,q)模型由两模型联合而成，即AR(p)模型和MR(q)模型，AR(p)即自回归模型，p表示回归项数，MR(q)模型为移动平均模型，q表示移动平均项数，ARIMA中的d表示差分阶数。
AR(p)p价自回归可表示为：
Yt-δ=a1（Yt-1-δ）+a2（Yt-2-δ）+…+ap（Yt-p-δ）+ut
Ma(q)可表示为：Yt=μ+β0ut+β1ut-1+β2ut-2+…+βqut-q
ARMA（p,q）的一般形式（其中θ为一常数项）：
Yt=θ+α1Yt-1+a2Yt-2+…+αpYt-p+β0ut+β1ut-1+…+βqut-q
ARMA（p,d,q）则是ARMA（p,q）差分d阶模型。
3.2 实施步骤
（1）判断。在ARMA（p,d,q）模型中有三个参数p,d,q需要确定，在实际应用中需要首先判断数据序列是否是平稳序列。
（2）估计。在ARMA（p,d,q）模型中参数p,q的确定，常借助相关图和偏相关图确定。
（3）检验。检验ARMA（p,d,q）模型的拟合程度及可靠性，判断模型估计结果的残差是否存在白噪音，以便修正相关参数。
（4）预测。使用通过检验的在ARMA（p,d,q）模型进行预测分析，并计算预测结果的准确度。
ARIMA原理的更详细介绍请参见参考文献［6］。
为了检验ARMA（5,1,4）模型的拟合程度及可靠性，判断模型估计结果的残差是否存在白噪音，可以通过ARMA（5,1,4）模型所生成的残差序列，确定最大滞后阶数为15，计算出残差序列的相关图和Q统计量。经检验发现，残差序列的样本自相关函数均在设定区域内，相应的概率误差均小于5%，因此可以判断残差序列不存在自相关，因此可以认为模型通过检验。 4.4 预测
为检验模型的精度，本文将2012-2-27至2012-3-26五个星期的数据作为检验数据，检验预测精度，预测数值是2012-2-27至20123-26五个星期的S&P500指数，图3为预测结果及拟合图。
从预测表可知，通过对2012-2-27至20123-26的S&P500指数进行计算预测，预测最大相对误差为3.25%，最大误差没有超过5%，平均相对误差为1.8%，因此可以认为所建模型是有效的。
5 结语
本文采用差分自回归移动平均模型建立金融时间序列预测模型。研究对象是美国S&P500指数，数据范围为1990-1-3至2012-3-26，数据划分为二部分，其中1990-1-3至20123-20区间数据用于建立模型，2012-2-27至2012-3-26区间数据用于检验，所建立的预测模型为ARIMA(5,1,4)，经实际数据检验，模型的预测精度误差均小于5%，因此所建模型是有效且可用于实际应用，本文建立美国标准普尔S&P500指数预测模型具有实践指导意义。S&P500指数数据也与其它金融数据一样具有随机性，这为数据预测带来不确定因素，也增加了预测的难度，下一步的工作将结合其它非线性理论，形成组合预测模型，进一步提高预测精度。
参考文献
［1］国泰君安.S&P500——蓝筹股的摇篮，指数产品的良选［EB/OL］.［2012329］.http://www.bosera.com/minisite/market/2010/dbvisit/bg1.html.
［2］西村友作，孙便霞，门明.全球金融危机下的股票市场波动跳跃研究——基于高频数据的中美比较分析［J］.管理工程学报,2012，（01）.
［3］王洪刚，韩文秀.基于小波神经网络的S&P500短期走势预测［J］.西北农林科技大学学报(社会科学版), 2002，（06）.
［4］Salim Lahmiri An entropy-LVQ system for S&P500 downward shifts forecasting［J］.Management Science Letters,2012，(2):2128.
［5］Massoud Metghalchi.Market Efficiency For S&P500:1954-2004［J］.International Business & Economics Research Journal,2005,4(7):2330.
［6］(美)古扎拉蒂著，费剑平,孙春霞等译.计量经济学基础［M］.北京：中国人民大学出版社，2005.
［7］Yahoo finance［EB/OL］.［2012327］.http://finance.yahoo.com/q/hp?s=%5EGSPC+Historical+Prices.
［8］樊欢欢等.Eviews统计分析与应用［M］.北京：机械工业出版社，2011.
4 实证分析
4.1 数据采集
原始数据采集于Yahoo finance（雅虎财经)，采集的数据为每周数据，时间范围为1990-1-3至2012-3-26，共1160个S&P500指数数据，数据划分为二部分，其中1990-1-3至20123-20区间数据用于建立模型，2012-2-27至2012-3-26区间数据用于检验，原始数据折线图如下图所示：
图1 原始数据折线图4.2 参数确定
确定参数p,d,q并建立相应的ARIMA(p,d,q)模型。首先确定差分价数d。进行数据序列稳定性检验，经ADF检验，ADF检验统计值是-1.335859，大于10%的临界值-2.568038，原始数据存在单位根，为不平稳序列。经一阶差分后，ADF检验统计值是-37.05214，小于1%的临界值-3.435782，原始数据序列变为了平稳序列，因此数据序列为一价差分平稳序列，所以参数d=1。下图为一阶差分图：
图2 原始数据一价差分折线图然后确定参数p,q。因为数据为一阶差分平稳序列，所以根据其自相关系数（ACF）图和偏相关系数（PACF）图可以判断，p,q的取值分别为5和4，即可构成ARIMA(5,1,4)模型。
最后根据所确定的参数建立如表1所示的ARIMA(5,1,4)估计图。
关键词：S&P500指数；ARIMA模型；预测分析
中图分类号：F83 文献标识码：A 文章编号：16723198（2012）14010002
1 引言
自2007年美国发生金融危机以来，世界经济秩序发生了巨大的变化，全球经济增长陷入了停滞，有些国家甚至出现了负增长，尤其对于以出口导向为主的发展中国家影响更为明显，实体经济遭到沉重打击，制造业成本增加，利润减少，实体经济效益降低，刺激了相应第三产业的投资增加，其中金融行业的投资相应显现出增长趋势，而金融行业投资与实体经济投资具有明显差异，其中金融行业的不确定性因素相比实体经济而言更为复杂。因此，准确预测金融投资预期成为了当前股票、证券、期货等投资的研究热点领域。金融预测具有显著的实践指导意义，无论是投资者还是管理者，他们都迫切需要知道投资未来预期的变化趋势，以及未来的收益变化，这些变化均体现在金融数据的波动过程中，金融数据具有随机性、非线性等特征，这为准确预测带来不确定性。因此应用适当的数据工具、准确预测金融发展趋势具有重要的现实意义。针对金融时间序列数据的特性，本文拟以标准普尔500指数（即S&P500）作为研究对象，以差分自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)作为研究工具，预测S&P500指数的变化规律。
2 研究现状
S&P500是全球最著名的篮筹股指数，相对NASDAQ指数和DOW Jones Industrial Average指数，S&P500指数无论是在市场代表性、衍生品等方面具有明显的优势。深刻理解及掌握S&P500指数的变化规律，对于正确评价美国经济趋势，跟踪世界经济发展源流，参与全球市场套利及定价，具有非常重要的现实意义。标准普尔500指数英文简写为S&P500 Index，是记录美国500家上市公司的一个股票指数。标准普尔500指数在资本市场上具有重要的参考作用，其在金融投资、管理等领域均具有非常重要的参考价值。基于标准普尔500指数在金融市场的重要地位，自发布之日起便受到金融、经济界的高度重视，对S&P500指数的预测研究引起了国内外研究学者的重视，国内研究成果分别有：以上证综指、恒生指数以及S&P500指数的高频数据作为研究对象，采用跳跃显著性检验方法和扩展HAR模型,对股票市场波动跳跃特征进行了实证研究(西村友作,2012)，采纳神经网络模型建立股市预测模型，通过S&P500指数开盘价进行实例分析,与传统的时间序列分析和其他集成方法对比(赵世安，2011)，运用方差方法/重标极差方法(R/S)和消除趋势波动分析方法(DFA)对美国股市标准普尔500指数的收盘价进行分析(2009,许娜)，应用神经网络对S&P500短期走势进行预测，具体研究数据对象是从1998年3月20日至1999年4月26日S&P500的每周数据(王洪刚,2002)。国外研究的相关成果有：结合熵与LVQ网络、概率理论预测S&P500指数(Lahmiri,S.2012)，采用时间序列预测应用局部学习算法预测S&P500指数(Metghalchi,M.2005)。通过分析国内外研究现状可知，当前对于S&P500指数的研究主要集中于对短期的预测，研究工具各不相同，本文在前人研究的基础上，采用差分自回归移动平均模型对S&P500指数进行长期预测。
3 ARIMA原理
3.1 基本原理
ARIMA（p,d,q）模型全称为差分自回归移动平均模型，是由Box和Jenkins于1976年创立，其基本原理是将数据视为一随机序列，构造数学模型，以过去值和现在值预测未来数值。ARIMA(p,d,q)模型由两模型联合而成，即AR(p)模型和MR(q)模型，AR(p)即自回归模型，p表示回归项数，MR(q)模型为移动平均模型，q表示移动平均项数，ARIMA中的d表示差分阶数。
AR(p)p价自回归可表示为：
Yt-δ=a1（Yt-1-δ）+a2（Yt-2-δ）+…+ap（Yt-p-δ）+ut
Ma(q)可表示为：Yt=μ+β0ut+β1ut-1+β2ut-2+…+βqut-q
ARMA（p,q）的一般形式（其中θ为一常数项）：
Yt=θ+α1Yt-1+a2Yt-2+…+αpYt-p+β0ut+β1ut-1+…+βqut-q
ARMA（p,d,q）则是ARMA（p,q）差分d阶模型。
3.2 实施步骤
（1）判断。在ARMA（p,d,q）模型中有三个参数p,d,q需要确定，在实际应用中需要首先判断数据序列是否是平稳序列。
（2）估计。在ARMA（p,d,q）模型中参数p,q的确定，常借助相关图和偏相关图确定。
（3）检验。检验ARMA（p,d,q）模型的拟合程度及可靠性，判断模型估计结果的残差是否存在白噪音，以便修正相关参数。
（4）预测。使用通过检验的在ARMA（p,d,q）模型进行预测分析，并计算预测结果的准确度。
ARIMA原理的更详细介绍请参见参考文献［6］。
为了检验ARMA（5,1,4）模型的拟合程度及可靠性，判断模型估计结果的残差是否存在白噪音，可以通过ARMA（5,1,4）模型所生成的残差序列，确定最大滞后阶数为15，计算出残差序列的相关图和Q统计量。经检验发现，残差序列的样本自相关函数均在设定区域内，相应的概率误差均小于5%，因此可以判断残差序列不存在自相关，因此可以认为模型通过检验。 4.4 预测
为检验模型的精度，本文将2012-2-27至2012-3-26五个星期的数据作为检验数据，检验预测精度，预测数值是2012-2-27至20123-26五个星期的S&P500指数，图3为预测结果及拟合图。
从预测表可知，通过对2012-2-27至20123-26的S&P500指数进行计算预测，预测最大相对误差为3.25%，最大误差没有超过5%，平均相对误差为1.8%，因此可以认为所建模型是有效的。
5 结语
本文采用差分自回归移动平均模型建立金融时间序列预测模型。研究对象是美国S&P500指数，数据范围为1990-1-3至2012-3-26，数据划分为二部分，其中1990-1-3至20123-20区间数据用于建立模型，2012-2-27至2012-3-26区间数据用于检验，所建立的预测模型为ARIMA(5,1,4)，经实际数据检验，模型的预测精度误差均小于5%，因此所建模型是有效且可用于实际应用，本文建立美国标准普尔S&P500指数预测模型具有实践指导意义。S&P500指数数据也与其它金融数据一样具有随机性，这为数据预测带来不确定因素，也增加了预测的难度，下一步的工作将结合其它非线性理论，形成组合预测模型，进一步提高预测精度。
参考文献
［1］国泰君安.S&P500——蓝筹股的摇篮，指数产品的良选［EB/OL］.［2012329］.http://www.bosera.com/minisite/market/2010/dbvisit/bg1.html.
［2］西村友作，孙便霞，门明.全球金融危机下的股票市场波动跳跃研究——基于高频数据的中美比较分析［J］.管理工程学报,2012，（01）.
［3］王洪刚，韩文秀.基于小波神经网络的S&P500短期走势预测［J］.西北农林科技大学学报(社会科学版), 2002，（06）.
［4］Salim Lahmiri An entropy-LVQ system for S&P500 downward shifts forecasting［J］.Management Science Letters,2012，(2):2128.
［5］Massoud Metghalchi.Market Efficiency For S&P500:1954-2004［J］.International Business & Economics Research Journal,2005,4(7):2330.
［6］(美)古扎拉蒂著，费剑平,孙春霞等译.计量经济学基础［M］.北京：中国人民大学出版社，2005.
［7］Yahoo finance［EB/OL］.［2012327］.http://finance.yahoo.com/q/hp?s=%5EGSPC+Historical+Prices.
［8］樊欢欢等.Eviews统计分析与应用［M］.北京：机械工业出版社，2011.
4 实证分析
4.1 数据采集
原始数据采集于Yahoo finance（雅虎财经)，采集的数据为每周数据，时间范围为1990-1-3至2012-3-26，共1160个S&P500指数数据，数据划分为二部分，其中1990-1-3至20123-20区间数据用于建立模型，2012-2-27至2012-3-26区间数据用于检验，原始数据折线图如下图所示：
图1 原始数据折线图4.2 参数确定
确定参数p,d,q并建立相应的ARIMA(p,d,q)模型。首先确定差分价数d。进行数据序列稳定性检验，经ADF检验，ADF检验统计值是-1.335859，大于10%的临界值-2.568038，原始数据存在单位根，为不平稳序列。经一阶差分后，ADF检验统计值是-37.05214，小于1%的临界值-3.435782，原始数据序列变为了平稳序列，因此数据序列为一价差分平稳序列，所以参数d=1。下图为一阶差分图：
图2 原始数据一价差分折线图然后确定参数p,q。因为数据为一阶差分平稳序列，所以根据其自相关系数（ACF）图和偏相关系数（PACF）图可以判断，p,q的取值分别为5和4，即可构成ARIMA(5,1,4)模型。
最后根据所确定的参数建立如表1所示的ARIMA(5,1,4)估计图。