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1．函数的概念
例1 若[f(x)=1log12(2x+1)]，则[f(x)]的定义域为 .
分析 本题是知道函数的解析式求其定义域，分母不为0，被开方数大于等于0，真数大于0.
解 要使得函数有意义，则[log12(2x+1)≠0,log12(2x+1)≥0,2x+1>0.][∴0<2x+1<1], [∴-12 [∴][f(x)]的定义域为[-12,0].
点拨 对于这类试题，要求全面考虑，每个部分有意义的情况都要考虑，特别是真数大于零，很容易被忽视．
例2 已知函数[f(x)=2x+a,x<1,-x-2a,x≥1,]若[f(1-a)=f(1+a)]，则实数[a]的值为 ．
分析 本题是分段函数问题，主要是分类讨论，要考虑全面．
解 [f(1-a)=f(1+a)]等价于
[1+a=1-a或1-a<1,1+a≥1,21-a+a=-1+a-2a.]
[或1-a≥1,1+a<1,21+a+a=-1-a-2a.]
解得[a=0或a=-34.]
点拨 要弄清楚[f(1-a)和f(1+a)]的表达式，就必须对[1-a、1+a]的范围进行分类．
2．函数的图象和函数的零点
例3 函数[y＝xsinx]，[x∈(－π，0)∪(0，π)]的图象可能是下列图象中的（ ）
分析 对函数图象的考查主要在选择题，可以抓住某些性质（如图象的对称性、周期性、特殊点、单调性）排除不符合的选项，最后剩下来的就是正确答案.
解 由于当[x∈0,π2]时，有[01，排除B；
由于[y＝xsinx]是偶函数，排除A；
当[x＝2]时，[y＝2sin2]>2，排除D；故选C.
点拨 对于复杂的函数，它的图象很难用在短时间内画出来，对于选择试题，采用排除法是上上策．
3．函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
例4 若[f(x)=lg2x1+x+a(a∈R)]是奇函数，则[a＝] .
分析 奇函数的定义域关于原点对称，且对于定义域中的每一个[x]都满足[fx+f-x=0].
解 因为[f(x)=lg2x1+x+a]是奇函数，
∴[fx+f-x=0]恒成立，
即[lg2x1+x+a+lg-2x1-x+a]
[＝lg2x1+x+a-2x1-x+a＝0],
[∴2x1+x+a-2x1-x+a=1],
[∴(a2＋4a＋3)x2－(a2－1)＝0].
∵上式对定义内的任意[x]都成立，
∴[a2+4a+3=0,a2-1=0,] [∴a＝－1.]
点拨 ①可以先将真数通分，再利用[f(－x)＝－fx]恒成立求解，运算过程稍简单些．
②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．[f(x)=lg(a+2)x+a1+x]为奇函数，显然[x＝－1]不在[fx]的定义域内，故[x＝1]也不在[f(x)]的定义域内，令[x=-aa+2=1]，得[a＝－1]．
例5 已知定义域为[R]的函数[f(x)=-2x+b2x+1+2]是奇函数．
（Ⅰ）求[b]的值；
（Ⅱ）判断函数[f(x)]的单调性；
（Ⅲ）若对任意的[t∈R]，不等式[f(t2-2t)+f(2t2-k)]<0恒成立，求[k]的取值范围．
分析 （Ⅰ）由于[fx]在[x=0]处有意义，则[f0=0]，可求[b]，但需要检验.
（Ⅱ）判断单调性可以用定义法.
（Ⅲ）可以利用单调性得到[t2-2t>-2t2+k]，而不需要代入求出[ft2-2t+f2t2-k]的表达式.
解 （Ⅰ）由于[f(x)=-2x+b2x+1+2]是奇函数，则[f0=b-12+2=0]，则[b=1].
当[b=1]时，[fx=1-2x2x+1+2]，
[∵f-x=1-2-x2-x+1+2=2x-12+2x+1=-fx]，满足条件 [∴b=1].
（Ⅱ）任取[x1 则[fx1-fx2=-2x1+12+2x1+1--2x2+12+2x2+1]
[=-12+12x1+1--12+12x2+1=12x1+1-12x2+1=2x2-2x12x1+12x2+1.]
由于[x12x1,∴2x2-2x1>0],
而[2x1+1>0]，[2x2+1>0],
[∴fx1-fx2>0,即fx1>fx2,]
[∴fx在R上是减函数.]
（Ⅲ）由[f(t2-2t)+f(2t2-k)<0]，得
[ft2-2t<-f2t2-k=f-2t2+k]，
[∴t2-2t>-2t2+k]，
[∴k<3t2-2t=3t-132-13]，
由于函数[y=3t-132-13]的最小值是[-13]，
[∴k<-13]，[∴k]的取值范围是[-∞,-13].
点拨 奇函数在[x=0]处有意义，则[f0=0]，但这不是[fx]是奇函数的充要条件，需要检验. 判断单调性还可以用导数来求，[k 例6 设[f(x)]是定义在R上的奇函数，且对任意实数[x]，恒有[f(x＋2)＝-f(x)]．当[x∈[0,2]]时，[f(x)＝2x－x2].
（1）求证：[f(x)]是周期函数；
（2）当[x∈[2,4]]时，求[f(x)]的解析式；
（3）计算[f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)]．
分析 由[f(x＋2)=-f(x)]可得[f(x＋4)]与[f(x)]关系，由[f(x)]为奇函数及在（0，2]上的解析式可求[f(x)]在[－2，0]上的解析式，进而可得[f(x)]在[2，4]上的解析式．
解 （1）∵[f(x＋2)＝－f(x)]，
∴[f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)]．
∴[f(x)]是周期为4的周期函数．
（2）当[x∈[－2,0]]时，[－x∈[0,2]]，由已知得
[f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，]
又[f(x)]是奇函数，∴[f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2]，
∴[f(x)＝x2＋2x].
又当[x∈[2,4]]时，[x－4∈[－2,0]]，
∴[f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8].
又[f(x)]是周期为4的周期函数，
∴[f(x)＝f(x－4)＝x2－6x＋8].
从而求得[x∈[2,4]]时，f[(x)＝x2－6x＋8].
（3）[f(0)＝0，f(2)＝0，][f(1)＝1，f(3)＝－1.]
又[f(x)]是周期为4的周期函数，
∴[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)]
＝…＝[f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0].
∴[f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0].
点拨 充分利用周期性的定义[fx+T=fx]，只要知道一个周期内的解析式，就可以求[fx]的解析式，有时可以借助图象来解题．
4．几种特殊函数（指数函数、对数函数、幂函数）
例7 函数[y＝ax]在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则[a]的值为（ ）
A. B．2 C．4 D.
分析 利用单调性求出函数的在区间上的最值，然后解方程.
解法1 对[a]分类讨论．
若[a>1]，则[y＝ax]在[0，1]上是单调递增函数，当[x＝0]时，[y]有最小值1；当[x＝1]时，[y]有最大值[a]，由题设[1＋a＝3]，则[a＝2].
若[0 解法2 当[a>0，a≠1]时，[y＝ax]是定义域上的单调函数，因此其最值在[x∈[0,1]]的两个端点得到，于是必有[1＋a＝3，∴a＝2].
点拨 指数函数的最值问题一般都是用单调性解决．
例8 若函数[y＝loga(x2－ax＋1)]在[1，2]上为增函数，则实数[a]的取值范围是 ．
分析 利用复合函数单调性的判断，要分别分析内函数和外函数的单调性，但要注意函数的定义域.
解法1 令[z＝φx＝x2－ax＋1＝x-a22+1-a24]
当[00].
又因为[y＝logaz]单调递减，所以复合函数[y＝loga(x2－ax＋1)]在[1，2]上单调递减．
当[12 当1≤[a2]≤2，即[2≤a≤4]时，函数[φ(x)]在[1，2]上不单调．
当[a2]>2，即[a>4]时，[φ(x)]单减，
又[y＝logaz]单增，故不符合条件．
因此，符合条件的实数[a]的取值范围是（1，2）．
解法2 由于[φ1=1-a+1>0]，则[a<2]，则[a2<1]，则[z＝φx＝x2－ax＋1＝x-a22+1-a24]在[1，2]是单调递增函数，
又由于函数[y＝loga(x2－ax＋1)]在[1，2]上为增函数，则[y＝logaz]在[0，+∞]是单调递增函数，
则[a>1φ(1)>0]，则[1 点拨 有时为了简单，考虑的时候可以把内外函数的单调性和定义域适当交换顺序．
[专题训练2]
1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为[f(x)＝x2]，值域为{1，4}的“同族函数”共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
2．已知[f(x)=ln1x，x>01x，x<0]，则[fx>－1]的解集为（ ）
A. [(－∞，－1)∪(0，e)]
B. [(－∞，－1)∪(e，＋∞)]
C. [(－1，0)∪(e，＋∞)]
D. [(－1，0)∪(0，e)]
3．已知偶函数[y＝f(x)]对任意实数[x]都有[f(x＋1)＝－f(x)]，且在[0，1]上单调递减，则（ ）
A．[f(72) C．[f(73) 4．[fx]是定义在[R]上的以3为周期的奇函数，且[f2＝0]，则方程[fx＝0]在区间（0，6）内的解最少有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5．已知函数[fx]是[R]上的偶函数，且[f(1－x)＝f(1＋x)]，当[x∈0,1]时，[fx＝x2]，则函数[y＝fx－log5x]的零点个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知函数[y＝f(x)]是偶函数，[y＝g(x)]是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在[x∈][0，π]上的图象如图所示，则不等式[f(x)g(x)]<0的解集是 ．
7．偶函数[f(x)]在区间[[0，a](a>0)]上是单调函数，且[f(0)⋅f(a)<0]，则方程[f(x)＝0]在区间[[－a，a]]内根的个数是 .
8．不等式[|1＋log2x|>2]的解集是 ．
9．[若a+1-13<3-2a-13]，则[a]的取值范围是 .
10．已知函数[f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)]是偶函数．
（Ⅰ）求[k]的值；
（Ⅱ）设[g(x)＝log4(a⋅2x-43a)]，若函数[f(x)]与[g(x)]的图象有且只有一个公共点，求实数[a]的取值范围．
11．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度[v]（单位：千米/小时）是车流密度[x]（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流量达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当[20≤x≤200]时，车流速度[v]是车流密度[x]的一次函数.
（Ⅰ）当[0≤x≤200]时，求函数[v(x)]的表达式；
（Ⅲ） 当车流密度[x]为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）[f(x)=x⋅v(x)]可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
12．已知[f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)]．
（Ⅰ）判断[f(x)]的奇偶性；
（Ⅱ）讨论[f(x)]的单调性；
（Ⅲ）当[x∈[－1,1]]时，[f(x)≥b]恒成立，求[b]的取值范围．
[【参考答案】]
1．C 2．A 3．B 4．D 5．B
6. [(-π3,0)∪(π3,π)] 7．2
8. （0，[18]）∪（2，＋∞）
9．[-∞,-1⋃23,32]
10． （Ⅰ）[-12] （Ⅱ） {－3}∪（1，＋∞）．
11． （Ⅰ）[v(x)=60,0≤x≤20,13(200-x),20≤x≤200]
（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
12． （Ⅰ）[f(x)]为奇函数．（Ⅱ）当[a>0]，且[a≠1]时，[f(x)]在定义域内单调递增．（Ⅲ） [b]的取值范围是（－∞，－1]．
例1 若[f(x)=1log12(2x+1)]，则[f(x)]的定义域为 .
分析 本题是知道函数的解析式求其定义域，分母不为0，被开方数大于等于0，真数大于0.
解 要使得函数有意义，则[log12(2x+1)≠0,log12(2x+1)≥0,2x+1>0.][∴0<2x+1<1], [∴-12
点拨 对于这类试题，要求全面考虑，每个部分有意义的情况都要考虑，特别是真数大于零，很容易被忽视．
例2 已知函数[f(x)=2x+a,x<1,-x-2a,x≥1,]若[f(1-a)=f(1+a)]，则实数[a]的值为 ．
分析 本题是分段函数问题，主要是分类讨论，要考虑全面．
解 [f(1-a)=f(1+a)]等价于
[1+a=1-a或1-a<1,1+a≥1,21-a+a=-1+a-2a.]
[或1-a≥1,1+a<1,21+a+a=-1-a-2a.]
解得[a=0或a=-34.]
点拨 要弄清楚[f(1-a)和f(1+a)]的表达式，就必须对[1-a、1+a]的范围进行分类．
2．函数的图象和函数的零点
例3 函数[y＝xsinx]，[x∈(－π，0)∪(0，π)]的图象可能是下列图象中的（ ）
分析 对函数图象的考查主要在选择题，可以抓住某些性质（如图象的对称性、周期性、特殊点、单调性）排除不符合的选项，最后剩下来的就是正确答案.
解 由于当[x∈0,π2]时，有[0
由于[y＝xsinx]是偶函数，排除A；
当[x＝2]时，[y＝2sin2]>2，排除D；故选C.
点拨 对于复杂的函数，它的图象很难用在短时间内画出来，对于选择试题，采用排除法是上上策．
3．函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
例4 若[f(x)=lg2x1+x+a(a∈R)]是奇函数，则[a＝] .
分析 奇函数的定义域关于原点对称，且对于定义域中的每一个[x]都满足[fx+f-x=0].
解 因为[f(x)=lg2x1+x+a]是奇函数，
∴[fx+f-x=0]恒成立，
即[lg2x1+x+a+lg-2x1-x+a]
[＝lg2x1+x+a-2x1-x+a＝0],
[∴2x1+x+a-2x1-x+a=1],
[∴(a2＋4a＋3)x2－(a2－1)＝0].
∵上式对定义内的任意[x]都成立，
∴[a2+4a+3=0,a2-1=0,] [∴a＝－1.]
点拨 ①可以先将真数通分，再利用[f(－x)＝－fx]恒成立求解，运算过程稍简单些．
②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．[f(x)=lg(a+2)x+a1+x]为奇函数，显然[x＝－1]不在[fx]的定义域内，故[x＝1]也不在[f(x)]的定义域内，令[x=-aa+2=1]，得[a＝－1]．
例5 已知定义域为[R]的函数[f(x)=-2x+b2x+1+2]是奇函数．
（Ⅰ）求[b]的值；
（Ⅱ）判断函数[f(x)]的单调性；
（Ⅲ）若对任意的[t∈R]，不等式[f(t2-2t)+f(2t2-k)]<0恒成立，求[k]的取值范围．
分析 （Ⅰ）由于[fx]在[x=0]处有意义，则[f0=0]，可求[b]，但需要检验.
（Ⅱ）判断单调性可以用定义法.
（Ⅲ）可以利用单调性得到[t2-2t>-2t2+k]，而不需要代入求出[ft2-2t+f2t2-k]的表达式.
解 （Ⅰ）由于[f(x)=-2x+b2x+1+2]是奇函数，则[f0=b-12+2=0]，则[b=1].
当[b=1]时，[fx=1-2x2x+1+2]，
[∵f-x=1-2-x2-x+1+2=2x-12+2x+1=-fx]，满足条件 [∴b=1].
（Ⅱ）任取[x1
[=-12+12x1+1--12+12x2+1=12x1+1-12x2+1=2x2-2x12x1+12x2+1.]
由于[x1
而[2x1+1>0]，[2x2+1>0],
[∴fx1-fx2>0,即fx1>fx2,]
[∴fx在R上是减函数.]
（Ⅲ）由[f(t2-2t)+f(2t2-k)<0]，得
[ft2-2t<-f2t2-k=f-2t2+k]，
[∴t2-2t>-2t2+k]，
[∴k<3t2-2t=3t-132-13]，
由于函数[y=3t-132-13]的最小值是[-13]，
[∴k<-13]，[∴k]的取值范围是[-∞,-13].
点拨 奇函数在[x=0]处有意义，则[f0=0]，但这不是[fx]是奇函数的充要条件，需要检验. 判断单调性还可以用导数来求，[k
（1）求证：[f(x)]是周期函数；
（2）当[x∈[2,4]]时，求[f(x)]的解析式；
（3）计算[f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)]．
分析 由[f(x＋2)=-f(x)]可得[f(x＋4)]与[f(x)]关系，由[f(x)]为奇函数及在（0，2]上的解析式可求[f(x)]在[－2，0]上的解析式，进而可得[f(x)]在[2，4]上的解析式．
解 （1）∵[f(x＋2)＝－f(x)]，
∴[f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)]．
∴[f(x)]是周期为4的周期函数．
（2）当[x∈[－2,0]]时，[－x∈[0,2]]，由已知得
[f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，]
又[f(x)]是奇函数，∴[f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2]，
∴[f(x)＝x2＋2x].
又当[x∈[2,4]]时，[x－4∈[－2,0]]，
∴[f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8].
又[f(x)]是周期为4的周期函数，
∴[f(x)＝f(x－4)＝x2－6x＋8].
从而求得[x∈[2,4]]时，f[(x)＝x2－6x＋8].
（3）[f(0)＝0，f(2)＝0，][f(1)＝1，f(3)＝－1.]
又[f(x)]是周期为4的周期函数，
∴[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)]
＝…＝[f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0].
∴[f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0].
点拨 充分利用周期性的定义[fx+T=fx]，只要知道一个周期内的解析式，就可以求[fx]的解析式，有时可以借助图象来解题．
4．几种特殊函数（指数函数、对数函数、幂函数）
例7 函数[y＝ax]在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则[a]的值为（ ）
A. B．2 C．4 D.
分析 利用单调性求出函数的在区间上的最值，然后解方程.
解法1 对[a]分类讨论．
若[a>1]，则[y＝ax]在[0，1]上是单调递增函数，当[x＝0]时，[y]有最小值1；当[x＝1]时，[y]有最大值[a]，由题设[1＋a＝3]，则[a＝2].
若[0
点拨 指数函数的最值问题一般都是用单调性解决．
例8 若函数[y＝loga(x2－ax＋1)]在[1，2]上为增函数，则实数[a]的取值范围是 ．
分析 利用复合函数单调性的判断，要分别分析内函数和外函数的单调性，但要注意函数的定义域.
解法1 令[z＝φx＝x2－ax＋1＝x-a22+1-a24]
当[0
又因为[y＝logaz]单调递减，所以复合函数[y＝loga(x2－ax＋1)]在[1，2]上单调递减．
当[12
当[a2]>2，即[a>4]时，[φ(x)]单减，
又[y＝logaz]单增，故不符合条件．
因此，符合条件的实数[a]的取值范围是（1，2）．
解法2 由于[φ1=1-a+1>0]，则[a<2]，则[a2<1]，则[z＝φx＝x2－ax＋1＝x-a22+1-a24]在[1，2]是单调递增函数，
又由于函数[y＝loga(x2－ax＋1)]在[1，2]上为增函数，则[y＝logaz]在[0，+∞]是单调递增函数，
则[a>1φ(1)>0]，则[1
1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为[f(x)＝x2]，值域为{1，4}的“同族函数”共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
2．已知[f(x)=ln1x，x>01x，x<0]，则[fx>－1]的解集为（ ）
A. [(－∞，－1)∪(0，e)]
B. [(－∞，－1)∪(e，＋∞)]
C. [(－1，0)∪(e，＋∞)]
D. [(－1，0)∪(0，e)]
3．已知偶函数[y＝f(x)]对任意实数[x]都有[f(x＋1)＝－f(x)]，且在[0，1]上单调递减，则（ ）
A．[f(72)
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5．已知函数[fx]是[R]上的偶函数，且[f(1－x)＝f(1＋x)]，当[x∈0,1]时，[fx＝x2]，则函数[y＝fx－log5x]的零点个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知函数[y＝f(x)]是偶函数，[y＝g(x)]是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在[x∈][0，π]上的图象如图所示，则不等式[f(x)g(x)]<0的解集是 ．
7．偶函数[f(x)]在区间[[0，a](a>0)]上是单调函数，且[f(0)⋅f(a)<0]，则方程[f(x)＝0]在区间[[－a，a]]内根的个数是 .
8．不等式[|1＋log2x|>2]的解集是 ．
9．[若a+1-13<3-2a-13]，则[a]的取值范围是 .
10．已知函数[f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)]是偶函数．
（Ⅰ）求[k]的值；
（Ⅱ）设[g(x)＝log4(a⋅2x-43a)]，若函数[f(x)]与[g(x)]的图象有且只有一个公共点，求实数[a]的取值范围．
11．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度[v]（单位：千米/小时）是车流密度[x]（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流量达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当[20≤x≤200]时，车流速度[v]是车流密度[x]的一次函数.
（Ⅰ）当[0≤x≤200]时，求函数[v(x)]的表达式；
（Ⅲ） 当车流密度[x]为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）[f(x)=x⋅v(x)]可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
12．已知[f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)]．
（Ⅰ）判断[f(x)]的奇偶性；
（Ⅱ）讨论[f(x)]的单调性；
（Ⅲ）当[x∈[－1,1]]时，[f(x)≥b]恒成立，求[b]的取值范围．
[【参考答案】]
1．C 2．A 3．B 4．D 5．B
6. [(-π3,0)∪(π3,π)] 7．2
8. （0，[18]）∪（2，＋∞）
9．[-∞,-1⋃23,32]
10． （Ⅰ）[-12] （Ⅱ） {－3}∪（1，＋∞）．
11． （Ⅰ）[v(x)=60,0≤x≤20,13(200-x),20≤x≤200]
（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
12． （Ⅰ）[f(x)]为奇函数．（Ⅱ）当[a>0]，且[a≠1]时，[f(x)]在定义域内单调递增．（Ⅲ） [b]的取值范围是（－∞，－1]．