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[摘 要] 浙教版数学课程标准提出:义务教育阶段的数学课程,不仅要考虑数学自身的特点,而且要遵循学生学习数学的心理规律。著名数学家保罗·厄多斯指出:提出一个问题往往比解决一个问题更重要,因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已,而提出新的问题、从新的角度去看旧的问题,却需要有创造性的想象力。在新课程倡导的平等、民主、和谐、宽松、融洽的课堂教学氛围中,教师在教学时不能跟着感觉走,而应该积极“有心”地引导课堂中出现的 “答非所问” “节外生枝” “插嘴”等各种“意外”的插曲,使课堂出现不曾预设的精彩,收到意想不到的教学效果,从而真正有效地提高课堂的教学效率。
[关键词 ] 意外 引导 培养思维 有效教学
新课程实施以来,教师如何面对新课程的挑战,如何及时更新教育理念,关系到新一轮课程改革成功与否。而有效教学理念的提出,是新课程倡导的学生自主性、探索性、研究性学习的最好体现,也是检验教师是否关注教学效益,是否有时间与效益观念的体现。使这种教学真正促进学生个性的发展、思维的训练、创新能力的培养,让不同水平的学生都有不同的发展。那么,如何认识和对待教学过程中反映出来的各种“意外”的插曲,从而有效提高课堂教学的效率呢?下面结合自己多年的数学教学经验,就如何对待数学课堂中的“意外”,谈谈自己的看法:
一、关注“错误”展现精彩,有效激发学生学习的自主性
著名教育家卡尔·威特的教育秘诀之一,就是宽容地、理性地看待孩子的一切,包括“错误”。我们的学生有着不同的知识背景,参差不齐的思维水平,难免就会出错,我们要宽容、理性地对待学生的错误,不要轻易否定,要肯定学生的积极参与,用鼓励的语言去评判, 有效激发学生学习的自主性。
例1 已知 = = =k,求k的值。
大多数学生能利用等比性质定理很容易得出:
k= =2,故k的值为2。
正当学生为能运用定理成功解题而沾沾自喜的时候,我引导学生静下心来,认真检查,通过检查似乎没有发现运算过程中的什么错误,学生感到疑惑不解。我适时地提醒他们再回过头来阅读等比性质定理:如果 = =…= (b+d+…+n≠0), 那么 = ,这时有不少学生才发现了括号中所有分母之和不能为0的条件,经讨论得出下列解法:
当a + b + c≠0时, k=2 (见上);
当a + b + c = 0时,b + c =-a,则k = =- =-1。
故k的值为2或-1。
这一错例,对大家产生了强烈的刺激,给学生留下了深刻的印象,学生对等比性质括号中的补充条件也牢固地建立起来了。遇到这种比较棘手的错误资源,只要“有心”引导,处理得当,很有可能转化成为本节课最大的“亮点”,从而有效地激发了学生学习的自主性,让我们的数学课堂因为“错误”而更显精彩!
二、捕捉“插嘴”,调整策略,有效培养学生思维的敏捷性
在新型的师生关系下,在如今这种轻松、活泼、没有约束的课堂氛围中,学生“插嘴”不是“乱”,而是一种“活”资源。面对学生的“插嘴”,我们可以提供一个空间,给学生一个表达的机会,一个自由想象的时空,真正地把课堂还给学生,这有利于发展学生思维的敏捷性。
例2 在教学勾股定理时,如用4个全等的直角三角形拼成如下图形,通过讨论学生很快验证了勾股定理:
由面积计算可得(a+b)2=4×( ab)+c2,
展开得a2+2ab+b2=2ab+c2,
化简得a2+b2=c2。
我正准备过渡到第二环节时……“老师,把图中的直角三角形翻转一下,也可验证勾股定理。”一个学生说道。于是我请他走上讲台展示自己的观点。他拿着手中拼成的图形先展示给全班学生,并很快地在黑板上画出了下列图形,写下了验证过程。
由面积计算可得c2=4×( ab)+(b-a)2,
展开得c2=2ab+b2-2ab+a2,
化简得c2=a2+b2。
他那娴熟的技巧令我不禁暗暗叫绝,随即响起一片掌声,得到了大家的称赞。
“还可以这样拼,”数学课代表那清脆的声音在教室响起,为不影响她的积极性,于是,我又请她上来。
“将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个梯形就可以验证。”她一边说一边已画出了图形,并写下了验证过程:
由面积计算可得 (a+b)(b+a)=2×( ab)+ c2,
展开得 a2+ab+ b2=ab+ c2,
化简得a2+b2=c2。
此时,时间已过去了一大半,可班内这阵势,这气氛,真使我无法转向第二个环节。我猛然想起,这不是有利于发展学生的敏捷性思维吗?这种生成的机遇若不抓住,何等的可惜!于是,我顺水推舟:“还有别的拼法吗?”
平时言语不多的一个同学上来了。她一口气流利地叙述了以下过程:
如下图所示,把图甲中的4个直角三角形移位,成为图乙。因为图甲与图乙两个大正方形的面积相等,所以:
甲正方形的面积=c2+4× ab=c2+2ab,
乙正方形的面积=a2+b2+4× ab=a2+b2+2ab,
∴c2+2ab=a2+b2+2ab,a2+b2=c2。
图甲 图乙
随后顽皮的林亮也走上了讲台,他模仿上面的方法,将图作了如下移位:
用同样的方法验证了勾股定理。
同学们还在热烈地探索着,课堂气氛达到了高潮,这时不知谁喊了一声“下课了!”,我看了一下手表,已超过5分多钟……
于是,我赶紧“急刹车”,鼓励一番后说:“勾股定理到目前为止已有400多种验证方法,我们本节课探索的只是几种方法,而我国是发现勾股定理最早的国家之一。”
“勾股定理真有趣!”
“我国的古人真棒!”
显然,这是一堂“节外生枝”的数学探究课,教师原本准备先探索、验证勾股定理,接着巩固应用,时间分配各一半。谁知学生却发现了许多验证勾股定理的拼证法,让教师始料不及,值得庆幸的是,我没有武断地干扰学生的精彩想法, 而是捕捉到他们“插嘴”这一契机,及时调整了教学策略,“有心”地围绕学生自己发现的问题展开探究。这样的教学过程不仅满足了学生的探究欲望,把学习的主动权还给了学生,而且让学生体验到学数学的乐趣,并培养了学生的敏捷性思维。
三、引导“出轨”增添异彩,有效培养学生思维的严密性
数学课堂教学是一门艺术,而艺术本身就不可能完善。诸如“错误的时常出现”这种不完美往往会给课堂本身增添许多耐人寻味的成分。上课时,学生经常会出现 “出轨”的行为,只要教师及时抓住契机,及时调整教学,“有心”地引导学生思考问题,就可以培养学生思维的严密性。
在教学一元一次不等式和一元一次不等式组时,有这样一道例题:
例3 在什么条件下,长度为3cm,7cm,xcm的三条线段可以围成一个三角形?
这一问题起着承上启下的作用,它往往使教师重视后续内容的学习,而忽视对此内容的教学。笔者在所带两个班的其中一个班上,就是用这样的想法进行授课的,结果在解决作业中补充的一道题时,有近半数的学生做错,这道题是:
在什么条件下,长度为4, x-1,8 的三条线段可以围成一个三角形?
学生列出的错误不等式组是:
4 +( x-1 )> 8 4 -( x-1 )< 8 或4 +( x-1 )> 8
8 -( x-1 ) < 4
显然,这些学生只知道根据“三角形两边的和大于第三边,两边的差小于第三边”列出两个不等式,却不知列哪两个不等式才恰当。于是我们针对学生的错误进行了探讨。
1.出示例3中的问题,让学生对怎样列不等式展开讨论;
2.让学生尽可能多地列出满足条件的不等式:
① 3 +7>x ; ② 3 +x >7;③ 7 +x >3;④ 7-3 3.教师引导学生对所列不等式进行分析、合并选择。
不等式②、④、⑤通过移项后实际上是同一个不等式;⑥、①、⑨和③、⑦、⑧也是一样。而对于③、⑦、⑧,由于x为正数,它们恒成立,因此这三个不等式不必列出,只需①、④两个不等式即可, 即列出不等式组 3+7>x7-3 4.让学生观察发现:所列不等式组恰是两条已知线段的和大于未知的第三条线段,两条已知线段的差(大减小)小于未知的第三条线段,因此,解决此类问题只须选取这样的两个不等式来组成不等式组即可。
在本案例中,我们感到给学生的“意外”以恰当的引导,留给学生充分的思考与活动时间,经历探索不等式组模型的形成过程,自然过渡到“模型化”,学生的认知水平能够产生质的飞跃,严密性思维也得到了培养,教学效果显著。心理学家盖耶认为:“谁不考虑尝试错误,不允许学生犯错误,就将错过最富成效的学习时刻。”学生犯错的过程应看做一种尝试和创新的过程,只有这样,才能让“意外”质疑成为数学课堂教学中的一个亮点。
课堂过程是一个开放的、不断生成的过程。课堂之所以是充满生命活力的,就因为我们面对的是一个个鲜活的生命体;课堂教学的价值就在于每一节课都是不可预设、不可复制的生命历程。因此,我们要善待学生,更要善于利用,因势利导,善于驾驭课堂。把 “纠错” “插嘴” “出轨”等这些“意外”的插曲,当做课堂教学中的有效资源,“有心”地加以引导和捕捉,这样才能更好地将学生的学习热情与创造性真正引导到数学活动中去,使数学课堂更加精彩,从而有效促进学生的发展。
参考文献
[1]黎奇.新课程背景下的课堂有效教学策略[M].北京:首都师范大学出版社.
[2]全日制义务教育数学课程标准(实验稿)[S].北京:北京师范大学出版社.
[3]安媛.新课程背景下培养学生有效学习策略的尝试[J].天津教育,2006(2).
[4]钟启泉等.基础教育课程改革纲要解读(试行)[M].上海:华东师范大学出版社,2001.
[5]中国教育学会主办.中小学教学(初中版).
[关键词 ] 意外 引导 培养思维 有效教学
新课程实施以来,教师如何面对新课程的挑战,如何及时更新教育理念,关系到新一轮课程改革成功与否。而有效教学理念的提出,是新课程倡导的学生自主性、探索性、研究性学习的最好体现,也是检验教师是否关注教学效益,是否有时间与效益观念的体现。使这种教学真正促进学生个性的发展、思维的训练、创新能力的培养,让不同水平的学生都有不同的发展。那么,如何认识和对待教学过程中反映出来的各种“意外”的插曲,从而有效提高课堂教学的效率呢?下面结合自己多年的数学教学经验,就如何对待数学课堂中的“意外”,谈谈自己的看法:
一、关注“错误”展现精彩,有效激发学生学习的自主性
著名教育家卡尔·威特的教育秘诀之一,就是宽容地、理性地看待孩子的一切,包括“错误”。我们的学生有着不同的知识背景,参差不齐的思维水平,难免就会出错,我们要宽容、理性地对待学生的错误,不要轻易否定,要肯定学生的积极参与,用鼓励的语言去评判, 有效激发学生学习的自主性。
例1 已知 = = =k,求k的值。
大多数学生能利用等比性质定理很容易得出:
k= =2,故k的值为2。
正当学生为能运用定理成功解题而沾沾自喜的时候,我引导学生静下心来,认真检查,通过检查似乎没有发现运算过程中的什么错误,学生感到疑惑不解。我适时地提醒他们再回过头来阅读等比性质定理:如果 = =…= (b+d+…+n≠0), 那么 = ,这时有不少学生才发现了括号中所有分母之和不能为0的条件,经讨论得出下列解法:
当a + b + c≠0时, k=2 (见上);
当a + b + c = 0时,b + c =-a,则k = =- =-1。
故k的值为2或-1。
这一错例,对大家产生了强烈的刺激,给学生留下了深刻的印象,学生对等比性质括号中的补充条件也牢固地建立起来了。遇到这种比较棘手的错误资源,只要“有心”引导,处理得当,很有可能转化成为本节课最大的“亮点”,从而有效地激发了学生学习的自主性,让我们的数学课堂因为“错误”而更显精彩!
二、捕捉“插嘴”,调整策略,有效培养学生思维的敏捷性
在新型的师生关系下,在如今这种轻松、活泼、没有约束的课堂氛围中,学生“插嘴”不是“乱”,而是一种“活”资源。面对学生的“插嘴”,我们可以提供一个空间,给学生一个表达的机会,一个自由想象的时空,真正地把课堂还给学生,这有利于发展学生思维的敏捷性。
例2 在教学勾股定理时,如用4个全等的直角三角形拼成如下图形,通过讨论学生很快验证了勾股定理:
由面积计算可得(a+b)2=4×( ab)+c2,
展开得a2+2ab+b2=2ab+c2,
化简得a2+b2=c2。
我正准备过渡到第二环节时……“老师,把图中的直角三角形翻转一下,也可验证勾股定理。”一个学生说道。于是我请他走上讲台展示自己的观点。他拿着手中拼成的图形先展示给全班学生,并很快地在黑板上画出了下列图形,写下了验证过程。
由面积计算可得c2=4×( ab)+(b-a)2,
展开得c2=2ab+b2-2ab+a2,
化简得c2=a2+b2。
他那娴熟的技巧令我不禁暗暗叫绝,随即响起一片掌声,得到了大家的称赞。
“还可以这样拼,”数学课代表那清脆的声音在教室响起,为不影响她的积极性,于是,我又请她上来。
“将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个梯形就可以验证。”她一边说一边已画出了图形,并写下了验证过程:
由面积计算可得 (a+b)(b+a)=2×( ab)+ c2,
展开得 a2+ab+ b2=ab+ c2,
化简得a2+b2=c2。
此时,时间已过去了一大半,可班内这阵势,这气氛,真使我无法转向第二个环节。我猛然想起,这不是有利于发展学生的敏捷性思维吗?这种生成的机遇若不抓住,何等的可惜!于是,我顺水推舟:“还有别的拼法吗?”
平时言语不多的一个同学上来了。她一口气流利地叙述了以下过程:
如下图所示,把图甲中的4个直角三角形移位,成为图乙。因为图甲与图乙两个大正方形的面积相等,所以:
甲正方形的面积=c2+4× ab=c2+2ab,
乙正方形的面积=a2+b2+4× ab=a2+b2+2ab,
∴c2+2ab=a2+b2+2ab,a2+b2=c2。
图甲 图乙
随后顽皮的林亮也走上了讲台,他模仿上面的方法,将图作了如下移位:
用同样的方法验证了勾股定理。
同学们还在热烈地探索着,课堂气氛达到了高潮,这时不知谁喊了一声“下课了!”,我看了一下手表,已超过5分多钟……
于是,我赶紧“急刹车”,鼓励一番后说:“勾股定理到目前为止已有400多种验证方法,我们本节课探索的只是几种方法,而我国是发现勾股定理最早的国家之一。”
“勾股定理真有趣!”
“我国的古人真棒!”
显然,这是一堂“节外生枝”的数学探究课,教师原本准备先探索、验证勾股定理,接着巩固应用,时间分配各一半。谁知学生却发现了许多验证勾股定理的拼证法,让教师始料不及,值得庆幸的是,我没有武断地干扰学生的精彩想法, 而是捕捉到他们“插嘴”这一契机,及时调整了教学策略,“有心”地围绕学生自己发现的问题展开探究。这样的教学过程不仅满足了学生的探究欲望,把学习的主动权还给了学生,而且让学生体验到学数学的乐趣,并培养了学生的敏捷性思维。
三、引导“出轨”增添异彩,有效培养学生思维的严密性
数学课堂教学是一门艺术,而艺术本身就不可能完善。诸如“错误的时常出现”这种不完美往往会给课堂本身增添许多耐人寻味的成分。上课时,学生经常会出现 “出轨”的行为,只要教师及时抓住契机,及时调整教学,“有心”地引导学生思考问题,就可以培养学生思维的严密性。
在教学一元一次不等式和一元一次不等式组时,有这样一道例题:
例3 在什么条件下,长度为3cm,7cm,xcm的三条线段可以围成一个三角形?
这一问题起着承上启下的作用,它往往使教师重视后续内容的学习,而忽视对此内容的教学。笔者在所带两个班的其中一个班上,就是用这样的想法进行授课的,结果在解决作业中补充的一道题时,有近半数的学生做错,这道题是:
在什么条件下,长度为4, x-1,8 的三条线段可以围成一个三角形?
学生列出的错误不等式组是:
4 +( x-1 )> 8 4 -( x-1 )< 8 或4 +( x-1 )> 8
8 -( x-1 ) < 4
显然,这些学生只知道根据“三角形两边的和大于第三边,两边的差小于第三边”列出两个不等式,却不知列哪两个不等式才恰当。于是我们针对学生的错误进行了探讨。
1.出示例3中的问题,让学生对怎样列不等式展开讨论;
2.让学生尽可能多地列出满足条件的不等式:
① 3 +7>x ; ② 3 +x >7;③ 7 +x >3;④ 7-3
不等式②、④、⑤通过移项后实际上是同一个不等式;⑥、①、⑨和③、⑦、⑧也是一样。而对于③、⑦、⑧,由于x为正数,它们恒成立,因此这三个不等式不必列出,只需①、④两个不等式即可, 即列出不等式组 3+7>x7-3
在本案例中,我们感到给学生的“意外”以恰当的引导,留给学生充分的思考与活动时间,经历探索不等式组模型的形成过程,自然过渡到“模型化”,学生的认知水平能够产生质的飞跃,严密性思维也得到了培养,教学效果显著。心理学家盖耶认为:“谁不考虑尝试错误,不允许学生犯错误,就将错过最富成效的学习时刻。”学生犯错的过程应看做一种尝试和创新的过程,只有这样,才能让“意外”质疑成为数学课堂教学中的一个亮点。
课堂过程是一个开放的、不断生成的过程。课堂之所以是充满生命活力的,就因为我们面对的是一个个鲜活的生命体;课堂教学的价值就在于每一节课都是不可预设、不可复制的生命历程。因此,我们要善待学生,更要善于利用,因势利导,善于驾驭课堂。把 “纠错” “插嘴” “出轨”等这些“意外”的插曲,当做课堂教学中的有效资源,“有心”地加以引导和捕捉,这样才能更好地将学生的学习热情与创造性真正引导到数学活动中去,使数学课堂更加精彩,从而有效促进学生的发展。
参考文献
[1]黎奇.新课程背景下的课堂有效教学策略[M].北京:首都师范大学出版社.
[2]全日制义务教育数学课程标准(实验稿)[S].北京:北京师范大学出版社.
[3]安媛.新课程背景下培养学生有效学习策略的尝试[J].天津教育,2006(2).
[4]钟启泉等.基础教育课程改革纲要解读(试行)[M].上海:华东师范大学出版社,2001.
[5]中国教育学会主办.中小学教学(初中版).