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【摘要】数学模型是将学生面对的实际问题抽象化，并建立相应方式的解题模式，该模式对于解决实际问题提供了便利.概率模型是概率知识的重要组成部分，在高中数学教学中有着重要的地位;概率模型是新课标要求高中学生必须掌握的模型之一，也是高考数学的必考内容.掌握古典概率模型、几何概率模型以及其他模型为学习概率知识打下了良好基础.下面通过一些例题系统地比较分析高中数学中的三种概率模型.
【关键词】数学模型;高中数学;概率模型
一、古典概率模型
古典概型的随机试验，包含了若干个基本事件，这些基本事件都具有两大基本特性：第一，任何两个基本事件一定互斥;第二，排除不可能事件外，任何事件都是由基本事件所组成的.通常情况下，辨别某一个概率事件是否为古典概型，要看它有无下述两点特性：第一，该项实验中全部可能存在的基本事件数量是有限的;第二，所有基本事件存在的概率均相同.凡符合上述两点特性者均为古典概型，其数学公式为：P（A）=mn，其中m为事件A包含的基本事件个数，n为整个随机试验包含的基本事件的个数.基本事件的有限性和等可能性是正确判断随机试验的类型为古典概型的依据，也是解决此类问题的关键.处理古典概型的方法一般分为两种：图表法和列举法.
（一）CASE1用图表法求古典概型的概率
例1现存在两个玩具，其形状均为正四面体，每个玩具的四面分别写有1、2、3、4.现进行投掷玩具试验，以X代表第一个玩具抛落在地的贴地面数字，以Y代表另一个玩具贴地面的数字，两者用（X，Y）的形式表示.
①要求罗列上述试验基本事件;②计算“两玩具贴地面数字之和大于3”的事件概率;③计算“两玩具贴地面数字相等”的事件概率.
解①这个试验的基本事件列表如下：
从表中可以看出，该随机试验共包含了16个基本事件.
②由①中图表可知，事件“两玩具贴地面的数字之和大于3”包含有13个基本事件，∴P=1316.
③由①中图表可知，事件“两玩具贴地面的数字相等”包含有4个基本事件，∴P=416=14.
（二）CASE2用列举法求古典概型的概率
例2现有8名志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语， B1、B2、B3通晓俄语， C1、C2通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语、韩语的志愿者各一名，组成一个小组.①求A1被选中的概率;②求B1和C1不全被选中的概率.
解①从8人中选出通晓日、俄、韩语的志愿者各一名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}共18个基本事件.用M表示“A1恰被选中”这一事件.则M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}共6个基本事件.∴P（M）=618=13.
②用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示为“B1、C1全被选中”这一事件，由于N={（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，即事件N包含了3个基本事件，∴P（N）=318=16，∴P（N）=1-16=56.
二、几何概率模型
几何概型定义：假使每个事件发生的概率都只同该事件所表示区域的长度、面积或体积成比，此类概率模式即为几何概型.计算公式如下：
P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）试验全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.通过以上定义和计算公式，我们可以得出几何概型的三种基本题型.
（一）CASE1求与长度有关的几何概型的概率
图1例3如图A、B两盏路灯之间的长度是30米，因住户反应两灯之间距离过远，光线太暗，现需要在A，B中间再安两盏灯C、D，求A、C两灯和B、D两灯之间距离都大于或等于10米的概率.
解记事件E为“A与C，B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，30×13=10米.
∴P（E）=1030=13.
（二）CASE2求与面积有关的几何概型的概率
图2例4现有一长方形ABCD，长和宽分别为2、1，AB中点设为O，在长方形内随机取一点，求该点与O点距离超过1的概率.
解记事件E为“取点到O的距离大于1”，其对立事件E为“取点到O点距离小于1”.
因为长方形的面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在长方形ABCD内部为半圆的面积等于π2.
∴P（E）=π22=π4，P（E）=1-π4.故取点到O点距离大于1的概率为1-π4.
（三）CASE3求与体积有关的几何概型的概率
例5已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱錐内任取一点P，使得VP-ABC
【关键词】数学模型;高中数学;概率模型
一、古典概率模型
古典概型的随机试验，包含了若干个基本事件，这些基本事件都具有两大基本特性：第一，任何两个基本事件一定互斥;第二，排除不可能事件外，任何事件都是由基本事件所组成的.通常情况下，辨别某一个概率事件是否为古典概型，要看它有无下述两点特性：第一，该项实验中全部可能存在的基本事件数量是有限的;第二，所有基本事件存在的概率均相同.凡符合上述两点特性者均为古典概型，其数学公式为：P（A）=mn，其中m为事件A包含的基本事件个数，n为整个随机试验包含的基本事件的个数.基本事件的有限性和等可能性是正确判断随机试验的类型为古典概型的依据，也是解决此类问题的关键.处理古典概型的方法一般分为两种：图表法和列举法.
（一）CASE1用图表法求古典概型的概率
例1现存在两个玩具，其形状均为正四面体，每个玩具的四面分别写有1、2、3、4.现进行投掷玩具试验，以X代表第一个玩具抛落在地的贴地面数字，以Y代表另一个玩具贴地面的数字，两者用（X，Y）的形式表示.
①要求罗列上述试验基本事件;②计算“两玩具贴地面数字之和大于3”的事件概率;③计算“两玩具贴地面数字相等”的事件概率.
解①这个试验的基本事件列表如下：
从表中可以看出，该随机试验共包含了16个基本事件.
②由①中图表可知，事件“两玩具贴地面的数字之和大于3”包含有13个基本事件，∴P=1316.
③由①中图表可知，事件“两玩具贴地面的数字相等”包含有4个基本事件，∴P=416=14.
（二）CASE2用列举法求古典概型的概率
例2现有8名志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语， B1、B2、B3通晓俄语， C1、C2通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语、韩语的志愿者各一名，组成一个小组.①求A1被选中的概率;②求B1和C1不全被选中的概率.
解①从8人中选出通晓日、俄、韩语的志愿者各一名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}共18个基本事件.用M表示“A1恰被选中”这一事件.则M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}共6个基本事件.∴P（M）=618=13.
②用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示为“B1、C1全被选中”这一事件，由于N={（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，即事件N包含了3个基本事件，∴P（N）=318=16，∴P（N）=1-16=56.
二、几何概率模型
几何概型定义：假使每个事件发生的概率都只同该事件所表示区域的长度、面积或体积成比，此类概率模式即为几何概型.计算公式如下：
P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）试验全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.通过以上定义和计算公式，我们可以得出几何概型的三种基本题型.
（一）CASE1求与长度有关的几何概型的概率
图1例3如图A、B两盏路灯之间的长度是30米，因住户反应两灯之间距离过远，光线太暗，现需要在A，B中间再安两盏灯C、D，求A、C两灯和B、D两灯之间距离都大于或等于10米的概率.
解记事件E为“A与C，B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，30×13=10米.
∴P（E）=1030=13.
（二）CASE2求与面积有关的几何概型的概率
图2例4现有一长方形ABCD，长和宽分别为2、1，AB中点设为O，在长方形内随机取一点，求该点与O点距离超过1的概率.
解记事件E为“取点到O的距离大于1”，其对立事件E为“取点到O点距离小于1”.
因为长方形的面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在长方形ABCD内部为半圆的面积等于π2.
∴P（E）=π22=π4，P（E）=1-π4.故取点到O点距离大于1的概率为1-π4.
（三）CASE3求与体积有关的几何概型的概率
例5已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱錐内任取一点P，使得VP-ABC