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摘要：“鸡兔同笼”是一类问题的总称，用哪种方法教，哪种方法更易让学生接受，这要根据学生的年龄特征来判断。“鸡兔同笼”的教学要重视向学生渗透数学思想方法，关注学生的学习过程，它不能仅仅停留在知识的层面，它在培养学生发散性思维以及化归、枚举、数形结合、假设、建模等数学思想方法，还有关注孩子思维成长方面具有较高的研究价值。而这些数学思想方法对不同年级的学生来说，会产生不一样的选择倾向。教学中要让学生在充分感知的基础上，通过观察、思考、发现、比较，应用画图、列表、假设、方程等方法来解决，揭示感性经验背后理性抽象的数学经验，让学生获取具有概括性、普遍性的数学知识，实现从感性到理性的转变。
关键词：经历；经验；生长；不同学段
一、 理论篇
“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这是我国古代数学名著《孙子算经》中的一道趣题。“鸡兔同笼”教学要让学生经历自主探究问题解决的过程，培养逻辑推理能力，增强应用意识和实践能力。就解题的角度来说，有一系列的方法：画图法、列表法、假设法、方程法、二元一次方程组等。这个问题的多种解法中，同时对应着一定的数学思想。比如，列表与枚举，画图与数形结合等。学生在运用多种解法解决问题的同时，对数学思想会有一定的感悟。可以说，“鸡兔同笼”教学内容和教学中可挖掘的资源非常丰富，是学生积累数学基本活动经验和渗透数学思想方法的典型的课。它的教学价值追求不应局限于问题本身，而在于其学习价值的实现。
但，仅用一个课时教学，教与学都容易“囫囵吞枣”。更何况基本活动经验和数学思想方法的形成需要一个长期的过程，教师要提供不断地组织学生参与的数学探究过程，只有学生参与了多样化的数学活动，经历多次调用和加工后才能逐渐达到理性的感悟。由于各版本教材编排的学段、价值取向和教材解读定位不同，许多教师不知道如何定位鸡兔同笼问题，如北师大版教材安排在五年级上册，重点在列表法，人教版教材安排在四年级下册，重点是假设法。那么，是否可将解法的难易度与学生的可接受水平结合起来考虑？就鸡兔同笼问题在低、中、高年段进行连续课教学，根据学生不同年龄的特点，选择合适的教学法。如：二年级选择画图法，五年级选择列表法，六年级选择假设法或方程法，七年级选择二元一次方程组。为此，笔者进行了实践。
二、 实践篇
（一） 二年级教学片段
教学价值取向就是引导和帮助二年级的小朋友借助画图的方法进行尝试与猜测，解决鸡兔同笼问题。
情境：鸡和兔关在同一个笼子里，上面数有8个头，下面数有26条腿，请问鸡、兔各有几只？
（学生尝试解决问题）
师：你是怎么做的？
生：用画图的方法解决。我先画了8个圆圈表示鸡和兔子共有8只，在每个圆圈的下面都画上2条腿，发现只有16条腿，还少10条腿，把这10条腿添到鸡的下面。
师：大家都是这样想的吗？请一位小朋友上来给大家画画看。
在老师的引导下，学生全身心地投入到用画图解决问题当中。渗透了数形结合的思想，比较直观，易学好教，一道相对有难度的鸡兔同籠问题就这么有趣地解决了。
（二） 五年级教学片段
在北师大版的教材中，强调用列表的方法解鸡兔同笼问题。教材编排的价值取向就是让孩子从无序的猜测到有序的整理，从逐一列表的繁琐到跳跃列表法的弹性调整，最后选择取中列表法。
情境：今鸡兔同笼，上有35头，下有94腿，问鸡、兔各几只？
（让学生感受数据太大比较难解决）
再出示：“鸡兔同笼，有9个头，26条腿，鸡、兔各几只？”
……
生尝试练习原题，选取典型三种列表法小组交流。
用列表法解决鸡兔同笼问题，在枚举和假设中让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从原始逐一列举到跳跃列举，理透了数量关系间的变化后，大部分学生喜欢简便快捷的取中列举的方法。但教师有必要让学生明白每一种方法各有各的优点，应根据实际情况选择合适的方法。
（三） 六年级教学片段
把鸡兔同笼问题放在六年级上，是考虑六年级孩子的认知水平和已有的知识经验有较好的基础，为理解假设法和用方程解决做好了准备。
情境：今鸡兔同笼，上有35头，下有94腿，问鸡、兔各几只？
（小组合作，以小组为单位汇报）
生1：我们小组采用的方法有假设法、列表法、画图法三种方法。
生2：我是用画图法来表示的。
生3：我用的是列表法。（幻灯展示）
生4：我用假设法来算的。假设全部都是鸡，35只鸡就有70条腿，70条腿比94条腿少了24条腿，说明这24条腿是兔子的，我们把兔子都当成鸡来算了，每只鸡比兔子少2条腿，所以24÷2就是兔子的只数，35-12就是鸡的只数。
师：那么可不可以假设都是兔子呢？
……
生5：我是用列方程来解决的……
（四） 七年级教学片段
七年级以“鸡兔同笼”为突破口，认识二元一次方程组。从已有的“方程”经验入手，借助并列的两组等量关系，列出二元一次方程组，并学会用代数法或消元法解方程组，并注重结果的验证。
情境：今鸡兔同笼，上有35头，下有94腿，问鸡、兔各几只？
师：今天我们学习用二元一次方程组来解决鸡兔同笼问题。你们能从题目中得到哪些等量关系？
生：“鸡只数 兔只数=总只数”和“兔腿 鸡腿=总腿数”
师：设鸡有x只，兔有y只。我们可以得到哪两个方程？
生：x y=352x 4y=94
师：我们可以组成一个方程组。（板书）
x y=35①2x 4y=94② ……
师：我们可以用代数法和消元法解这个二元一次方程组。
三、 思考篇
“鸡兔同笼”问题在不同年级教学中大致的方法定位后，我们会面对一个追问：到七年级学了二元一次方程组后，学生马上能够解决这个问题，那么之前的那些“低级”方法有价值吗？是的，就从解题的方法而言，价值不大！但我们要发掘的是鸡兔同笼问题的教学价值以及教育价值。
（一） 在经历解决问题的过程中积累活动经验
“鸡兔同笼”问题不管在哪个年段教学都应该着眼于其教材的本质，解读其解题策略的本质属性。重视学习过程中学生思维、情感的全程参与，在不断地提出问题、解决问题的过程中，激活学生原有的经验，不断修复有缺陷的经验，使粗糙的经验渐渐趋于精致，浅层次的经验得到提升，让新生成的经验自然地嵌入已有的经验系统。“鸡兔同笼”解题策略丰富多样的背后也有同一性，即“假设法”。
无论是对解决问题方法、思路的总结以及方法的类比、迁移，最终的目的都是为了帮助学生积累经验，经验的获得、能力的发展，并需要通过一节课一节课循序渐进地积累。
（二） 获得活动经验是智慧生长的重要路径
美国数学家克莱因曾说过：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”因此，教学中不能仅仅停留在知识的层面，“鸡兔同笼”在各年段教学中，教学内容都纳入到原有的知识体系中，实现认知体系的新建构，站在“学生未来发展所必须具备的解决问题的能力这一高度”思考其价值和意义，不断刷新基本活动经验的高度，从而让学生获得智慧的无限生长。
不同学段不同的方法，反映了学生操作思维、表象思维、分析思维三种不同的思维水平，“鸡兔同笼”的解题策略从“画图法→列表法→假设法→方程→二元一次方程组”体现了不同的思维层次。但它們一脉相承，有自己独特的生长方式。
（三） 在经验积累中感悟数学思想
经验积累与思想感悟决定人的思维方式。而经验积累和思想感悟是悟出来的，想出来的，不是教会的。“鸡兔同笼”教学不能过多地在“繁、难、奇、深”上下功夫，应该在准确把握文本教学价值的前提下，经历探究、思考、抽象、推理、反思的过程，积累观察、操作、猜想、归纳、推广等活动经验。从“鸡兔同笼”问题的教学中，体验“化归”、“数形结合”、“枚举”、“建模”等等的数学思想，感受数学的魅力。比如：在列表法中，鼓励学生进行枚举，如果头和腿的数目较多，可以在枚举过程中发现规律然后进行调整，如“发现腿数差很多，那就多增加兔子只数”，还可以从假设一半鸡或兔子开始枚举，来培养学生的数感和估算能力。可是，在实际教学中，很多老师往往不会这样引导学生思考，觉得这是一个笨办法。其实，这种方法是具有一般性的。教师要引导学生抓住学数学用数学的本质，学习“鸡兔同笼”问题并非单纯解决“鸡兔同笼”问题，而是以“鸡兔同笼”问题为载体，学习解决类似的实际问题的方法。
“鸡兔同笼”问题不同年级连续课的教学，应充分认识到可以挖掘的内涵，使学生的收获不仅仅停留在活动经验上，而是从知识技能、数学原理、思想方法、具体策略等多方面得到发展，教师要独具慧眼，把握好教学时机。
参考文献：
[1]徐友新.加强引领 凸现思路[J].小学数学教师，2015，（3）.
[2]王琴.用思想统领方法[J].小学教学，2011，（11）.
作者简介：
杨凯明，浙江省义乌市江滨小学。
关键词：经历；经验；生长；不同学段
一、 理论篇
“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这是我国古代数学名著《孙子算经》中的一道趣题。“鸡兔同笼”教学要让学生经历自主探究问题解决的过程，培养逻辑推理能力，增强应用意识和实践能力。就解题的角度来说，有一系列的方法：画图法、列表法、假设法、方程法、二元一次方程组等。这个问题的多种解法中，同时对应着一定的数学思想。比如，列表与枚举，画图与数形结合等。学生在运用多种解法解决问题的同时，对数学思想会有一定的感悟。可以说，“鸡兔同笼”教学内容和教学中可挖掘的资源非常丰富，是学生积累数学基本活动经验和渗透数学思想方法的典型的课。它的教学价值追求不应局限于问题本身，而在于其学习价值的实现。
但，仅用一个课时教学，教与学都容易“囫囵吞枣”。更何况基本活动经验和数学思想方法的形成需要一个长期的过程，教师要提供不断地组织学生参与的数学探究过程，只有学生参与了多样化的数学活动，经历多次调用和加工后才能逐渐达到理性的感悟。由于各版本教材编排的学段、价值取向和教材解读定位不同，许多教师不知道如何定位鸡兔同笼问题，如北师大版教材安排在五年级上册，重点在列表法，人教版教材安排在四年级下册，重点是假设法。那么，是否可将解法的难易度与学生的可接受水平结合起来考虑？就鸡兔同笼问题在低、中、高年段进行连续课教学，根据学生不同年龄的特点，选择合适的教学法。如：二年级选择画图法，五年级选择列表法，六年级选择假设法或方程法，七年级选择二元一次方程组。为此，笔者进行了实践。
二、 实践篇
（一） 二年级教学片段
教学价值取向就是引导和帮助二年级的小朋友借助画图的方法进行尝试与猜测，解决鸡兔同笼问题。
情境：鸡和兔关在同一个笼子里，上面数有8个头，下面数有26条腿，请问鸡、兔各有几只？
（学生尝试解决问题）
师：你是怎么做的？
生：用画图的方法解决。我先画了8个圆圈表示鸡和兔子共有8只，在每个圆圈的下面都画上2条腿，发现只有16条腿，还少10条腿，把这10条腿添到鸡的下面。
师：大家都是这样想的吗？请一位小朋友上来给大家画画看。
在老师的引导下，学生全身心地投入到用画图解决问题当中。渗透了数形结合的思想，比较直观，易学好教，一道相对有难度的鸡兔同籠问题就这么有趣地解决了。
（二） 五年级教学片段
在北师大版的教材中，强调用列表的方法解鸡兔同笼问题。教材编排的价值取向就是让孩子从无序的猜测到有序的整理，从逐一列表的繁琐到跳跃列表法的弹性调整，最后选择取中列表法。
情境：今鸡兔同笼，上有35头，下有94腿，问鸡、兔各几只？
（让学生感受数据太大比较难解决）
再出示：“鸡兔同笼，有9个头，26条腿，鸡、兔各几只？”
……
生尝试练习原题，选取典型三种列表法小组交流。
用列表法解决鸡兔同笼问题，在枚举和假设中让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从原始逐一列举到跳跃列举，理透了数量关系间的变化后，大部分学生喜欢简便快捷的取中列举的方法。但教师有必要让学生明白每一种方法各有各的优点，应根据实际情况选择合适的方法。
（三） 六年级教学片段
把鸡兔同笼问题放在六年级上，是考虑六年级孩子的认知水平和已有的知识经验有较好的基础，为理解假设法和用方程解决做好了准备。
情境：今鸡兔同笼，上有35头，下有94腿，问鸡、兔各几只？
（小组合作，以小组为单位汇报）
生1：我们小组采用的方法有假设法、列表法、画图法三种方法。
生2：我是用画图法来表示的。
生3：我用的是列表法。（幻灯展示）
生4：我用假设法来算的。假设全部都是鸡，35只鸡就有70条腿，70条腿比94条腿少了24条腿，说明这24条腿是兔子的，我们把兔子都当成鸡来算了，每只鸡比兔子少2条腿，所以24÷2就是兔子的只数，35-12就是鸡的只数。
师：那么可不可以假设都是兔子呢？
……
生5：我是用列方程来解决的……
（四） 七年级教学片段
七年级以“鸡兔同笼”为突破口，认识二元一次方程组。从已有的“方程”经验入手，借助并列的两组等量关系，列出二元一次方程组，并学会用代数法或消元法解方程组，并注重结果的验证。
情境：今鸡兔同笼，上有35头，下有94腿，问鸡、兔各几只？
师：今天我们学习用二元一次方程组来解决鸡兔同笼问题。你们能从题目中得到哪些等量关系？
生：“鸡只数 兔只数=总只数”和“兔腿 鸡腿=总腿数”
师：设鸡有x只，兔有y只。我们可以得到哪两个方程？
生：x y=352x 4y=94
师：我们可以组成一个方程组。（板书）
x y=35①2x 4y=94② ……
师：我们可以用代数法和消元法解这个二元一次方程组。
三、 思考篇
“鸡兔同笼”问题在不同年级教学中大致的方法定位后，我们会面对一个追问：到七年级学了二元一次方程组后，学生马上能够解决这个问题，那么之前的那些“低级”方法有价值吗？是的，就从解题的方法而言，价值不大！但我们要发掘的是鸡兔同笼问题的教学价值以及教育价值。
（一） 在经历解决问题的过程中积累活动经验
“鸡兔同笼”问题不管在哪个年段教学都应该着眼于其教材的本质，解读其解题策略的本质属性。重视学习过程中学生思维、情感的全程参与，在不断地提出问题、解决问题的过程中，激活学生原有的经验，不断修复有缺陷的经验，使粗糙的经验渐渐趋于精致，浅层次的经验得到提升，让新生成的经验自然地嵌入已有的经验系统。“鸡兔同笼”解题策略丰富多样的背后也有同一性，即“假设法”。
无论是对解决问题方法、思路的总结以及方法的类比、迁移，最终的目的都是为了帮助学生积累经验，经验的获得、能力的发展，并需要通过一节课一节课循序渐进地积累。
（二） 获得活动经验是智慧生长的重要路径
美国数学家克莱因曾说过：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”因此，教学中不能仅仅停留在知识的层面，“鸡兔同笼”在各年段教学中，教学内容都纳入到原有的知识体系中，实现认知体系的新建构，站在“学生未来发展所必须具备的解决问题的能力这一高度”思考其价值和意义，不断刷新基本活动经验的高度，从而让学生获得智慧的无限生长。
不同学段不同的方法，反映了学生操作思维、表象思维、分析思维三种不同的思维水平，“鸡兔同笼”的解题策略从“画图法→列表法→假设法→方程→二元一次方程组”体现了不同的思维层次。但它們一脉相承，有自己独特的生长方式。
（三） 在经验积累中感悟数学思想
经验积累与思想感悟决定人的思维方式。而经验积累和思想感悟是悟出来的，想出来的，不是教会的。“鸡兔同笼”教学不能过多地在“繁、难、奇、深”上下功夫，应该在准确把握文本教学价值的前提下，经历探究、思考、抽象、推理、反思的过程，积累观察、操作、猜想、归纳、推广等活动经验。从“鸡兔同笼”问题的教学中，体验“化归”、“数形结合”、“枚举”、“建模”等等的数学思想，感受数学的魅力。比如：在列表法中，鼓励学生进行枚举，如果头和腿的数目较多，可以在枚举过程中发现规律然后进行调整，如“发现腿数差很多，那就多增加兔子只数”，还可以从假设一半鸡或兔子开始枚举，来培养学生的数感和估算能力。可是，在实际教学中，很多老师往往不会这样引导学生思考，觉得这是一个笨办法。其实，这种方法是具有一般性的。教师要引导学生抓住学数学用数学的本质，学习“鸡兔同笼”问题并非单纯解决“鸡兔同笼”问题，而是以“鸡兔同笼”问题为载体，学习解决类似的实际问题的方法。
“鸡兔同笼”问题不同年级连续课的教学，应充分认识到可以挖掘的内涵，使学生的收获不仅仅停留在活动经验上，而是从知识技能、数学原理、思想方法、具体策略等多方面得到发展，教师要独具慧眼，把握好教学时机。
参考文献：
[1]徐友新.加强引领 凸现思路[J].小学数学教师，2015，（3）.
[2]王琴.用思想统领方法[J].小学教学，2011，（11）.
作者简介：
杨凯明，浙江省义乌市江滨小学。