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摘要：介绍环形稀疏孔径的结构，分析环形光瞳的填充因子，并推导出环形稀疏孔径调制传递函数（MTF）的解析式。用MATLAB软件对其进行模拟，并利用Zemax光学设计软件设计环形稀疏孔径光学系统，得到调制传递函数图像，与理论推导的结果相吻合。采用标准分辨率板，在不同填充因子的环形稀疏孔径光学系统下进行模拟成像；利用分数阶微分算子对模拟所得的图像进行图像加强，改善环形稀疏孔径光学系统成像质量。
关键词：环形稀疏孔径； 调制传递函数； 模拟成像； 图像增强
中图分类号： O 438.2 文献标志码： A doi： 10.3969/j.issn.1005-5630.2015.01.010
Abstract：The sparse aperture structure of annulus is introduced， and its fill factor is analyzed. The modulation transfer function （MTF） is derived， and the three-dimensional modulation transfer function is simulated by MATLAB software. An example of annulus sparse aperture is designed by Zemax software， from which the MTF is obtained， the result agrees well with the theoretical analysis. The MTF simulated by Zemax software is consistent with that of the theoretical results. A resolution plate is used as the target object to simulate imaging of the annulus sparse aperture system under different fill factors. The fractional differential operator is used to enhance the images to improve the contrast decline of annulus sparse aperture， and the result is shown that the image quality is improved obviously.
Keywords：annulus sparse aperture； modulation transfer function（MTF）； simulated imaging； image enhancement
引 言
光学系统的空间分辨率随着口径的增大而提高，然而伴随而来的是光学系统重量与成本的增加，稀疏孔径的提出有效解决了这一系列难题。稀疏孔径光学系统是用空间分布的、互相干的多个孔径合成一个大孔径光学系统，可以通过各个子孔径独立加工、分批运输、重新组合以及整体调试，最终合成大口径的光学系统，达到与通光口径相当的大口径系统的衍射极限的分辨率[1-3]。稀疏孔径有环面、三臂以及Golay等结构[4]。本文介绍环形稀疏孔径结构，推导其调制传递函数，利用MATLAB软件以及Zemax软件分别模拟其三维调制传递函数。以分辨率板为目标物进行模拟成像，在稀疏孔径光学系统成像过程中有一部分频率信息丢失，使得图像质量下降，针对这种情况，利用分数阶微分算子进行图像增强[5-6]。
1 环形稀疏孔径
1.1 环形稀疏孔径结构
环形稀疏孔径的通光孔径是由一系列排布在圆周上的圆形子孔径即子镜构成，通过改变子孔径大小、数量以及包围口径，可以得到不同的调制传递函数，本文研究不同子镜口径的环形稀疏孔径系统。根据子孔径排列方式不同，环形稀疏孔径有两种结构形式，分别为非相切式结构和相切式结构，如图1所示。
1.2 环形稀疏孔径填充因子
稀疏孔径填充因子是指稀疏孔径结构中子孔径的总面积占整个光瞳面积的百分比，是表征稀疏孔径子孔径阵列稀疏程度的指标[7]。两种环形稀疏孔径由于排列方式不同，其填充因子的表达方式也不同。非相切结构的填充因子表示为
由式（7）可知，环形稀疏孔径光学系统的调制传递函数由子孔径调制传递函数组成，而子调制传递函数在频域内的径向位置由子孔径之间的相对位置决定，且子调制传递函数在频域内放置的方向由子孔径之间的相对方位决定，因而环形调制传递函数分布具有方向性。图2是调制传递函数与填充因子的关系图，横坐标是填充因子F，纵坐标是调制传递函数最大值。结果显示了随着填充因子的增大，MTF的最大值也随之增大，本文选择F分别为16.7% 、42.67%以及66.7%的情况对MTF作详细研究。
2 环形稀疏孔径成像研究
2.1 环形稀疏孔径MTF
本文所用的系统参数如表1所示。
系统取不同的填充因子时，得到的调制传递函数如图3所示。根据图像可以看出，填充因子为66.7%时中央零频处的调制传递函数与子调制传递函数重叠，随着填充因子F减小，子调制传递函数与中央零频处的调制传递函数越来越分离，说明随着填充因子的下降存在着中高频频率信息的丢失，使得成像质量下降。
利用Zemax光学设计软件设计环形稀疏孔径实例，取工作波长550 nm，包围口径的直径为30 mm，则理论截止频率[11]为45.45 lp/mm，三维MTF图以及MTF曲线函数图，如图4和图5所示。
分析比较图3和图4，在填充因子相同下，环形稀疏孔径三维MTF变化趋势几乎是一致的，说明实例与理论结果相符合。理论公式算出截止频率为45.45 lp/mm，从图5可以清晰地看出随着填充因子的改变，环形稀疏孔径的空间截止频率均接近45.45 lp/m。 2.2 模拟成像
以标准分辨率板为目标物，改变填充因子的大小，得到分辨率板的像如图6所示。
2.3 图像增强
针对环形稀疏孔径成像对比度下降的情况，采用如图7分数阶微分算子[12]对模拟图像进行图像增强，其中v为可调阶数，当v=0.2时，得到的结果如图8所示。
图像经过增强后，水平方向可分辨到56 lp/mm、45 lp/mm、25 lp/mm，比增强前分别提高了40.0%、40.6%、38.9%。说明分数阶微分算子能够提高稀疏孔径所成像的清晰度。
式中，fij和f′ij分别表示原始图像和被测图像，M×N表示图像的矩阵大小。Std值越小，说明被测图像越接近原始图像。通过计算，得到在不同填充因子下的Std，如表2所示。
由表2可以看出，填充因子值越小，成像图像的Std越大，即成像质量越差。在相同填充因子下，图像增强后的Std减小，说明成像质量得到提高。根据标准差提高比例可以得出结论，填充因子越大，图像增强效果越明显。
3 结 论
分析了环形稀疏孔径的结构并推导其调制传递函数，运用MATLAB软件模拟其调制传递函数。运用Zemax软件设计环形稀疏孔径光学系统，给出相应的三维MTF，并与MATLAB软件模拟结果进行对比。结果表明两者的调制传递函数MTF相吻合。在不同填充因子下分析调制传递函数分布，得出结论：环形稀疏孔径系统调制传递函数由子调制传递函数决定；随着填充因子的下降，环形稀疏孔径中央零频处MTF与子孔径MTF重叠程度减小，包含的有效信息下降，使得成像质量变差；针对图像对比度下降的情况，利用分数阶微分算子对图像进行增强，模拟图像经图像增强后成像质量有所提高。
研究环形稀疏孔径对于研究Y臂、Golay等结构有指导作用，加深对不同结构稀疏孔径的理解与认识，有利于在环面等基本结构的基础上提出新型稀疏孔径结构，为研制高分辨率的光学遥感器提供参考。
参考文献：
[1] FIETE R D，TANTALO T A，CALUS J R，et al.Image quality of sparse-aperture designs for remote sensing[J].Optical Engineering，2002，41（8）：1957-1968.
[2] MEINEL A B，MEINEL M P.Large sparse-aperture space optical systems[J].Optical Engineering，2002，41（8）：1983-1994.
[3] CHUNG S J，MILLER D W，DE WECK O L.ARGOS testbed：study of multidisciplinary challenges of future spaceborne interferometric arrays[J].Optical Engineering，2004，43（9）：2156-2157.
[4] FIENUP J R.MTF and integration time versus fill factor for sparse-aperture imaging systems[J].SPIE，2000，4091：43-47.
[5] 沈婷婷，王福亮，吴泉英，等.Golay6结构复杂光瞳成像研究[J].光学与光电技术，2011，9（4）：81-82.
[6] 柳军，姜慧，王军，等.环面形稀疏孔径的研究[J].激光与光电子学进展，2012，49（11）：103-107.
[7] 吴泉英，钱霖，沈为民.稀疏孔径系统的成像和图像复原[J].激光杂志，2005，26（6）：40-42.
[8] 章慧贤.光学传递函数的发展及其应用[J].光学仪器，1996，18（4）：28-31.
[9] 王大勇，伏西洋，郭红锋，等.光学稀疏孔径系统的成像及其图像复原[J].光子学报，2005，34（10）：1557-1560.
[10] 钱霖，吴泉英，吴锋，等.复合三子镜的成像研究[J].光学学报，2005，25（8）：1030-1035.
[11] 苏显渝，李继陶.信息光学[M].北京：科学出版社，1999：57-78.
[12] 杨柱中，周激流，晏祥玉，等.基于分数阶微分的图像增强[J].计算机辅助设计与图形学学报，2008，20（3）：344-347.
[13] 王大勇，韩骥，刘汉承，等.光学稀疏孔径系统的成像及其评价方法[J].光子学报，2008，37（6）：1208-1212.
（编辑：程爱婕）
关键词：环形稀疏孔径； 调制传递函数； 模拟成像； 图像增强
中图分类号： O 438.2 文献标志码： A doi： 10.3969/j.issn.1005-5630.2015.01.010
Abstract：The sparse aperture structure of annulus is introduced， and its fill factor is analyzed. The modulation transfer function （MTF） is derived， and the three-dimensional modulation transfer function is simulated by MATLAB software. An example of annulus sparse aperture is designed by Zemax software， from which the MTF is obtained， the result agrees well with the theoretical analysis. The MTF simulated by Zemax software is consistent with that of the theoretical results. A resolution plate is used as the target object to simulate imaging of the annulus sparse aperture system under different fill factors. The fractional differential operator is used to enhance the images to improve the contrast decline of annulus sparse aperture， and the result is shown that the image quality is improved obviously.
Keywords：annulus sparse aperture； modulation transfer function（MTF）； simulated imaging； image enhancement
引 言
光学系统的空间分辨率随着口径的增大而提高，然而伴随而来的是光学系统重量与成本的增加，稀疏孔径的提出有效解决了这一系列难题。稀疏孔径光学系统是用空间分布的、互相干的多个孔径合成一个大孔径光学系统，可以通过各个子孔径独立加工、分批运输、重新组合以及整体调试，最终合成大口径的光学系统，达到与通光口径相当的大口径系统的衍射极限的分辨率[1-3]。稀疏孔径有环面、三臂以及Golay等结构[4]。本文介绍环形稀疏孔径结构，推导其调制传递函数，利用MATLAB软件以及Zemax软件分别模拟其三维调制传递函数。以分辨率板为目标物进行模拟成像，在稀疏孔径光学系统成像过程中有一部分频率信息丢失，使得图像质量下降，针对这种情况，利用分数阶微分算子进行图像增强[5-6]。
1 环形稀疏孔径
1.1 环形稀疏孔径结构
环形稀疏孔径的通光孔径是由一系列排布在圆周上的圆形子孔径即子镜构成，通过改变子孔径大小、数量以及包围口径，可以得到不同的调制传递函数，本文研究不同子镜口径的环形稀疏孔径系统。根据子孔径排列方式不同，环形稀疏孔径有两种结构形式，分别为非相切式结构和相切式结构，如图1所示。
1.2 环形稀疏孔径填充因子
稀疏孔径填充因子是指稀疏孔径结构中子孔径的总面积占整个光瞳面积的百分比，是表征稀疏孔径子孔径阵列稀疏程度的指标[7]。两种环形稀疏孔径由于排列方式不同，其填充因子的表达方式也不同。非相切结构的填充因子表示为
由式（7）可知，环形稀疏孔径光学系统的调制传递函数由子孔径调制传递函数组成，而子调制传递函数在频域内的径向位置由子孔径之间的相对位置决定，且子调制传递函数在频域内放置的方向由子孔径之间的相对方位决定，因而环形调制传递函数分布具有方向性。图2是调制传递函数与填充因子的关系图，横坐标是填充因子F，纵坐标是调制传递函数最大值。结果显示了随着填充因子的增大，MTF的最大值也随之增大，本文选择F分别为16.7% 、42.67%以及66.7%的情况对MTF作详细研究。
2 环形稀疏孔径成像研究
2.1 环形稀疏孔径MTF
本文所用的系统参数如表1所示。
系统取不同的填充因子时，得到的调制传递函数如图3所示。根据图像可以看出，填充因子为66.7%时中央零频处的调制传递函数与子调制传递函数重叠，随着填充因子F减小，子调制传递函数与中央零频处的调制传递函数越来越分离，说明随着填充因子的下降存在着中高频频率信息的丢失，使得成像质量下降。
利用Zemax光学设计软件设计环形稀疏孔径实例，取工作波长550 nm，包围口径的直径为30 mm，则理论截止频率[11]为45.45 lp/mm，三维MTF图以及MTF曲线函数图，如图4和图5所示。
分析比较图3和图4，在填充因子相同下，环形稀疏孔径三维MTF变化趋势几乎是一致的，说明实例与理论结果相符合。理论公式算出截止频率为45.45 lp/mm，从图5可以清晰地看出随着填充因子的改变，环形稀疏孔径的空间截止频率均接近45.45 lp/m。 2.2 模拟成像
以标准分辨率板为目标物，改变填充因子的大小，得到分辨率板的像如图6所示。
2.3 图像增强
针对环形稀疏孔径成像对比度下降的情况，采用如图7分数阶微分算子[12]对模拟图像进行图像增强，其中v为可调阶数，当v=0.2时，得到的结果如图8所示。
图像经过增强后，水平方向可分辨到56 lp/mm、45 lp/mm、25 lp/mm，比增强前分别提高了40.0%、40.6%、38.9%。说明分数阶微分算子能够提高稀疏孔径所成像的清晰度。
式中，fij和f′ij分别表示原始图像和被测图像，M×N表示图像的矩阵大小。Std值越小，说明被测图像越接近原始图像。通过计算，得到在不同填充因子下的Std，如表2所示。
由表2可以看出，填充因子值越小，成像图像的Std越大，即成像质量越差。在相同填充因子下，图像增强后的Std减小，说明成像质量得到提高。根据标准差提高比例可以得出结论，填充因子越大，图像增强效果越明显。
3 结 论
分析了环形稀疏孔径的结构并推导其调制传递函数，运用MATLAB软件模拟其调制传递函数。运用Zemax软件设计环形稀疏孔径光学系统，给出相应的三维MTF，并与MATLAB软件模拟结果进行对比。结果表明两者的调制传递函数MTF相吻合。在不同填充因子下分析调制传递函数分布，得出结论：环形稀疏孔径系统调制传递函数由子调制传递函数决定；随着填充因子的下降，环形稀疏孔径中央零频处MTF与子孔径MTF重叠程度减小，包含的有效信息下降，使得成像质量变差；针对图像对比度下降的情况，利用分数阶微分算子对图像进行增强，模拟图像经图像增强后成像质量有所提高。
研究环形稀疏孔径对于研究Y臂、Golay等结构有指导作用，加深对不同结构稀疏孔径的理解与认识，有利于在环面等基本结构的基础上提出新型稀疏孔径结构，为研制高分辨率的光学遥感器提供参考。
参考文献：
[1] FIETE R D，TANTALO T A，CALUS J R，et al.Image quality of sparse-aperture designs for remote sensing[J].Optical Engineering，2002，41（8）：1957-1968.
[2] MEINEL A B，MEINEL M P.Large sparse-aperture space optical systems[J].Optical Engineering，2002，41（8）：1983-1994.
[3] CHUNG S J，MILLER D W，DE WECK O L.ARGOS testbed：study of multidisciplinary challenges of future spaceborne interferometric arrays[J].Optical Engineering，2004，43（9）：2156-2157.
[4] FIENUP J R.MTF and integration time versus fill factor for sparse-aperture imaging systems[J].SPIE，2000，4091：43-47.
[5] 沈婷婷，王福亮，吴泉英，等.Golay6结构复杂光瞳成像研究[J].光学与光电技术，2011，9（4）：81-82.
[6] 柳军，姜慧，王军，等.环面形稀疏孔径的研究[J].激光与光电子学进展，2012，49（11）：103-107.
[7] 吴泉英，钱霖，沈为民.稀疏孔径系统的成像和图像复原[J].激光杂志，2005，26（6）：40-42.
[8] 章慧贤.光学传递函数的发展及其应用[J].光学仪器，1996，18（4）：28-31.
[9] 王大勇，伏西洋，郭红锋，等.光学稀疏孔径系统的成像及其图像复原[J].光子学报，2005，34（10）：1557-1560.
[10] 钱霖，吴泉英，吴锋，等.复合三子镜的成像研究[J].光学学报，2005，25（8）：1030-1035.
[11] 苏显渝，李继陶.信息光学[M].北京：科学出版社，1999：57-78.
[12] 杨柱中，周激流，晏祥玉，等.基于分数阶微分的图像增强[J].计算机辅助设计与图形学学报，2008，20（3）：344-347.
[13] 王大勇，韩骥，刘汉承，等.光学稀疏孔径系统的成像及其评价方法[J].光子学报，2008，37（6）：1208-1212.
（编辑：程爱婕）