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几何意义是平面向量的精华之处，它包括平面向量加减法、数乘、数量积的几何意义.正如著名数学家华罗庚所说“形少数时难入微，数缺形时难直观”，在解题过程中，我们通过应用平面向量的几何意义，不仅能发现新的解题思路，而且能提高思维能力.
一、平面向量加减法的几何意义及其应用
平面向量加减法的几何意义就是指平行四边形法则（或三角形法则）：向量[a+b]和[a-b]就是以向量[a]和[b]为邻边的平行四边形的对角线.
例1 设[O]是平面上一定点，[A、B、C]是平面上不共线的三个点，动点[P]满足：[OP=OA+λ(AB+AC),λ∈[0,+∞)]，则[P]的轨迹一定通过[△ABC]的（ ）
A. 外心 B. 内心
C. 垂心 D. 重心
解析 记[BC]的中点为[D]，则由题知
[OP-OA=AP=λ(AB+AC)=2λAD,]
即[AP=2λAD] , 也即[P]在射线[AD]上.
由[D]为[BC]的中点，故选D.
例2 设向量[a、b、c]满足[a+b+c=0,][(a-b)⊥c,][a⊥b]，若[a=1]，则[a2+b2+c2=] .
解析 本题可以用不同的计算方法解答，但是如果利用向量的几何意义，那就几乎不用计算：由[a+b+c=0]可得向量[a、b、c]构成一个封闭的三角形（如图[△ABC]），记[AB=a,BC=b,CA=c]，
如图，[BD=AB=a]，于是[CD=a-b]，
又由条件[(a-b)⊥c,a⊥b]，可得
[AC⊥CD,AB⊥BC]，
[∴△ACD]是等腰直角三角形.
故[a=b=1]，[c=2]，
∴[a2+b2+c2=4].
点拨 在应用平面向量加减法的几何意义解题时，我们应特别关注某些特殊关系向量所构成的特殊平行四边形如矩形、菱形、正方形等.
二、平面向量数乘运算的几何意义及其应用
数乘[λa]的几何意义是指向量[λa]是由[a]经过伸缩变化得到的，而且两个向量互相平行.
例3 设点[O]在[△ABC]得内部且[OA+2OB+][3OC=0]，则[△ABC]的面积与[△AOC]的面积之比为（ ）
A. 2 B. [32]
C. 3 D. [53]
解析 “给出一些向量条件，探求两个三角形的面积之比”是近些年各地高考和模拟试题的重要题型之一，其实解决这类问题有一个通法：设点[O]为[△ABC]内一点，[m、n、p]为正实数，若[mOA+nOB+pOP=0]，
则[SΔBOCSΔABC=mm+n+p,]
[SΔAOCSΔABC=nm+n+p,]
[SΔAOBSΔABC=pm+n+p.]
证明：由[mOA+nOB+pOP=0,]
得[nn+pOB+pn+pOC=-mn+pOA]①.
令[OD=nn+pOB+pn+pOC],
则①可变为
[nn+pOD-nn+pOB=pn+pOC-pn+pOD]
[⇒nn+pBD=pn+pDC][⇒BD=pnDC]，
故[D]在线段[BC]上.
又[OD=-mn+pOA⇒A、O、D三点共线且]
[ODOA=mn+p]，
∴[SΔBOCSΔABC=ODAD=ODAO+OD]
[=ODOD+n+pmOD=mm+n+p].
同理可证：
[SΔAOCSΔABC=nm+n+p,SΔAOBSΔABC=pm+n+p.]
由定理我们很容易得[SΔAOCSΔABC=21+2+3=13].
即[SΔABCSΔAOC=3].
答案 C
点拨 本题解答中应用了结论：“设点[O]为[△ABC]内一点，[m、p、n]为正实数，若[mOA+nOB+pOP=0]，则[SΔBOCSΔABC=mm+n+p,SΔAOCSΔABC=nm+n+p,][SΔAOBSΔABC=][pm+n+p]”，它能解决求面积比的一类问题.
三、平面向量数量积的几何意义及其应用
1. 数量积为0的几何意义及应用
两非零向量数量积等于0的几何意义就是这两个向量相互垂直，反之亦然.
例4 设[P]是[△ABC]所在平面上的一点，若[PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA]，则[P]是[△ABC]的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心
解析 由[PA⋅PB=PB⋅PC]，
可得[(PA-PC)⋅PB=0]，即[CA⋅PB=0]，
[∴CA⊥PB].
同理[AB⊥PC,CB⊥PA].
[∴P]是[△ABC]的垂心.
答案 C
点拨 数量积为0是两向量垂直的代数特征，灵活运用它能加快解题速度、提高解题效率.
2. 投影的几何意义及应用
向量[a]在向量[b]上的投影为[a⋅cosθ]，而[a⋅cosθ=a⋅bb=a⋅bb]，又[bb]是与向量[b]同向的单位向量，故向量[a]在向量[b]上的投影的几何意义就是向量[a]和向量[b]上同向的单位向量的数量积.
例5 设[O]是平面上一定点，[A、B、C]是平面上不共线的三个点，动点[P]满足：[OP=OA+λ(ABAB+ACAC),λ∈[0,+∞)]，则[P]的轨迹一定通过[△ABC]的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心
解析 由投影向量定义可知[ABAB]为[AB]上的单位向量，[ACAC] 为[AC]上的单位向量，则[ABAB+ACAC]的方向为[∠BAC]的角平分线的方向，
又[λ∈[0,+∞)]，∴[λ(ABAB+ACAC)]的方向与[ABAB+ACAC] 的方向相同.
而[OP=OA+λ(ABAB+ACAC),]
∴点[P]在[AD]上移动,
∴[P]的轨迹一定通过[△ABC]的内心.
答案 B
点拨 “[ABAB]为[AB]上的单位向量”在很多试题中有应用，我们一定要从投影的角度加深理解.
[【练习】]
1. 线段[AB]上的一点[C]，直线[AB]外的一点[P]，满足[PA-PB=2]，[PA-PB=25]，[PA⋅PCPA=PB⋅PCPB]，[I]为[PC]上一点，且[BI=BA+λ(APAP+ACAC),λ∈(0,+∞)]，则[BI⋅BABA]的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. [5] D. [5-1]
2. 如图，平面上有三个向量[OA、OB、OC],其中[OA与OB]的夹角为[45°]，[OB与OC]的夹角为[30°]，且[OA=2,OB=1],若[OC=λOA+μOB]，则[λμ]= .
[【参考答案】]
1. 由[PA⋅PCPA=PB⋅PCPB]
[⇒cos∠APC=cos∠BPC⇒∠APC=∠BPC，]
即[PC]为[∠APB]的平分线①.
又[BI=BA+λ(APAP+ACAC)]
[⇒AI=λ(ACAC+APAP)]，
∴[AI]为[∠BAP]的角平分线②.
由①②可得：[I]为[△ABC]的内心.
∴[BI⋅BABA]=[BIcos∠ABI].
如图，设[DB=x]，则[DB=BIcos∠ABI]，
[AD=25-x]，又[PA-PB=2,]
∴[25-2x=2]. ∴[x=5-1].
答案 D.
2. 由题意可得
[OC⋅OA=λOA⋅OA+μOB⋅OA]
[⇒OC⋅6-22=4λ+2μ],
[OC⋅OB=λOA⋅OB+μOB⋅OB]
[⇒OC⋅32=2λ+μ],
∴[λμ=2-64].
一、平面向量加减法的几何意义及其应用
平面向量加减法的几何意义就是指平行四边形法则（或三角形法则）：向量[a+b]和[a-b]就是以向量[a]和[b]为邻边的平行四边形的对角线.
例1 设[O]是平面上一定点，[A、B、C]是平面上不共线的三个点，动点[P]满足：[OP=OA+λ(AB+AC),λ∈[0,+∞)]，则[P]的轨迹一定通过[△ABC]的（ ）
A. 外心 B. 内心
C. 垂心 D. 重心
解析 记[BC]的中点为[D]，则由题知
[OP-OA=AP=λ(AB+AC)=2λAD,]
即[AP=2λAD] , 也即[P]在射线[AD]上.
由[D]为[BC]的中点，故选D.
例2 设向量[a、b、c]满足[a+b+c=0,][(a-b)⊥c,][a⊥b]，若[a=1]，则[a2+b2+c2=] .
解析 本题可以用不同的计算方法解答，但是如果利用向量的几何意义，那就几乎不用计算：由[a+b+c=0]可得向量[a、b、c]构成一个封闭的三角形（如图[△ABC]），记[AB=a,BC=b,CA=c]，
如图，[BD=AB=a]，于是[CD=a-b]，
又由条件[(a-b)⊥c,a⊥b]，可得
[AC⊥CD,AB⊥BC]，
[∴△ACD]是等腰直角三角形.
故[a=b=1]，[c=2]，
∴[a2+b2+c2=4].
点拨 在应用平面向量加减法的几何意义解题时，我们应特别关注某些特殊关系向量所构成的特殊平行四边形如矩形、菱形、正方形等.
二、平面向量数乘运算的几何意义及其应用
数乘[λa]的几何意义是指向量[λa]是由[a]经过伸缩变化得到的，而且两个向量互相平行.
例3 设点[O]在[△ABC]得内部且[OA+2OB+][3OC=0]，则[△ABC]的面积与[△AOC]的面积之比为（ ）
A. 2 B. [32]
C. 3 D. [53]
解析 “给出一些向量条件，探求两个三角形的面积之比”是近些年各地高考和模拟试题的重要题型之一，其实解决这类问题有一个通法：设点[O]为[△ABC]内一点，[m、n、p]为正实数，若[mOA+nOB+pOP=0]，
则[SΔBOCSΔABC=mm+n+p,]
[SΔAOCSΔABC=nm+n+p,]
[SΔAOBSΔABC=pm+n+p.]
证明：由[mOA+nOB+pOP=0,]
得[nn+pOB+pn+pOC=-mn+pOA]①.
令[OD=nn+pOB+pn+pOC],
则①可变为
[nn+pOD-nn+pOB=pn+pOC-pn+pOD]
[⇒nn+pBD=pn+pDC][⇒BD=pnDC]，
故[D]在线段[BC]上.
又[OD=-mn+pOA⇒A、O、D三点共线且]
[ODOA=mn+p]，
∴[SΔBOCSΔABC=ODAD=ODAO+OD]
[=ODOD+n+pmOD=mm+n+p].
同理可证：
[SΔAOCSΔABC=nm+n+p,SΔAOBSΔABC=pm+n+p.]
由定理我们很容易得[SΔAOCSΔABC=21+2+3=13].
即[SΔABCSΔAOC=3].
答案 C
点拨 本题解答中应用了结论：“设点[O]为[△ABC]内一点，[m、p、n]为正实数，若[mOA+nOB+pOP=0]，则[SΔBOCSΔABC=mm+n+p,SΔAOCSΔABC=nm+n+p,][SΔAOBSΔABC=][pm+n+p]”，它能解决求面积比的一类问题.
三、平面向量数量积的几何意义及其应用
1. 数量积为0的几何意义及应用
两非零向量数量积等于0的几何意义就是这两个向量相互垂直，反之亦然.
例4 设[P]是[△ABC]所在平面上的一点，若[PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA]，则[P]是[△ABC]的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心
解析 由[PA⋅PB=PB⋅PC]，
可得[(PA-PC)⋅PB=0]，即[CA⋅PB=0]，
[∴CA⊥PB].
同理[AB⊥PC,CB⊥PA].
[∴P]是[△ABC]的垂心.
答案 C
点拨 数量积为0是两向量垂直的代数特征，灵活运用它能加快解题速度、提高解题效率.
2. 投影的几何意义及应用
向量[a]在向量[b]上的投影为[a⋅cosθ]，而[a⋅cosθ=a⋅bb=a⋅bb]，又[bb]是与向量[b]同向的单位向量，故向量[a]在向量[b]上的投影的几何意义就是向量[a]和向量[b]上同向的单位向量的数量积.
例5 设[O]是平面上一定点，[A、B、C]是平面上不共线的三个点，动点[P]满足：[OP=OA+λ(ABAB+ACAC),λ∈[0,+∞)]，则[P]的轨迹一定通过[△ABC]的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心
解析 由投影向量定义可知[ABAB]为[AB]上的单位向量，[ACAC] 为[AC]上的单位向量，则[ABAB+ACAC]的方向为[∠BAC]的角平分线的方向，
又[λ∈[0,+∞)]，∴[λ(ABAB+ACAC)]的方向与[ABAB+ACAC] 的方向相同.
而[OP=OA+λ(ABAB+ACAC),]
∴点[P]在[AD]上移动,
∴[P]的轨迹一定通过[△ABC]的内心.
答案 B
点拨 “[ABAB]为[AB]上的单位向量”在很多试题中有应用，我们一定要从投影的角度加深理解.
1. 线段[AB]上的一点[C]，直线[AB]外的一点[P]，满足[PA-PB=2]，[PA-PB=25]，[PA⋅PCPA=PB⋅PCPB]，[I]为[PC]上一点，且[BI=BA+λ(APAP+ACAC),λ∈(0,+∞)]，则[BI⋅BABA]的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. [5] D. [5-1]
2. 如图，平面上有三个向量[OA、OB、OC],其中[OA与OB]的夹角为[45°]，[OB与OC]的夹角为[30°]，且[OA=2,OB=1],若[OC=λOA+μOB]，则[λμ]= .
[【参考答案】]
1. 由[PA⋅PCPA=PB⋅PCPB]
[⇒cos∠APC=cos∠BPC⇒∠APC=∠BPC，]
即[PC]为[∠APB]的平分线①.
又[BI=BA+λ(APAP+ACAC)]
[⇒AI=λ(ACAC+APAP)]，
∴[AI]为[∠BAP]的角平分线②.
由①②可得：[I]为[△ABC]的内心.
∴[BI⋅BABA]=[BIcos∠ABI].
如图，设[DB=x]，则[DB=BIcos∠ABI]，
[AD=25-x]，又[PA-PB=2,]
∴[25-2x=2]. ∴[x=5-1].
答案 D.
2. 由题意可得
[OC⋅OA=λOA⋅OA+μOB⋅OA]
[⇒OC⋅6-22=4λ+2μ],
[OC⋅OB=λOA⋅OB+μOB⋅OB]
[⇒OC⋅32=2λ+μ],
∴[λμ=2-64].