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摘要：新课程标准将数学思想方法明确的列为数学教学的培养目标。小学阶段常见的数学思想方法有：符号化思想、对应思想、类比思想、分类思想、数形结合思想、化规思想、统计思想、极限思想等。教师在教学中应有效渗透数学思想方法。
关键词：小学 数学思想方法 案例 有效渗透
一、数学思想方法的重要性
荷兰数学家弗赖登塔尔说过：“数学中最主要的成分始终是思想方法，而这确实是人类共同的思想源泉，即使作家或艺术家也可从中吸取营养。”日本数学教育家米山国藏也说过这样一段话： “学生们所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的教育，通常在出校门后不到一两年忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”近年来随着教育学和心理学的的不断发展，小学数学教学越来越重视对数学思想的渗透。课程标准中教学目标更是明确提出：要让学生获得适应社会生存和发展所必须的数学知识和数学技能，同时掌握这些数学知识和数学技能获取过程中体现出来的数学思想和数学方法。事实上，数学思想方法不但对学生学习具有普遍的的指导意义，而且有利于学生形成科学的思维方式和思维习惯，为将来从事科学研究和参加社会实践打下良好基础。因此，向学生渗透基本的数学思想方法是数学教学改革的新视角;是进行数学素质教育的突破口;是未来社会的要求和国际数学教育发展的必然结果。
二、什么是数学思想方法
所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点。它揭示了数学发展中普遍的规律，直接支配着数学的实践活动，是对数学规律的理性认识。所谓的数学方法，就是解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。数学思想是宏观的，具有普遍的指导意义;数学方法是微观的，是解决数学问题的直接具体的手段。前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。
三、常见的小学数学思想方法和对应的案例
1、符号化思想方法
符号化思想方法是指用字母、符号来表现数量关系和数学内容，这种思想主要体现在定律、公式的表示方式中。把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，用符号化的语言（ 包括字母、数字、图形和各种特定的符号） 来描述数学的内容，这就是符号思想方法。小学数学课程中的数学符号大致可分为数学符号、运算符号、关系符号和计量符号四大类。一年级就出现用“□”或“（ ）”等符号来代替变量 x ，让学生在其中填数。例如：1 + 2 = □ ，6 +（ ）=8 。 符号化有一个具体——表象——抽象——符号化的过程且具有符号化语言的浓缩、简洁、明了等特点。
2、对应的思想方法
对应思想是函数思想的一种启蒙思想，这是一种将不同集合元素按照某种特定规律进行应射的思想方法。如下图，便是小学数学中常见的简单对应思想。
又如三年级出现的“2×99，3×99，4×99，5×99，算一算，你发现了什么？”就是一个乘数变化引起的积变化的规律，其中渗透的是函数的思想。
3、类比思想方法
所谓类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的一种推理方法。波利亚认为：“类比就是一种相似”。类比时是一种从特殊到特殊的推理方法，其结论具有或然性，是否正确需要经过严格的证明或者实践检验。如案例：A具有性质a1、a2、…、an及d，B具有性质a’1、a’2、 …、 a’n。因此，B也可能具有性质d’。类比思想主要用在知识的迁移上，例如：学生刚开始接触比的基本性质时感觉困难，但学生对于分数的基本性质是相当熟悉的。根据这点利用类比迁移来讲，对照分数的基本性质看比又有什么样的基本性质呢？复习分数的基本性质引导学生总结比的基本性质可以发现学生能很自然的说出：“比的前项和后项都乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。”通过这样的类比加深了对概念的理解同时有效的提高了解题能力。
4、分类讨论思想方法
分类是以比较为基础，按照研究对象的相同点和不同点，根据一定的标准将对象区分为若干类别的一种思维方法。这类思想主要应用在一些条件和结论都不确定的情况下，要依据条件的不同来进行讨论，从而得出不同的结论。教材中分类单元就蕴含着分类思想。又如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准产生不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。
5、数形结合思想方法
数和形是数学研究的两个主要对象，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。数形结合思想的运用给我们的教学带来了方便。如乘法分配律的教学，我们多数都是通过不完全归纳得出结论的。倘若借助图1这个几何图形的面积计算便可直观的得到乘法分配律的一般结论：a（b+c）=ab+ac。
图1
又如算式1+3+5+7+9+11+13+15+17，
1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+2+3+4+5+6+7+8，的计算。如果按代数角度去计算，对于小学生来说既麻烦又易错。但，借助五年级上册《点阵中的规律》这一课的学习，学生便可利用图形规律轻松解决上述问题。 再如下列算式的计算，当同图2的图形结合时，便显得非常简单。
图2
6、化规的思想方法
化归，是指将有待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题，以求得解决。任何数学问题的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程。我们实施教学时，就经常用到化规的思想方法从而化生为熟、化难为易、化繁为简、化曲为直等。如：小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法;异分母分数加减法化归为同分母分数加减法;异分母分数比较大小通过“通分”化归为同分母分数比较大小等;在教学平面图形面积公式中，就以化归思想、转化思想等为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形面积计算公式间的同化和顺应以及解决了组合图形的面积求解，从而构建和完善了学生的认知结构。
7、统计的思想方法
小学数学中统计的知识点主要有：象形统计图、单式统计表、复式统计表、单式条形统计图、复式条形统计图、单式折线统计图、复式折线统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数。这些知识作为学习统计的基础是必须掌握的，但更重要的是能够根据数据的特点和解决问题的需要选择合适的统计图表或者统计量来描述和分析数据、做出合理的预测和决策。在小学数学中，统计思想的应用大体上可分为两种：一是统计作为四大领域知识中的一类知识，安排了很多独立的单元进行统计知识的教学;二是在学习了一些统计知识后，在其他领域知识的学习中，都不同程度地应用了统计知识，作为知识呈现的载体和解决问题的方法进行教学。因而，统计思想在小学数学中的应用是比较广泛的。
8、极限的思想方法
极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法。教材中有多处注意了极限思想的渗透。在“自然数”、“奇数”、“偶数”概念教学时，我们可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想;在循环小数这一部分内容中，1 ÷ 3 = 0.333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的;在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。圆的面积求解时把圆无限分割成细小的图形再拼成接近长方形，正是极限思想的体现。
四、如何有效渗透数学思想方法
1、在制定教学目标、开展教学过程、强化教学效果的过程中有意识的将数学思想融入到其中，从不同的角度、不同的方面不断渗透数学思想。
2、在突破课程重难点时，充分体现数学思想在其中发挥的重要作用，以直接的实例来提升学生对数学思想学习的兴趣。
3、在章节复习、总结课上通过数学思想将课本当中的知识点进行串联，加深学生对数学思想学习的重视程度。
4、在平时的习题练习过程中，教师可以有意识的设计一些能够体现数学思想的经典性题目，让学生在具体的解题过程中发现数学思想方法，领会数学思想。
5、引导学生在反思中学习数学思想，学习者必须在深入思考的基础上才能真正领悟数学思想的本质和内涵，因此，小学数学教学过程中要经常引导学生进行思考、进行反思，在不断的实践和印证中加深对数学思想的理解。
总之，数学思想方法的教学和渗透不是短时间容易见效的。它需要我们的教学具备这样的原则：层次性、反复性、系统性、整体性和过程性。同时努力做到数学思想的渗透在潜意识、明朗化、深刻化中进行。使学生经历体验、领悟、深化、升华的过程。
参考文献：
[1] 全日制九年义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京师范大学出版社，2012.
[2] 义务教育课程标准实验教科书[M].北京师范大学出版社
[3] 张茹华.小学数学思想方法及其教学研究[J]内蒙古师范大学学报，2009（2）;97-100
[4] 钟志华.数学思想方法的理解探索.教学与管理，，2009（10）：43-45.
[5] 叶桂萍.数学思想方法在小学数学教学中的渗透[J].小学教学参考，2000（9）：45-46
关键词：小学 数学思想方法 案例 有效渗透
一、数学思想方法的重要性
荷兰数学家弗赖登塔尔说过：“数学中最主要的成分始终是思想方法，而这确实是人类共同的思想源泉，即使作家或艺术家也可从中吸取营养。”日本数学教育家米山国藏也说过这样一段话： “学生们所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的教育，通常在出校门后不到一两年忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”近年来随着教育学和心理学的的不断发展，小学数学教学越来越重视对数学思想的渗透。课程标准中教学目标更是明确提出：要让学生获得适应社会生存和发展所必须的数学知识和数学技能，同时掌握这些数学知识和数学技能获取过程中体现出来的数学思想和数学方法。事实上，数学思想方法不但对学生学习具有普遍的的指导意义，而且有利于学生形成科学的思维方式和思维习惯，为将来从事科学研究和参加社会实践打下良好基础。因此，向学生渗透基本的数学思想方法是数学教学改革的新视角;是进行数学素质教育的突破口;是未来社会的要求和国际数学教育发展的必然结果。
二、什么是数学思想方法
所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点。它揭示了数学发展中普遍的规律，直接支配着数学的实践活动，是对数学规律的理性认识。所谓的数学方法，就是解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。数学思想是宏观的，具有普遍的指导意义;数学方法是微观的，是解决数学问题的直接具体的手段。前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。
三、常见的小学数学思想方法和对应的案例
1、符号化思想方法
符号化思想方法是指用字母、符号来表现数量关系和数学内容，这种思想主要体现在定律、公式的表示方式中。把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，用符号化的语言（ 包括字母、数字、图形和各种特定的符号） 来描述数学的内容，这就是符号思想方法。小学数学课程中的数学符号大致可分为数学符号、运算符号、关系符号和计量符号四大类。一年级就出现用“□”或“（ ）”等符号来代替变量 x ，让学生在其中填数。例如：1 + 2 = □ ，6 +（ ）=8 。 符号化有一个具体——表象——抽象——符号化的过程且具有符号化语言的浓缩、简洁、明了等特点。
2、对应的思想方法
对应思想是函数思想的一种启蒙思想，这是一种将不同集合元素按照某种特定规律进行应射的思想方法。如下图，便是小学数学中常见的简单对应思想。
又如三年级出现的“2×99，3×99，4×99，5×99，算一算，你发现了什么？”就是一个乘数变化引起的积变化的规律，其中渗透的是函数的思想。
3、类比思想方法
所谓类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的一种推理方法。波利亚认为：“类比就是一种相似”。类比时是一种从特殊到特殊的推理方法，其结论具有或然性，是否正确需要经过严格的证明或者实践检验。如案例：A具有性质a1、a2、…、an及d，B具有性质a’1、a’2、 …、 a’n。因此，B也可能具有性质d’。类比思想主要用在知识的迁移上，例如：学生刚开始接触比的基本性质时感觉困难，但学生对于分数的基本性质是相当熟悉的。根据这点利用类比迁移来讲，对照分数的基本性质看比又有什么样的基本性质呢？复习分数的基本性质引导学生总结比的基本性质可以发现学生能很自然的说出：“比的前项和后项都乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。”通过这样的类比加深了对概念的理解同时有效的提高了解题能力。
4、分类讨论思想方法
分类是以比较为基础，按照研究对象的相同点和不同点，根据一定的标准将对象区分为若干类别的一种思维方法。这类思想主要应用在一些条件和结论都不确定的情况下，要依据条件的不同来进行讨论，从而得出不同的结论。教材中分类单元就蕴含着分类思想。又如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准产生不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。
5、数形结合思想方法
数和形是数学研究的两个主要对象，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。数形结合思想的运用给我们的教学带来了方便。如乘法分配律的教学，我们多数都是通过不完全归纳得出结论的。倘若借助图1这个几何图形的面积计算便可直观的得到乘法分配律的一般结论：a（b+c）=ab+ac。
图1
又如算式1+3+5+7+9+11+13+15+17，
1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+2+3+4+5+6+7+8，的计算。如果按代数角度去计算，对于小学生来说既麻烦又易错。但，借助五年级上册《点阵中的规律》这一课的学习，学生便可利用图形规律轻松解决上述问题。 再如下列算式的计算，当同图2的图形结合时，便显得非常简单。
图2
6、化规的思想方法
化归，是指将有待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题，以求得解决。任何数学问题的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程。我们实施教学时，就经常用到化规的思想方法从而化生为熟、化难为易、化繁为简、化曲为直等。如：小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法;异分母分数加减法化归为同分母分数加减法;异分母分数比较大小通过“通分”化归为同分母分数比较大小等;在教学平面图形面积公式中，就以化归思想、转化思想等为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形面积计算公式间的同化和顺应以及解决了组合图形的面积求解，从而构建和完善了学生的认知结构。
7、统计的思想方法
小学数学中统计的知识点主要有：象形统计图、单式统计表、复式统计表、单式条形统计图、复式条形统计图、单式折线统计图、复式折线统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数。这些知识作为学习统计的基础是必须掌握的，但更重要的是能够根据数据的特点和解决问题的需要选择合适的统计图表或者统计量来描述和分析数据、做出合理的预测和决策。在小学数学中，统计思想的应用大体上可分为两种：一是统计作为四大领域知识中的一类知识，安排了很多独立的单元进行统计知识的教学;二是在学习了一些统计知识后，在其他领域知识的学习中，都不同程度地应用了统计知识，作为知识呈现的载体和解决问题的方法进行教学。因而，统计思想在小学数学中的应用是比较广泛的。
8、极限的思想方法
极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法。教材中有多处注意了极限思想的渗透。在“自然数”、“奇数”、“偶数”概念教学时，我们可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想;在循环小数这一部分内容中，1 ÷ 3 = 0.333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的;在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。圆的面积求解时把圆无限分割成细小的图形再拼成接近长方形，正是极限思想的体现。
四、如何有效渗透数学思想方法
1、在制定教学目标、开展教学过程、强化教学效果的过程中有意识的将数学思想融入到其中，从不同的角度、不同的方面不断渗透数学思想。
2、在突破课程重难点时，充分体现数学思想在其中发挥的重要作用，以直接的实例来提升学生对数学思想学习的兴趣。
3、在章节复习、总结课上通过数学思想将课本当中的知识点进行串联，加深学生对数学思想学习的重视程度。
4、在平时的习题练习过程中，教师可以有意识的设计一些能够体现数学思想的经典性题目，让学生在具体的解题过程中发现数学思想方法，领会数学思想。
5、引导学生在反思中学习数学思想，学习者必须在深入思考的基础上才能真正领悟数学思想的本质和内涵，因此，小学数学教学过程中要经常引导学生进行思考、进行反思，在不断的实践和印证中加深对数学思想的理解。
总之，数学思想方法的教学和渗透不是短时间容易见效的。它需要我们的教学具备这样的原则：层次性、反复性、系统性、整体性和过程性。同时努力做到数学思想的渗透在潜意识、明朗化、深刻化中进行。使学生经历体验、领悟、深化、升华的过程。
参考文献：
[1] 全日制九年义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京师范大学出版社，2012.
[2] 义务教育课程标准实验教科书[M].北京师范大学出版社
[3] 张茹华.小学数学思想方法及其教学研究[J]内蒙古师范大学学报，2009（2）;97-100
[4] 钟志华.数学思想方法的理解探索.教学与管理，，2009（10）：43-45.
[5] 叶桂萍.数学思想方法在小学数学教学中的渗透[J].小学教学参考，2000（9）：45-46