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我们在平时解题时,不要满足于把题目解出来便万事大吉,而应向更深的层次去探究题目的内在联系,从而加深对题目之间的认识,这样既可培养创造思维能力,克服思维定式,又可免受题海困扰,从而提高学习效率.
原题:有一个抛物线的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为10m,把它的图形放在如图1所示的直角坐标系中.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)如图,在对称轴的右边1m的点M处,对应的桥洞壁离水面的高度是多少?
解析:此题命题意图有两点:一是考查学生利用待定系数法求二次函数解析式;二是让学生在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,考查学生应用二次函数模型解决简单的实际问题的能力.
根据题意可知:该抛物线的顶点坐标为(5,4),且过点(0,0),于是利用系统定系数法可完成第(1)小题的解答;显然“对称轴的右边1m的点M处”的横坐标为6,因此第(2)小题求“对应的桥洞壁离水面的高度”也就是对于在(1)里所求的二次函数关系式中,当x=6时,求对应的二次函数值. 具体解答过程如下:
(1)设抛物线所对应的函数关系式为y=a(x-h)2+k.
由条件知,该抛物线的顶点为(5,4)
所以y=a(x-5)2+4,把(0,0)代入上式,得
0=a(0-5)2+4,解得a=-,
因此该抛物线对应的函数关系式为
y=-(x-5)2+4,即y=-x2+x.
(2)当x=6时,y=-×62+×6=3.84.
即桥洞壁离水面的高度是3.84m.
说明:第(1)小题还可以这样解答:设所求抛物线对应的函数关系式为y=ax2+bx+c,将点(0,0)代入得c=0. 再根据抛物线的顶点坐标公式得两个方程:-=5,与=4,解得a=-,b=,c=0,从而得到所求函数关系式为y=-x2+x.显然,这种解法较前面的解法烦琐.
针对原题题目,条件不变,我们进一步作如下变式探究:
变式探究1:当水面上升1m时,求此时桥洞下水面的宽度是多少?
解析:水面上升1m,如图2所示,求“此时桥洞下水面的宽度”就是求A、B两点之间的距离. 也即是当纵坐标为1时,所对应抛物线的两个横坐标的距离.
由1=-(x-5)2+4,解得x=5-,x=5+.
而x-x=5+-5-=5,
即是当水面上升1m时,桥洞下水面的宽度是5m.
变式探究2:现有一辆满载货物的船只欲通过该桥洞,已知货物顶部距水面3米,装货宽度为4.2米,请通过计算,判断该船只能否顺利通过桥洞.
解析:假设该船只是沿着桥洞的正中(船的中心线与抛物线的对称轴重合)行进,能否顺利通过桥洞,取决于当“货物顶部距水面3米”时的水平宽度,若这个宽度大于“装货宽度4.2米”时,则该船只能顺利通过桥洞;否则不能. 仿变式探究1,求出距水面3米高时的水平宽度.
由3=-(x-5)2+4解得x=7.5,x=2.5.
所以,距水面3米桥洞的水平宽度为:7.5-2.5=5>4.2.
因此,该船只能顺利通过桥洞.
探究总结:(1)在求二次函数解析式时,若已知抛物线的顶点坐标与另一已知点,则设顶点式y=a(x-h)2+k较为简便;(2)利用数形结合思想,构建二次函数模型解决实际问题的关键是读懂问题,弄清所求问题与二次函数的联系——是已知函数值(y)求二次函数自变量(x)的值,还是已知自变量(x)的值求函数值(y).
原题:有一个抛物线的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为10m,把它的图形放在如图1所示的直角坐标系中.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)如图,在对称轴的右边1m的点M处,对应的桥洞壁离水面的高度是多少?
解析:此题命题意图有两点:一是考查学生利用待定系数法求二次函数解析式;二是让学生在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,考查学生应用二次函数模型解决简单的实际问题的能力.
根据题意可知:该抛物线的顶点坐标为(5,4),且过点(0,0),于是利用系统定系数法可完成第(1)小题的解答;显然“对称轴的右边1m的点M处”的横坐标为6,因此第(2)小题求“对应的桥洞壁离水面的高度”也就是对于在(1)里所求的二次函数关系式中,当x=6时,求对应的二次函数值. 具体解答过程如下:
(1)设抛物线所对应的函数关系式为y=a(x-h)2+k.
由条件知,该抛物线的顶点为(5,4)
所以y=a(x-5)2+4,把(0,0)代入上式,得
0=a(0-5)2+4,解得a=-,
因此该抛物线对应的函数关系式为
y=-(x-5)2+4,即y=-x2+x.
(2)当x=6时,y=-×62+×6=3.84.
即桥洞壁离水面的高度是3.84m.
说明:第(1)小题还可以这样解答:设所求抛物线对应的函数关系式为y=ax2+bx+c,将点(0,0)代入得c=0. 再根据抛物线的顶点坐标公式得两个方程:-=5,与=4,解得a=-,b=,c=0,从而得到所求函数关系式为y=-x2+x.显然,这种解法较前面的解法烦琐.
针对原题题目,条件不变,我们进一步作如下变式探究:
变式探究1:当水面上升1m时,求此时桥洞下水面的宽度是多少?
解析:水面上升1m,如图2所示,求“此时桥洞下水面的宽度”就是求A、B两点之间的距离. 也即是当纵坐标为1时,所对应抛物线的两个横坐标的距离.
由1=-(x-5)2+4,解得x=5-,x=5+.
而x-x=5+-5-=5,
即是当水面上升1m时,桥洞下水面的宽度是5m.
变式探究2:现有一辆满载货物的船只欲通过该桥洞,已知货物顶部距水面3米,装货宽度为4.2米,请通过计算,判断该船只能否顺利通过桥洞.
解析:假设该船只是沿着桥洞的正中(船的中心线与抛物线的对称轴重合)行进,能否顺利通过桥洞,取决于当“货物顶部距水面3米”时的水平宽度,若这个宽度大于“装货宽度4.2米”时,则该船只能顺利通过桥洞;否则不能. 仿变式探究1,求出距水面3米高时的水平宽度.
由3=-(x-5)2+4解得x=7.5,x=2.5.
所以,距水面3米桥洞的水平宽度为:7.5-2.5=5>4.2.
因此,该船只能顺利通过桥洞.
探究总结:(1)在求二次函数解析式时,若已知抛物线的顶点坐标与另一已知点,则设顶点式y=a(x-h)2+k较为简便;(2)利用数形结合思想,构建二次函数模型解决实际问题的关键是读懂问题,弄清所求问题与二次函数的联系——是已知函数值(y)求二次函数自变量(x)的值,还是已知自变量(x)的值求函数值(y).