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在日常生活和实际生产中,灵活应用一次函数的知识,能帮我们在面对复杂的问题时,进行正确而又迅捷的决策. 现以近年来的中考题为例介绍,供同学们参考.
例1 (2009年辽宁铁岭市中考试题)为迎接国庆六十周年,某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动,并设立了一、二、三等奖.学校计划派人根据设奖情况买50件奖品,其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件,三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍. 已知一等奖奖品单价为12元,二等奖奖品的单价为10元,三等奖奖品的单价为5元.如果计划一等奖买x件,买50件奖品的总钱数是w元.
(1)求w与x的函数关系式;
(2)请你计算一下,如何购买这三种奖品所花的总钱数最少?最少是多少元?
解析:(1)当一等奖买x件时,则二等奖买(2x-10)件,三等奖买[50-x-(2x-10)]件,即(60-3x)件.
∵ 一等奖、二等奖、三等奖奖品的单价分别为12元、10元、5元,
∴ w=12x+10(2x-10)+5(60-3x)
∴ w=17x+200.
(2)由k=17>0,得w随x的增大而增大,要求购买这三种奖品所花的总钱数最少,应先确定x的最小整数值.
∵ 购买三种奖品的件数都必须大于0,且三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍,
∴ x>0,2x-10>0,60-3x>0,5(60-30x)≤1.5×10(2x-10).
解之,10≤x<20.
∴ x的最小整数值为x=10.
这时,w的最小值为17×10+200=370,2x-10=10,60-3x=30.
∴ 当一等奖买10件,二等奖买10件,三等奖买30件时,所花的总钱数最少,最少钱数是370元.
例2 (2009年四川南充市中考试题)某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式.
方法A:以每分钟0.1元的价格按上网时间计费;
方法B:除收月基费20元外,再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费.
假设顾客甲一个月手机上网的时间共有x分钟,上网费用为y元.
(1)分别写出顾客甲按A、B两种方式计费的上网费y元与上网时间x分钟之间的函数关系式,并在同一直角坐标系中作出这两个函数的图像;
(2)如何选择计费方式能使甲上网费更合算?
解析:(1)依题意,两种手机上网计费方式中y与x之间的函数关系式分别为:y=0.1x,y=0.06x+20,其中x≥0.
在同一直角坐标系中作出这两个函数的图像(如右图所示).
(2)由图象知,直线y=0.1x和直线y=0.06x+20被其交点P分为三部分. 要选择哪种计费方式更合算,应先确定交点P的坐标.
当y=y时,有0.1x=0.06x+20。
解之,x=500,对应的y=y=50.
∴ 两图象的交点P的坐标为(500,50).
∵ 当0≤x<500时,y500时, y>y.
所以当一个月内上网时间少于500分钟时,选择方式A省钱;当一个月内上网时间等于500分钟时,选择方式A、方式B一样;当一个月内上网时间多于500分钟时,选择方式B省钱.
例3 (2009年湖南湘潭市中考试题)我市花石镇组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售,按计划10辆汽车都要装满,且每辆汽车只能装同一种湘莲,根据下表提供的信息,解答以下问题:
(1)设装A种湘莲的车辆数为x,装B种湘莲的车辆数为y,求y与x之间的函数关系式.
(2)如果装运每种湘莲的车辆数都不少于2辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案.
(3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?并求出最大利润的值.
解析:(1)设装运A种湘莲的车为x辆,装运B种湘莲的车为y辆时,那么装运C种湘莲的车为(10-x-y)辆.
∵ 10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共有100吨,
∴ 12x+10g+8(10-x-y)=100.
∴ y=-2x+10.
(2)要求车辆的安排方案有几种,应先确定x的取值范围,再求正整数x的值.
∵ 装运每种湘莲的车辆数都不少于2辆,
∴ x≥2,y≥2,10-x-y≥2.
又,y=-2x+10
∴ x≥2,-2x+10≥2,10-x-(-2x+10)≥2.
解之,2≤x≤4
∴ 正整数x=2,3,4.
∴ 装运车辆有3种安排方案,它们是:方案① 装运A种2辆车,装运B种6辆车,装运C种2辆车;方案② 装运A种3辆车,装运B种4辆车,装C种3辆车;方案③ 装运A种4辆车,装运B种2辆车,装运C种4辆车.
(3)先求出使销售获利最大时的x的值,再选择对应的方案. 为方便起见,设此次销售利润为W万元.
∵ y=-2x+10时,
装运A种湘莲总量为12x吨,B种湘莲总量10(-2x+10)吨,C种湘莲总量8[10-x-(-2x+10)]吨,即8x吨.
∴ W=3×12x+4×10(-2x+10)+2×8x,
即有W=-28x+400.
∵ k=-28<0,
∴ W随x的增大而减小.
∵ x的最小正整数值=2,
∴ W的最大值=-28×2+400=344.
∴ 当按方案①装运时,可使销售获利最大,为344万元.
例1 (2009年辽宁铁岭市中考试题)为迎接国庆六十周年,某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动,并设立了一、二、三等奖.学校计划派人根据设奖情况买50件奖品,其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件,三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍. 已知一等奖奖品单价为12元,二等奖奖品的单价为10元,三等奖奖品的单价为5元.如果计划一等奖买x件,买50件奖品的总钱数是w元.
(1)求w与x的函数关系式;
(2)请你计算一下,如何购买这三种奖品所花的总钱数最少?最少是多少元?
解析:(1)当一等奖买x件时,则二等奖买(2x-10)件,三等奖买[50-x-(2x-10)]件,即(60-3x)件.
∵ 一等奖、二等奖、三等奖奖品的单价分别为12元、10元、5元,
∴ w=12x+10(2x-10)+5(60-3x)
∴ w=17x+200.
(2)由k=17>0,得w随x的增大而增大,要求购买这三种奖品所花的总钱数最少,应先确定x的最小整数值.
∵ 购买三种奖品的件数都必须大于0,且三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍,
∴ x>0,2x-10>0,60-3x>0,5(60-30x)≤1.5×10(2x-10).
解之,10≤x<20.
∴ x的最小整数值为x=10.
这时,w的最小值为17×10+200=370,2x-10=10,60-3x=30.
∴ 当一等奖买10件,二等奖买10件,三等奖买30件时,所花的总钱数最少,最少钱数是370元.
例2 (2009年四川南充市中考试题)某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式.
方法A:以每分钟0.1元的价格按上网时间计费;
方法B:除收月基费20元外,再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费.
假设顾客甲一个月手机上网的时间共有x分钟,上网费用为y元.
(1)分别写出顾客甲按A、B两种方式计费的上网费y元与上网时间x分钟之间的函数关系式,并在同一直角坐标系中作出这两个函数的图像;
(2)如何选择计费方式能使甲上网费更合算?
解析:(1)依题意,两种手机上网计费方式中y与x之间的函数关系式分别为:y=0.1x,y=0.06x+20,其中x≥0.
在同一直角坐标系中作出这两个函数的图像(如右图所示).
(2)由图象知,直线y=0.1x和直线y=0.06x+20被其交点P分为三部分. 要选择哪种计费方式更合算,应先确定交点P的坐标.
当y=y时,有0.1x=0.06x+20。
解之,x=500,对应的y=y=50.
∴ 两图象的交点P的坐标为(500,50).
∵ 当0≤x<500时,y
所以当一个月内上网时间少于500分钟时,选择方式A省钱;当一个月内上网时间等于500分钟时,选择方式A、方式B一样;当一个月内上网时间多于500分钟时,选择方式B省钱.
例3 (2009年湖南湘潭市中考试题)我市花石镇组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售,按计划10辆汽车都要装满,且每辆汽车只能装同一种湘莲,根据下表提供的信息,解答以下问题:
(1)设装A种湘莲的车辆数为x,装B种湘莲的车辆数为y,求y与x之间的函数关系式.
(2)如果装运每种湘莲的车辆数都不少于2辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案.
(3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?并求出最大利润的值.
解析:(1)设装运A种湘莲的车为x辆,装运B种湘莲的车为y辆时,那么装运C种湘莲的车为(10-x-y)辆.
∵ 10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共有100吨,
∴ 12x+10g+8(10-x-y)=100.
∴ y=-2x+10.
(2)要求车辆的安排方案有几种,应先确定x的取值范围,再求正整数x的值.
∵ 装运每种湘莲的车辆数都不少于2辆,
∴ x≥2,y≥2,10-x-y≥2.
又,y=-2x+10
∴ x≥2,-2x+10≥2,10-x-(-2x+10)≥2.
解之,2≤x≤4
∴ 正整数x=2,3,4.
∴ 装运车辆有3种安排方案,它们是:方案① 装运A种2辆车,装运B种6辆车,装运C种2辆车;方案② 装运A种3辆车,装运B种4辆车,装C种3辆车;方案③ 装运A种4辆车,装运B种2辆车,装运C种4辆车.
(3)先求出使销售获利最大时的x的值,再选择对应的方案. 为方便起见,设此次销售利润为W万元.
∵ y=-2x+10时,
装运A种湘莲总量为12x吨,B种湘莲总量10(-2x+10)吨,C种湘莲总量8[10-x-(-2x+10)]吨,即8x吨.
∴ W=3×12x+4×10(-2x+10)+2×8x,
即有W=-28x+400.
∵ k=-28<0,
∴ W随x的增大而减小.
∵ x的最小正整数值=2,
∴ W的最大值=-28×2+400=344.
∴ 当按方案①装运时,可使销售获利最大,为344万元.