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摘 要：FPSO在服役期间，其立管平台会受到交变应力而引起疲劳破坏。常用的疲劳分析方法，分为简化疲劳方法、谱分析方法及断裂力学分析方法。本文借助Sesam软件，对某FPSO立管平台进行有限元分析，并根据ABS规范和复合辛普森数值算法，编写了一款简化疲劳计算软件并应用于该实际工程，对有限元计算结果进行简化疲劳评估，后期验证了计算的正确性与精确性。
关键词：FPSO立管平台;简化疲劳分析;复合辛普森数值算法
中图分类号：U661.4 文献标识码：A
Simplified Fatigue Assessment of FPSO Riser Platform
and Software Development
YAN Feng， CHEN Zhenghao， HUANG Huanqing
（ Guangzhou Marine Engineering Corporation， Guangzhou 510250 ）
Abstract： The Fatigue failure will occur because of alternating stress that are produced by the variable loads imposed on the riser platform of FPSO. Commonly used fatigue assessment methods are divided into simplified fatigue assessment method， spectral assessment method and the fracture mechanics assessment method. The finite element analysis （FEA） of a FPSO riser platform is carried out with Sesam software to obtain the fatigue stress at each critical location. According to ABS’s rules and composite Simpson formula， a simplified fatigue calculation software is written and applied to the fatigue assessment of the FEA results， and the correctness and accuracy of the calculation is verified in the later stage.
Key words： FPSO Riser Platform; Simplified fatigue assessment; Composite Simpson formula
1 前言
海洋结构物受到交变循环载荷时，会产生交变的应力，进而引起疲劳破坏。FPSO在位工作时，受到波浪、流或设备周期性载荷的作用，因此需要对FPSO立管平台进行疲劳评估。
疲劳评估主要有三种方式：简化疲劳分析法：谱分析法;基于断裂力学的疲劳分析法。
简化疲劳分析法作为一种间接疲劳估计方法，常用于结构节点疲劳强度的筛选。当通过简化疲劳分析法计算得到的结果满足要求时，无需进行更深入一步的分析;如果计算结果不满足要求时，则需要采用其它的方法进行评估。
2 简化疲劳法的基本理论
海洋工程疲劳损伤，通常使用线性累积理论来进行预报，常用的有Palmgren-Miner累积损伤理论[2]，其认为每一次循环载荷损伤为独立事件，总的损伤可以写为：
（1）
式中：D为累积损失度;J为不同范围的应力数;ni为第i个应力范围Si的循环次数;Ni为在应力范围Si下直到失效時的应力循环次数，可以由S-N曲线确定。
2.1 S-N曲线
许多船级社如ABS、DNV、API通过对标准构件进行疲劳试验，得到某种材料构件应力幅值与循环次数的关系曲线，称为S-N曲线。
ABS规范根据构件的样式、连接型式和所处的环境，给定了相应的S-N曲线，并根据节点焊接形式和连接方式的不同，指定了S-N曲线适用范围。
应力范围S与疲劳破坏次数N的关系，如下式所示：
（2）
式中：A、m为疲劳强度系数，由疲劳试验获得。
一组典型的双直线型S-N曲线，如图1所示。
2.2 简化疲劳损伤计算
ABS规范定义了相应累积损伤公式，对于单直线S-N曲线，累积疲劳表达式为：
（3）
对于双直线型S-N曲线，累积疲劳表达式为：
（4）
式中：D为损伤值;A、C、m、r为S-N曲线参数;γ为Weibull分布形状参数;δ为Weibull尺度分布;NT为设计寿命内应力循环次数。一般设计寿命为25年时，取NT=1E8;Γ、Γ0为不完全伽马函数。
3 不完全Gamma函数求法
对双直线型S-N曲线，不完全Gamma函数可以简化为： （5）
（6）
不完全Gamma函数通常是无法直接积分求得的，对于如何求解不完全Gamma函数，文献[3]提出了众多的方法：切比雪夫法、辛普森法、泰勒级数近似、递推法、非线性回归拟合参数化方法。本文采用复合辛普森法计算不完全Gamma函数积分值。
3.1 复合辛普森法
复合辛普森法[4]将定积分区间[a，b]分成n等分，每一份称为一子区间，其步长为 ，分点为XK=a+kh，k=0，1，2，…n。
根据定积分的性质，区间[a，b]上的积分值等于每一个子区间积分值之和，即 （7）
对每一子区间[XK，XK+1]使用辛普森法求得积分值，记区间中点为XK+1/2，区间[a，b]的积分值可以用下式来计算。
（8）
当f（x）在区间[a，b]上有连续四阶导数时，[a，b]区间的复合辛普森公式余项为：
（9）
复合辛普森法可以在每个小区间上采用数值积分求积公式进行计算，当子间区足够多时，求积公式误差非常小，数值精度可以由余项RS来控制。
3.2 不完全Gamma函数的数值解
本文利用Python语言，在软件层面实现了不完全Gamma函数的数值解法。《CCS-船体结构疲劳强度指南（2007）》[5]附录1 Gamma函数表给出了一些不完全Gamma函数的近似解，对比其函数表数据与自编不完全Gamma函数计算程序结果，可以验证软件的精确度。
对比结果表明：最大误差不超过0.065%。误差原因主要是因为数据截断造成的误差，由此可证明自编软件计算不完全Gamma函数是可靠而准确的。
4 简化疲劳分析程序
根据前面所述简化疲劳法的基本原理，基于ABS规范，利用Python语言开发了一款简化疲劳分析软件。该软件内置了ABS规范的S-N曲线数据，只需要输入几个基本参数，就可以快速的算出热点疲劳损伤度。
该软件可以利用拉格郎日插值法快速计算热点应力，只需提取有限元分析的4个单元中心应力结果和位置，就可以计算出热点应力。
在Design Parameters中输入设计年限、修正板厚、设计安全因子等参数;在Fatigue Assessment Parameters中选用S-N曲线、Weibul形状参数及参考循环次数，点击计算即可完成单直线损伤、双直线损伤及许用应力的计算。
4.1 算法比较下
（1）传统手工计算
提取有限元结果→插值计算热点应力→查ABS规范得出S-N曲线参数→进行板厚修正→查表
函数插值点附近值→进行双线型插值计算
函数近似值→计算损伤值。
传统手工计算，每节点计算一次都需要查一次S-N曲线表、查4次Gamma函数表并进行二次双线性插值计算。对许用应力计算因涉及到循环算法，因此无法求出，只能计算疲劳损伤。
（2）自编软件计算
提取有限元结果→自动计算热点应力→输入计算参数/选用S-N曲线→计算损伤值→采用循环算法计算许用应力值[1]。
使用软件计算，无需查表和进行插值计算，效率大幅度提高，特别是节点越多工况越多时，效率提高越明显，并且可以利用循环算法计算许用应力。
4.2 工程验证
对某FPSO直升机甲板平台，分别使用传统手工计算和软件计算方法，对其中某些节点进行了计算并作对比，表明两种结果是一致的。
5 立管平台简化疲劳分析
基于以上理论，采用DNV的Sesam软件，对立管受力最大工况进行有限元分析，并根据ABS指南对可能发生破坏的节点进行疲劳分析。
5.1 计算模型
模型采用直角坐标系：坐标原点为FPSO尾垂线与基线交点;X方向为船长方向，从船尾指向船首;Y方向为船宽方向，从右舷指向左舷;Z方向为垂直方向，从基线指向主甲板。
该计算模型如图2所示，包括：立管平台上部、下部和部分FPSO船体。主船体模型纵向范围自FR67-FR92，横向范围自距中25.48（m）纵舱壁至船体外板部份，垂向范圍从船底板至主甲板。
对于疲劳评估点，ABS规范规定必须细化为txt（t为板厚）大小的网格。模型采用板梁模型，板采用4节点单元模型;除细化区、加强筋、纵骨等采用梁单元模拟，细化区内纵骨采用板单元模拟。
主船体部分采用一个纵骨间距划分网格，即0.975 m;上下立管采用0.5 m划分网格;对疲劳评估区，采用细化网格模型。在疲劳热点附近采用txt大小划分网格，并均匀过渡。典型疲劳评估模型，如图3所示。
5.2 立管载荷
立管载荷采用OrcaFlex软件进行计算。
根据立管系统设计方案，结合立管系统受到的环境载荷，对立管系统与FPSO之间的相互作用进行动态耦合分析，可得到立管顶端节点的张力时历曲线。
整个模型由FPSO船舶模型和55根立管组成，其中立管采用深海钢质懒波立管SLWR。计算模型如图4所示。
水动力计算时，波浪方向取0～360 ?，间隔为30 ?。
计算结果表明：在横浪时FPSO的响应幅度最大。对横浪1年一遇、100年一遇的海况进行分析，得出各个立管顶端节点张力时历曲线。图5～图8为横浪时立管41的载荷。
立管最大载荷，如表1所示。
5.3 船舶运动加速度
FPSO立管平台在位工作时，主要受到船体运动产生的加速度载荷和立管受到的交变载荷。
加速度由AQWA水动力计算得出，仅计算横浪耦合情况，此时加速度幅值最大，如表2所列。
5.4 评估结果
对图3所示节点进行疲劳评估。因篇幅所限，这里仅列出满载生存计算结果：
对热点处进行应力外推，使用自编软件进行拉格郎日插值，插值应力为97.7 Mpa;使用自编软件进行损伤计算，节点损伤为0.168，小于1，因此可认为疲劳满足使用要求;许用应力值为320 MPa。
6 结论
设计时必须考虑FPSO立管平台的疲劳性能。由于结构复杂，节点众多，疲劳计算非常繁杂。本文根据了ABS海工规范，编写了相应的简化疲劳分析软件，并应用在实际工程项目中，取得了良好的结果。后期对软件的正确性与精确性进行了论证，证明本疲劳计算软件计算结果是精确的。
参考文献
[1] ABS. Guide for the fatigue assessment of offshore structures[M]. American Bureau of Shipping.2010.
[2] 曾春华，邹十践编译.疲劳分析方法及应用[M].北京：国防工业出版社，1991.
[3] 刘颖.不完全伽玛函数计算算法改进与应用[D].电子科技大学， 2015.
[4] 马东升，董宁.数值计算方法[M].北京：机械工业出版社， 2015.
[5] CCS.船体结构疲劳强度指南[M].上海：上海规范研究所， 2007.
关键词：FPSO立管平台;简化疲劳分析;复合辛普森数值算法
中图分类号：U661.4 文献标识码：A
Simplified Fatigue Assessment of FPSO Riser Platform
and Software Development
YAN Feng， CHEN Zhenghao， HUANG Huanqing
（ Guangzhou Marine Engineering Corporation， Guangzhou 510250 ）
Abstract： The Fatigue failure will occur because of alternating stress that are produced by the variable loads imposed on the riser platform of FPSO. Commonly used fatigue assessment methods are divided into simplified fatigue assessment method， spectral assessment method and the fracture mechanics assessment method. The finite element analysis （FEA） of a FPSO riser platform is carried out with Sesam software to obtain the fatigue stress at each critical location. According to ABS’s rules and composite Simpson formula， a simplified fatigue calculation software is written and applied to the fatigue assessment of the FEA results， and the correctness and accuracy of the calculation is verified in the later stage.
Key words： FPSO Riser Platform; Simplified fatigue assessment; Composite Simpson formula
1 前言
海洋结构物受到交变循环载荷时，会产生交变的应力，进而引起疲劳破坏。FPSO在位工作时，受到波浪、流或设备周期性载荷的作用，因此需要对FPSO立管平台进行疲劳评估。
疲劳评估主要有三种方式：简化疲劳分析法：谱分析法;基于断裂力学的疲劳分析法。
简化疲劳分析法作为一种间接疲劳估计方法，常用于结构节点疲劳强度的筛选。当通过简化疲劳分析法计算得到的结果满足要求时，无需进行更深入一步的分析;如果计算结果不满足要求时，则需要采用其它的方法进行评估。
2 简化疲劳法的基本理论
海洋工程疲劳损伤，通常使用线性累积理论来进行预报，常用的有Palmgren-Miner累积损伤理论[2]，其认为每一次循环载荷损伤为独立事件，总的损伤可以写为：
（1）
式中：D为累积损失度;J为不同范围的应力数;ni为第i个应力范围Si的循环次数;Ni为在应力范围Si下直到失效時的应力循环次数，可以由S-N曲线确定。
2.1 S-N曲线
许多船级社如ABS、DNV、API通过对标准构件进行疲劳试验，得到某种材料构件应力幅值与循环次数的关系曲线，称为S-N曲线。
ABS规范根据构件的样式、连接型式和所处的环境，给定了相应的S-N曲线，并根据节点焊接形式和连接方式的不同，指定了S-N曲线适用范围。
应力范围S与疲劳破坏次数N的关系，如下式所示：
（2）
式中：A、m为疲劳强度系数，由疲劳试验获得。
一组典型的双直线型S-N曲线，如图1所示。
2.2 简化疲劳损伤计算
ABS规范定义了相应累积损伤公式，对于单直线S-N曲线，累积疲劳表达式为：
（3）
对于双直线型S-N曲线，累积疲劳表达式为：
（4）
式中：D为损伤值;A、C、m、r为S-N曲线参数;γ为Weibull分布形状参数;δ为Weibull尺度分布;NT为设计寿命内应力循环次数。一般设计寿命为25年时，取NT=1E8;Γ、Γ0为不完全伽马函数。
3 不完全Gamma函数求法
对双直线型S-N曲线，不完全Gamma函数可以简化为： （5）
（6）
不完全Gamma函数通常是无法直接积分求得的，对于如何求解不完全Gamma函数，文献[3]提出了众多的方法：切比雪夫法、辛普森法、泰勒级数近似、递推法、非线性回归拟合参数化方法。本文采用复合辛普森法计算不完全Gamma函数积分值。
3.1 复合辛普森法
复合辛普森法[4]将定积分区间[a，b]分成n等分，每一份称为一子区间，其步长为 ，分点为XK=a+kh，k=0，1，2，…n。
根据定积分的性质，区间[a，b]上的积分值等于每一个子区间积分值之和，即 （7）
对每一子区间[XK，XK+1]使用辛普森法求得积分值，记区间中点为XK+1/2，区间[a，b]的积分值可以用下式来计算。
（8）
当f（x）在区间[a，b]上有连续四阶导数时，[a，b]区间的复合辛普森公式余项为：
（9）
复合辛普森法可以在每个小区间上采用数值积分求积公式进行计算，当子间区足够多时，求积公式误差非常小，数值精度可以由余项RS来控制。
3.2 不完全Gamma函数的数值解
本文利用Python语言，在软件层面实现了不完全Gamma函数的数值解法。《CCS-船体结构疲劳强度指南（2007）》[5]附录1 Gamma函数表给出了一些不完全Gamma函数的近似解，对比其函数表数据与自编不完全Gamma函数计算程序结果，可以验证软件的精确度。
对比结果表明：最大误差不超过0.065%。误差原因主要是因为数据截断造成的误差，由此可证明自编软件计算不完全Gamma函数是可靠而准确的。
4 简化疲劳分析程序
根据前面所述简化疲劳法的基本原理，基于ABS规范，利用Python语言开发了一款简化疲劳分析软件。该软件内置了ABS规范的S-N曲线数据，只需要输入几个基本参数，就可以快速的算出热点疲劳损伤度。
该软件可以利用拉格郎日插值法快速计算热点应力，只需提取有限元分析的4个单元中心应力结果和位置，就可以计算出热点应力。
在Design Parameters中输入设计年限、修正板厚、设计安全因子等参数;在Fatigue Assessment Parameters中选用S-N曲线、Weibul形状参数及参考循环次数，点击计算即可完成单直线损伤、双直线损伤及许用应力的计算。
4.1 算法比较下
（1）传统手工计算
提取有限元结果→插值计算热点应力→查ABS规范得出S-N曲线参数→进行板厚修正→查表
函数插值点附近值→进行双线型插值计算
函数近似值→计算损伤值。
传统手工计算，每节点计算一次都需要查一次S-N曲线表、查4次Gamma函数表并进行二次双线性插值计算。对许用应力计算因涉及到循环算法，因此无法求出，只能计算疲劳损伤。
（2）自编软件计算
提取有限元结果→自动计算热点应力→输入计算参数/选用S-N曲线→计算损伤值→采用循环算法计算许用应力值[1]。
使用软件计算，无需查表和进行插值计算，效率大幅度提高，特别是节点越多工况越多时，效率提高越明显，并且可以利用循环算法计算许用应力。
4.2 工程验证
对某FPSO直升机甲板平台，分别使用传统手工计算和软件计算方法，对其中某些节点进行了计算并作对比，表明两种结果是一致的。
5 立管平台简化疲劳分析
基于以上理论，采用DNV的Sesam软件，对立管受力最大工况进行有限元分析，并根据ABS指南对可能发生破坏的节点进行疲劳分析。
5.1 计算模型
模型采用直角坐标系：坐标原点为FPSO尾垂线与基线交点;X方向为船长方向，从船尾指向船首;Y方向为船宽方向，从右舷指向左舷;Z方向为垂直方向，从基线指向主甲板。
该计算模型如图2所示，包括：立管平台上部、下部和部分FPSO船体。主船体模型纵向范围自FR67-FR92，横向范围自距中25.48（m）纵舱壁至船体外板部份，垂向范圍从船底板至主甲板。
对于疲劳评估点，ABS规范规定必须细化为txt（t为板厚）大小的网格。模型采用板梁模型，板采用4节点单元模型;除细化区、加强筋、纵骨等采用梁单元模拟，细化区内纵骨采用板单元模拟。
主船体部分采用一个纵骨间距划分网格，即0.975 m;上下立管采用0.5 m划分网格;对疲劳评估区，采用细化网格模型。在疲劳热点附近采用txt大小划分网格，并均匀过渡。典型疲劳评估模型，如图3所示。
5.2 立管载荷
立管载荷采用OrcaFlex软件进行计算。
根据立管系统设计方案，结合立管系统受到的环境载荷，对立管系统与FPSO之间的相互作用进行动态耦合分析，可得到立管顶端节点的张力时历曲线。
整个模型由FPSO船舶模型和55根立管组成，其中立管采用深海钢质懒波立管SLWR。计算模型如图4所示。
水动力计算时，波浪方向取0～360 ?，间隔为30 ?。
计算结果表明：在横浪时FPSO的响应幅度最大。对横浪1年一遇、100年一遇的海况进行分析，得出各个立管顶端节点张力时历曲线。图5～图8为横浪时立管41的载荷。
立管最大载荷，如表1所示。
5.3 船舶运动加速度
FPSO立管平台在位工作时，主要受到船体运动产生的加速度载荷和立管受到的交变载荷。
加速度由AQWA水动力计算得出，仅计算横浪耦合情况，此时加速度幅值最大，如表2所列。
5.4 评估结果
对图3所示节点进行疲劳评估。因篇幅所限，这里仅列出满载生存计算结果：
对热点处进行应力外推，使用自编软件进行拉格郎日插值，插值应力为97.7 Mpa;使用自编软件进行损伤计算，节点损伤为0.168，小于1，因此可认为疲劳满足使用要求;许用应力值为320 MPa。
6 结论
设计时必须考虑FPSO立管平台的疲劳性能。由于结构复杂，节点众多，疲劳计算非常繁杂。本文根据了ABS海工规范，编写了相应的简化疲劳分析软件，并应用在实际工程项目中，取得了良好的结果。后期对软件的正确性与精确性进行了论证，证明本疲劳计算软件计算结果是精确的。
参考文献
[1] ABS. Guide for the fatigue assessment of offshore structures[M]. American Bureau of Shipping.2010.
[2] 曾春华，邹十践编译.疲劳分析方法及应用[M].北京：国防工业出版社，1991.
[3] 刘颖.不完全伽玛函数计算算法改进与应用[D].电子科技大学， 2015.
[4] 马东升，董宁.数值计算方法[M].北京：机械工业出版社， 2015.
[5] CCS.船体结构疲劳强度指南[M].上海：上海规范研究所， 2007.