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思维可视化可理解为：将原本不可见的思维路径、方式、规律运用图示或图示组合的方式呈现出来，以实现增强记忆及加深理解的效果。而数学学习的“思维可视化”就是指学生在数学学习过程中，在感知觉、表象、语言所提供的材料基础上，将抽象的数学概念、数学规律、较复杂的数量关系等运用形象的图示、表格、动画、动作等看得见的形式表示出来，从而达到对数学学习对象有一个形象、直观、整体的认识和理解。谱图，可以让学生的思维从隐性走向显性，从抽象走向直观。
一、数学图示链接知识表象：让思维可感
要引导学生经历具体形象的操作，学会与思维过程对应的图像或方法。指导学生在构图、读图、用图中建立表象，体会、感悟图中的信息与思维的过程，强化学生的感观表象，在充分的感性体验中观察、比较、分析、归纳，发展思维能力，积累数学活动经验，促进数学思考，形成清晰的表象。
下面是一位教师教学五年级上册“复式统计表”中的一个片断。
教师出示小小调查员调查4个班参加足球兴趣小组的情况，先出示五（1）班的调查结果。在这张表中，只能看出五（1）班的情况，像这样的表格就是以前所学的单式统计表。
师：想知道五（1）班和五（2）班，哪个班参加的人数多吗？怎么办？想知道哪个班参加足球兴趣小组的男生人数最多吗？（要同时看4张表）想知道4个班一共有多少人参加吗？（要同时看4张表，还得计算）看来要进行数据分析，或了解更多信息，用这些单式统计表显然不够方便，有什么好的建议？
生：合并。
（自主探究，学生尝试表格合并。小组内讨论，然后动手操作，尝试表格合并，展示部分小组合作成果。）
师：为什么可以省略第一行的性别及男女生呢？
生：重复了。
师：现在我们可以统计出男生总人数和女生总人数吗？还需要进行怎样的修改？进一步完善复式统计表。
几个小组的学生都想到了要把重复的性别、合计、男女生这一行去掉，但去掉后问题来了：都变成了五（1）班足球兴趣小组报名人数统计表。学生发现这一情况后，有的组改成了五（1）～（4），有的组直接写成了五（1）、五（2）、五（3）、五（4），还有的组发现这里的人数不知道是哪一班的，于是在前面分别加上五年级（1～4）班，这就是学生真实的想法，是真实的思维过程。由单式统计表合并变成复式统计表，学生很难用语言去描述，但教师创造了这样的一个动手操作的机会，激发了学生的认知需求，很自然地把几个单式统计表合并成了一个复式统计表。学生在不知不觉中认识了复式统计表，通过自己去尝试、发现并解决了问题。在解决问题的过程中，学生的思维过程也借助于图表动态地呈现了出来。
二、数学图画勾勒智力图像：让思维可视
所谓数学图画，是指以儿童的数学基础与生活体验，通过其眼睛观察、大脑思考、内心情感的激发，并结合手、眼、脑的协同作用，借助图画的方法表示出对数学概念或计算方法的独特理解，以及它们之间的本质联系。这种以图式方式勾勒出数学思维的视觉符号，使隐性的知识显性化、可视化，将理性的抽象过程形象化、视觉化，便于思考、交流和表达。
有一位教师是这样设计“乘加乘减”的（二年级）。
师：秋天到了，树上的果实成熟了，老师特地摘来一些水果请大家品尝。
从下面这幅图中，你能知道哪些条件？谁能根据这些条件提出一个数学问题？怎样列式？
生：2+2+2=6，2×3=6 ，3×2=6。
师：2表示什么？3呢？2×3在这幅图中表示几个几？
（接着出示：增加一个苹果的图片，如下图所示）
师：现在要求一共有多少个苹果，你会列式吗？
（学生列出了下面算式：2+2+2+1 ，2×3+1 ，2×4-1。）
师：2×3表示什么？为什么还要加1？2表示什么？4呢？2×4在这幅图中表示几个几？怎么会有4个2呢？
（根据学生回答，教师在最后一盘里添加另一种颜色的一个苹果的图片，同时指出，假设最后一个盘子里也有2个苹果。）
师：为什么又要减1？
师：把最后一个盘子里假设成有2个苹果，其实多加了1个，就应该在后面把这1个减掉。（边说边拿掉这个不同颜色的苹果）像这样的算式就是我们今天学习的内容：乘加、乘减。（板书课题）
这位教师重视新旧知识的联系，合理利用教材资源，创造性地用好教材、超越教材，是课程资源的促进者和发展者。本课设计从复习乘法引入新知，符合学生的认知规律与知识的发展逻辑，为学习乘加、乘减提供了坚实的“锚桩”。学生天生在智力上存在差异，这种差异是由生活经验、知识水平、思维方式、能力差异等引起的，这种差异必然会导致学生学习效率和学习效果的高低优劣。课堂中2×4-1，仅是几个优秀学生能想到的，一般学生不能理解这个抽象的过程。而作为课堂的组织者、引导者的教师在课堂教学中就应该充分考虑学生的差异，照顾差异，关注每一位学生的发展，使不同的学生都能在原有的基础上得到不同的发展。当少数学生借助想象正确列式后，这位教师没有一带而过，而是在最后一盘里添加了一个苹果，并且用其他颜色区分开来，可以使更多的学生借助实物图，直观完成抽象的想象过程。乘加学生比较好理解，一眼就能看出来了2×3+1，乘减教材安排在“想想做做”第一题，只有一道乘减算式，而本课教师将其前置，并以直观的实物图动态地呈现出来，巧妙地解决了学生认识的具体性与知识的抽象性之间的的关系。本课教师善于在关键处点拨，2表示什么？4呢？2×4在这幅图中表示几个几？怎么会有4个2呢？这一问“吹皱一池春水”“激起千层浪”，激起学生的深层次思考，学生的思维逐渐爬坡，思路慢慢拓展，最终触及知识的本质。
一个苹果的价值是什么？在于教师的相机引导、巧妙点拨，在于教师找准了学生认知的生长点，合理地选取了直观形象的图式，引发了学生的数学思考。一节原本枯燥的计算课，通过一个不同颜色的苹果，极大的丰富了学生想象的空间，学生充分理解并建构了乘减算术的算理，在充分吸取知识的“芬芳”的同时也激活了孩子内心深处的创造力。
三、数学图谱绘出概念意象：让思维可联
数学图谱可以整合学习内容，帮助学生探索数学知识的内在联系，并以图谱的形式展现知识、方法之间的联系，从而实现知识结构的重组与生成，形成概念意象。作为一种元认知策略，可以有效地提高学生的观察比较能力、思辨对比能力、自学反思与抽象概括能力。
数学知识是一个严格的演绎系统，但是在现有的教学中，往往为了学习的需要把这个系统分割成一个单元一个课时一个内容来展开。所以，我们需要引导学生构造数学的图谱来促进自我认知的完善，把所学概念、公式、法则、规律融会贯通，系统整理其内在联系，让数学知识结成网，让学生在不断地联系中发展思維，形成结构化、系统化的思维。这就需要整体架构，系统整理，凸显体系。现以“平面图形的面积”为例。
复习中先让学生对平面图形面积计算进行梳理，小组交流后形成了初步的结构，课堂上请学生对以下问题进行交流与反思完善。
（1）这些平面图形的面积怎样计算？公式是什么？
（2）面积又是怎样推导的？在推导过程中运用了哪些策略？（平移、旋转、化曲为直等转化策略）
（3）你为什么将这些平面图形这样来安排层次，它们之间有哪些联系？你认为哪个图形最关键？
（4）用你喜欢的方式把知识之间的联系整理出来。
在这组问题中抓了两个主要问题让学生体验：其一是结构关联，即为什么是这样来梳理，结构基础是什么。其二是结构关联中运用了什么策略，即可以怎样来梳理联系。在变与不变中帮助学生利用结构关联的思维方式组织认识，在比较分析中实现对平面图形计算的整体架构。（附：学生整理的图式）
数学学习的过程是一个知识学习的过程，同时也是数学思维的形成过程。在数学课堂上，教师要密切关注学生的思维过程，大胆尝试“谱图”——让学生的“思维可视化”的教学实践模式，积极鼓励并指导学生运用多种呈现方式将思维的过程展现出来，进而促进其抽象思维到形象思维的再现、分析思维和直觉思维的理性融合。
（作者单位：江苏省盐城市实验小学 ）
（责任编辑：杨强）
一、数学图示链接知识表象：让思维可感
要引导学生经历具体形象的操作，学会与思维过程对应的图像或方法。指导学生在构图、读图、用图中建立表象，体会、感悟图中的信息与思维的过程，强化学生的感观表象，在充分的感性体验中观察、比较、分析、归纳，发展思维能力，积累数学活动经验，促进数学思考，形成清晰的表象。
下面是一位教师教学五年级上册“复式统计表”中的一个片断。
教师出示小小调查员调查4个班参加足球兴趣小组的情况，先出示五（1）班的调查结果。在这张表中，只能看出五（1）班的情况，像这样的表格就是以前所学的单式统计表。
师：想知道五（1）班和五（2）班，哪个班参加的人数多吗？怎么办？想知道哪个班参加足球兴趣小组的男生人数最多吗？（要同时看4张表）想知道4个班一共有多少人参加吗？（要同时看4张表，还得计算）看来要进行数据分析，或了解更多信息，用这些单式统计表显然不够方便，有什么好的建议？
生：合并。
（自主探究，学生尝试表格合并。小组内讨论，然后动手操作，尝试表格合并，展示部分小组合作成果。）
师：为什么可以省略第一行的性别及男女生呢？
生：重复了。
师：现在我们可以统计出男生总人数和女生总人数吗？还需要进行怎样的修改？进一步完善复式统计表。
几个小组的学生都想到了要把重复的性别、合计、男女生这一行去掉，但去掉后问题来了：都变成了五（1）班足球兴趣小组报名人数统计表。学生发现这一情况后，有的组改成了五（1）～（4），有的组直接写成了五（1）、五（2）、五（3）、五（4），还有的组发现这里的人数不知道是哪一班的，于是在前面分别加上五年级（1～4）班，这就是学生真实的想法，是真实的思维过程。由单式统计表合并变成复式统计表，学生很难用语言去描述，但教师创造了这样的一个动手操作的机会，激发了学生的认知需求，很自然地把几个单式统计表合并成了一个复式统计表。学生在不知不觉中认识了复式统计表，通过自己去尝试、发现并解决了问题。在解决问题的过程中，学生的思维过程也借助于图表动态地呈现了出来。
二、数学图画勾勒智力图像：让思维可视
所谓数学图画，是指以儿童的数学基础与生活体验，通过其眼睛观察、大脑思考、内心情感的激发，并结合手、眼、脑的协同作用，借助图画的方法表示出对数学概念或计算方法的独特理解，以及它们之间的本质联系。这种以图式方式勾勒出数学思维的视觉符号，使隐性的知识显性化、可视化，将理性的抽象过程形象化、视觉化，便于思考、交流和表达。
有一位教师是这样设计“乘加乘减”的（二年级）。
师：秋天到了，树上的果实成熟了，老师特地摘来一些水果请大家品尝。
从下面这幅图中，你能知道哪些条件？谁能根据这些条件提出一个数学问题？怎样列式？
生：2+2+2=6，2×3=6 ，3×2=6。
师：2表示什么？3呢？2×3在这幅图中表示几个几？
（接着出示：增加一个苹果的图片，如下图所示）
师：现在要求一共有多少个苹果，你会列式吗？
（学生列出了下面算式：2+2+2+1 ，2×3+1 ，2×4-1。）
师：2×3表示什么？为什么还要加1？2表示什么？4呢？2×4在这幅图中表示几个几？怎么会有4个2呢？
（根据学生回答，教师在最后一盘里添加另一种颜色的一个苹果的图片，同时指出，假设最后一个盘子里也有2个苹果。）
师：为什么又要减1？
师：把最后一个盘子里假设成有2个苹果，其实多加了1个，就应该在后面把这1个减掉。（边说边拿掉这个不同颜色的苹果）像这样的算式就是我们今天学习的内容：乘加、乘减。（板书课题）
这位教师重视新旧知识的联系，合理利用教材资源，创造性地用好教材、超越教材，是课程资源的促进者和发展者。本课设计从复习乘法引入新知，符合学生的认知规律与知识的发展逻辑，为学习乘加、乘减提供了坚实的“锚桩”。学生天生在智力上存在差异，这种差异是由生活经验、知识水平、思维方式、能力差异等引起的，这种差异必然会导致学生学习效率和学习效果的高低优劣。课堂中2×4-1，仅是几个优秀学生能想到的，一般学生不能理解这个抽象的过程。而作为课堂的组织者、引导者的教师在课堂教学中就应该充分考虑学生的差异，照顾差异，关注每一位学生的发展，使不同的学生都能在原有的基础上得到不同的发展。当少数学生借助想象正确列式后，这位教师没有一带而过，而是在最后一盘里添加了一个苹果，并且用其他颜色区分开来，可以使更多的学生借助实物图，直观完成抽象的想象过程。乘加学生比较好理解，一眼就能看出来了2×3+1，乘减教材安排在“想想做做”第一题，只有一道乘减算式，而本课教师将其前置，并以直观的实物图动态地呈现出来，巧妙地解决了学生认识的具体性与知识的抽象性之间的的关系。本课教师善于在关键处点拨，2表示什么？4呢？2×4在这幅图中表示几个几？怎么会有4个2呢？这一问“吹皱一池春水”“激起千层浪”，激起学生的深层次思考，学生的思维逐渐爬坡，思路慢慢拓展，最终触及知识的本质。
一个苹果的价值是什么？在于教师的相机引导、巧妙点拨，在于教师找准了学生认知的生长点，合理地选取了直观形象的图式，引发了学生的数学思考。一节原本枯燥的计算课，通过一个不同颜色的苹果，极大的丰富了学生想象的空间，学生充分理解并建构了乘减算术的算理，在充分吸取知识的“芬芳”的同时也激活了孩子内心深处的创造力。
三、数学图谱绘出概念意象：让思维可联
数学图谱可以整合学习内容，帮助学生探索数学知识的内在联系，并以图谱的形式展现知识、方法之间的联系，从而实现知识结构的重组与生成，形成概念意象。作为一种元认知策略，可以有效地提高学生的观察比较能力、思辨对比能力、自学反思与抽象概括能力。
数学知识是一个严格的演绎系统，但是在现有的教学中，往往为了学习的需要把这个系统分割成一个单元一个课时一个内容来展开。所以，我们需要引导学生构造数学的图谱来促进自我认知的完善，把所学概念、公式、法则、规律融会贯通，系统整理其内在联系，让数学知识结成网，让学生在不断地联系中发展思維，形成结构化、系统化的思维。这就需要整体架构，系统整理，凸显体系。现以“平面图形的面积”为例。
复习中先让学生对平面图形面积计算进行梳理，小组交流后形成了初步的结构，课堂上请学生对以下问题进行交流与反思完善。
（1）这些平面图形的面积怎样计算？公式是什么？
（2）面积又是怎样推导的？在推导过程中运用了哪些策略？（平移、旋转、化曲为直等转化策略）
（3）你为什么将这些平面图形这样来安排层次，它们之间有哪些联系？你认为哪个图形最关键？
（4）用你喜欢的方式把知识之间的联系整理出来。
在这组问题中抓了两个主要问题让学生体验：其一是结构关联，即为什么是这样来梳理，结构基础是什么。其二是结构关联中运用了什么策略，即可以怎样来梳理联系。在变与不变中帮助学生利用结构关联的思维方式组织认识，在比较分析中实现对平面图形计算的整体架构。（附：学生整理的图式）
数学学习的过程是一个知识学习的过程，同时也是数学思维的形成过程。在数学课堂上，教师要密切关注学生的思维过程，大胆尝试“谱图”——让学生的“思维可视化”的教学实践模式，积极鼓励并指导学生运用多种呈现方式将思维的过程展现出来，进而促进其抽象思维到形象思维的再现、分析思维和直觉思维的理性融合。
（作者单位：江苏省盐城市实验小学 ）
（责任编辑：杨强）