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小学数学“发现式”教学是指采取“导、舍、等”策略，让学生对教师提供的数学情境、事例、问题等展开积极思考、独立探究、自行发现，并掌握知识、习得方法的一种教学方式。这种方式顺应了“以学定教”的课堂转型方向。事非亲历而不知，方法可以是被动接受的，但更应该是主动习得的。只有通过自己发现问题、关系规律、获得知识，学习才能更扎实，理解才会更深刻。
一、设“导”是为了“得”
小学数学“发现式”教学中，教师的作用主要是引导和帮助，将课堂和学习的主动权交给学生，让学生自主地参与到知识的发现、探究过程中去，教师只要负责给学生指引一个正确的学习方向，以及在学生自主学习过程中，帮助他们解决一些学术性、经验性问题。
1.情境，有效引导
情境是知识产生、应用的具体环境，是联系数学与现实世界的纽带，能激发学生学习的积极性，起到沟通数学与现实生活的作用。
案例1：在三年级下学习“平均数”这一内容时，教师创设了这样一个故事情境：部队接到任务，马大哈班长带队前往，途经某小河。河边警示牌上注明：本河段平均水深1.40米。马大哈赶紧量最矮战士的身高，有1.68米。就放心让战士们蹚水过河。你们准备过河吗？
看到问题后，学生纷纷展开讨论，有的说可以，有的说不可以，意见不一、群情激荡，情境创设的功效得以见证！这样的“乱”况之中，蕴藏着发现的契机，提供着发现的平台，为新知识的接纳提供了铺垫。
师：你是怎样理解平均水深1.40米？
生：河底不一定平坦，有的地方可能会超过1.40米。
师追问引导：为什么不可以过河？
……
生动的故事情境加上教师适时的追问，学生学习的欲望被有效点燃，主动性得到唤醒，新知的接纳、顺化也就变得有迹可循了。
2.问题，层层诱导
前苏联心理学家鲁宾斯坦说：“思维过程最初的时刻通常是问题的情境。”对学生而言，适合的问题，会让他们产生一种对知识的需要与渴求。因此，教师要找准认知盲点，以问题诱导，催生学生的思维触点。
案例2：在学习求平行四边形的面积时，教师出示了这样一个场景：去玻璃店配茶几面，分别有长方形、平行四边形两款玻璃面板可以选择。
（1）能计算长方形玻璃面积吗？
（2）需要知道哪些条件？
（3）能计算平行四边形玻璃面积吗？
前面两个问题学生在思考后都能一一作答，到了第3个问题时，学生说不知道公式，不知道如何求解。这时是学生最迷茫与困顿的时候，同样也是最有生发力的时机。此时，教师顺势抛出了第4和第5个问题，引导学生思考。
（4）什么图形你会算？
（5）能否将平行四边形转变成你会算的图形？
沿着学生的困惑处，精心编制小问题，引导学生思考，让学生由此产生探知的兴趣，搭建起思维生长的阶梯。思维始于发问，在“发现式”教学中，通过教师的精心设问、层层诱导，将学生推上发现者、研究者的位置，让他们在发现中自主学习。
3.内容，精心编导
教学内容是教学过程中同师生发生交互作用、服务于教学目的达成的素材及信息。合适的教学内容较易激起学生学习的强烈欲望，实现最佳教学效果。在“发现式”教学中，教师需要精心编导一些教学内容，力争接近学生的知识“最近发展区”。
案例3：影剧院正在放映《举起手来》，李老师夫妇都很想去看。但李老师只有一张电影票，怎么办呢？请大家帮李老师出出主意。
这是在学习“可能性”时，教师编导的一个内容。谁来帮帮老师，让学生争当“智多星”出谋划策，并在自主交流中验证自己所提方法的合理性，教师则退居幕后。
生：可以扳手腕，赢的人去看电影。
生：不可以，李老师是女生，力气小，一定会输的，这对她不公平。
生：要不让他们划拳来决定？
……
这样的教学内容的安排远比硬塞一个结论给学生要高明得多。学生在不断思考、反驳、修改中，既能发现游戏规则的公平性、必要性，又能感受、理解“可能性”的内涵与应用。
二、有“舍”才有“得”
小学数学“发现式”教学在“舍”“得”之间不断寻求平衡点。舍得抛开沿袭多年的教案；舍得放弃教材范例；舍主角为配角；舍主讲为“候补”。让教师成为学情的解读者，成为课堂生成的掌控者，让学生真正自主的去发现问题所在。
1.“舍”范例，得可控
在“发现式”教学过程中，教师不应该迷信权威、迷信书本，而应当立足于学情对教材内容进行有效的取舍。
案例4：“百以内数的认识”一课的教材图：小朋友围坐在课桌边点花生计数，最后引出百的概念。
编者的愿望是好的，实际操作的局面却存在着一定的不可控性。首先花生这一材料虽然并不难找，但是课前准备仍需一定的时间，并且只在这一次课上使用，有浪费之嫌。另外，花生因为是圆的，低年级的学生控制不好容易掉落，会给课堂带来不必要的意外。基于此，教师准备了数学学具中经常用到的小棒来代替花生。
在数小棒的过程中学生发现一不小心就得重新数，既烦琐又累人。怎样才能更加的一目了然呢？操作与要求的冲突，为10根一扎方法的诞生做了有力的铺垫。渐渐地学生在操作中又发现，每次都10根一扎速度太慢，是否还有更快更简洁的方法？有需求就有进步，学生在烦琐的操作中逐步掌握了只要10根小棒圈1个小圈，10个小圈成1个大圈就是百，从而自觉地懂得了用图示的方法原来更高明。
从可控制的操作中获得经验的积累，这种经验既构成了学生“发现”的基础，也使数学课堂充满变数，让方法在冲突中孕育。
2.“舍”主体，得唤醒
有许多数学的知识，学生基于平时的生活经验已经懂得了，这时不妨将课堂的主体留给学生，教师只需要通过引导、扶放，唤醒学生的旧知，为新知的形成、内化服务。 案例5：在“圆柱侧面积”相关内容的教学中，学生对于侧面积的计算往往难以理解。这时教师设计了“剪一剪、贴一贴”的活动，让学生试着将薯片罐侧面（包装纸）剪开、展开。率先完成的学生对自己的“成果”很是得意，却在左顾右盼中发现其他同学还有不同的图形，他们立马去询问、去反思、去研究、去探讨。学习主体意识在教师有意的放任中得到唤醒。
同样在“圆的面积”中，学生对长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式了然于心，对公式的推导方法亦有所感悟。这些正是新知的起点——“你能用类似方法将圆转变成熟悉的图形吗？”“化成后的图形各部分相对于圆哪部分？”——有形的“扶”，为操作的“放”做足功课。学生剪开圆，或拼长方形，或拼梯形，或拼三角形……直到下课了仍然意犹未尽。
这样的放手，教师看似舍弃了课堂的主体地位，却唤醒了学生自主学习的激情，唤醒了学生的主人翁意识，助长了知识生长的强度，凸显了知识不断丰盈的进程。
三、有“等”就有“得”
课堂是师生互动的场所，是学生知识生长的平台。“发现式”的教学需要充分发挥学生的主体作用，而教师则需要将脚步稍稍放慢一些，在适时的等待中收获学生的成长。教育中的等待并不是一种不负责的放任，而是一种遵循教育规律的理性选择，是宽容、耐心、信任与尊重的化合物，是学生成长与进步的催化剂。
1.“等”在冲突处
冲突是学生思维的纠结点，也是知识内化的关键点，教师只需要在学生的认知冲突处等待“造势”，就能有效推动学生思维的动态发展。
案例6：简便计算方法的教学最常用的形式是教师介绍，学生接受，可以说是“绑架”了学生的思维，代替了学生的思考。为此在“发现式”教学中，教师设计了这样一个任务，来激发学生的认知冲突，在学生的自我需求中，传递简便计算方法的应用。
出示A、B两组计算题，男女生分组比赛。
刚开始学生会老老实实计算，很快抽到A组题的学生就抗议了：“为什么B组的题目比我们的简单，老师你不公平！”此时，正是学生思维的冲突点，教师等待在此，适时地抓住机会让学生回顾题组，发现异同，从而明确简便计算方法的价值。
于练习中发现不公平，质疑不公平，化解不公平，这样的等待，让矛盾与冲突激发，让学生学会用“发现”的眼光看问题，萌生敏锐数感。
2.“等”在反馈处
课堂上如果教师占用的时间过多，必然会压缩学生的时间，无形中抑制了学生的发展，影响了学生亲自探索的积极性。因此，尤其在学生反馈交流过程中，教师应该适当示弱隐退，等待学生去“逞强”，打造思维灵活度。
案例7：在五年级上册的小数除法相关内容的教学时，教师出示例题：18÷0.6=？
面对题目有的学生苦思冥想，有的立马就有了答案。此刻教师不妨做做学生眼里的“笨老师”：“你们听明白了吗？老师好像没懂，谁来教教我？”恰如其分的弱势让学生乐于去积极思考，想方设法给予教师帮助。
生：“可以看作18元，每块橡皮0.6元，求买几块？把0.6化作6角，18元化作180角，算出30。”
生：“将0.6看成6个十分之一，18就看成180个十分之一，相当于在求180里面有几个6。”
马上又有学生跟进：“老师，我连1.2÷0.3=？都会算了。你们看，0.3是3个十分之一，1.2是12个十分之一，不就在求12里面有几个3嘛。”
……
因为存在着个体的差异，并不是所有的学生都能马上发现问题的关键点。于反馈处调动学生的积极性，使已经理解题意的学生产生表达的欲望，使还没有理解的学生千方百计想赶在教师之前理解，探究的热情势必会因此而被激发，这样的“发现”课堂才是真正属于学生的课堂。
3.“等”在迁移处
数学的学习是建立在学习者已经具有的知识经验和认知结构等的基础上的，这种原有的知识结构对新知识学习的影响就形成了知识的迁移。教师应有效利用学生的这种迁移，让学生自主地去发现新旧知识间的联系点，这样所获得的知识才能更牢固。
案例8：在平行四边形的面积计算的相关教学中，学生在经历了动手操作探究后，对平行四边形面积的计算依据有了一些思路及想法，但还不一定能说清道理、说出结论。此时的知识迁移是十分重要的。借助想一想、议一议的活动——“你是怎样想的？”“分享一下你的方法。”——巧妙地将学生推到课堂的前台。
生：“我们沿着平行四边形的高剪成两部分，将左边部分平移到右边，发现可以拼成一个长方形。”
师：“我们想求平行四边形面积，你给出了长方形，它们有什么关联呢？”
生：“我发现，在这个过程中，平行四边形的底转化成为长方形的长，平行四边形的高转化成长方形的宽。”
师：“那可以推出什么内容？”
生：“哦，我发现了！因为长方形面积等于长乘宽；所以可以推出平行四边形面积应该是底乘高。”
师：“难道只有这种方法吗？”
生：“我发现了！可以将平行四边形沿着高剪2刀，剪出两个三角形和一个长方形。”
有人表示不理解，这位学生索性用实物投影展示出他的“作品”。原来他将平行四边形拆成三部分，中间部分是长方形，余下的两个完全一样的三角形，也可以拼成一个长方形，这样的两部分面积就很容易得出了。
……
通过剪贴的方式，让学生自主地将长方形面积的求解方式迁移到平行四边形的面积求解中。教师在学生知识迁移时的耐心等待，真正体现了“教是为了不教”的教学最高境界。而这种境界的诞生需要教师精准把握迁移时机，提供观点碰撞的契机，有效提升学生的思维强度和韧性。
好学基于愿学，愿学基于会学，会学才有乐学，赢在课堂才能赢在未来！小学数学“发现式”教学秉承着这样的理念，构建着高效课堂的底线，无论是“导”，还是“舍”，亦或是“等”，最终都是为了知识更有效的“得”，也是为了将课堂真正地还给学生，让学生在自主的发现中收获知识的硕果。
（浙江省嘉善县洪溪小学 314100）
一、设“导”是为了“得”
小学数学“发现式”教学中，教师的作用主要是引导和帮助，将课堂和学习的主动权交给学生，让学生自主地参与到知识的发现、探究过程中去，教师只要负责给学生指引一个正确的学习方向，以及在学生自主学习过程中，帮助他们解决一些学术性、经验性问题。
1.情境，有效引导
情境是知识产生、应用的具体环境，是联系数学与现实世界的纽带，能激发学生学习的积极性，起到沟通数学与现实生活的作用。
案例1：在三年级下学习“平均数”这一内容时，教师创设了这样一个故事情境：部队接到任务，马大哈班长带队前往，途经某小河。河边警示牌上注明：本河段平均水深1.40米。马大哈赶紧量最矮战士的身高，有1.68米。就放心让战士们蹚水过河。你们准备过河吗？
看到问题后，学生纷纷展开讨论，有的说可以，有的说不可以，意见不一、群情激荡，情境创设的功效得以见证！这样的“乱”况之中，蕴藏着发现的契机，提供着发现的平台，为新知识的接纳提供了铺垫。
师：你是怎样理解平均水深1.40米？
生：河底不一定平坦，有的地方可能会超过1.40米。
师追问引导：为什么不可以过河？
……
生动的故事情境加上教师适时的追问，学生学习的欲望被有效点燃，主动性得到唤醒，新知的接纳、顺化也就变得有迹可循了。
2.问题，层层诱导
前苏联心理学家鲁宾斯坦说：“思维过程最初的时刻通常是问题的情境。”对学生而言，适合的问题，会让他们产生一种对知识的需要与渴求。因此，教师要找准认知盲点，以问题诱导，催生学生的思维触点。
案例2：在学习求平行四边形的面积时，教师出示了这样一个场景：去玻璃店配茶几面，分别有长方形、平行四边形两款玻璃面板可以选择。
（1）能计算长方形玻璃面积吗？
（2）需要知道哪些条件？
（3）能计算平行四边形玻璃面积吗？
前面两个问题学生在思考后都能一一作答，到了第3个问题时，学生说不知道公式，不知道如何求解。这时是学生最迷茫与困顿的时候，同样也是最有生发力的时机。此时，教师顺势抛出了第4和第5个问题，引导学生思考。
（4）什么图形你会算？
（5）能否将平行四边形转变成你会算的图形？
沿着学生的困惑处，精心编制小问题，引导学生思考，让学生由此产生探知的兴趣，搭建起思维生长的阶梯。思维始于发问，在“发现式”教学中，通过教师的精心设问、层层诱导，将学生推上发现者、研究者的位置，让他们在发现中自主学习。
3.内容，精心编导
教学内容是教学过程中同师生发生交互作用、服务于教学目的达成的素材及信息。合适的教学内容较易激起学生学习的强烈欲望，实现最佳教学效果。在“发现式”教学中，教师需要精心编导一些教学内容，力争接近学生的知识“最近发展区”。
案例3：影剧院正在放映《举起手来》，李老师夫妇都很想去看。但李老师只有一张电影票，怎么办呢？请大家帮李老师出出主意。
这是在学习“可能性”时，教师编导的一个内容。谁来帮帮老师，让学生争当“智多星”出谋划策，并在自主交流中验证自己所提方法的合理性，教师则退居幕后。
生：可以扳手腕，赢的人去看电影。
生：不可以，李老师是女生，力气小，一定会输的，这对她不公平。
生：要不让他们划拳来决定？
……
这样的教学内容的安排远比硬塞一个结论给学生要高明得多。学生在不断思考、反驳、修改中，既能发现游戏规则的公平性、必要性，又能感受、理解“可能性”的内涵与应用。
二、有“舍”才有“得”
小学数学“发现式”教学在“舍”“得”之间不断寻求平衡点。舍得抛开沿袭多年的教案；舍得放弃教材范例；舍主角为配角；舍主讲为“候补”。让教师成为学情的解读者，成为课堂生成的掌控者，让学生真正自主的去发现问题所在。
1.“舍”范例，得可控
在“发现式”教学过程中，教师不应该迷信权威、迷信书本，而应当立足于学情对教材内容进行有效的取舍。
案例4：“百以内数的认识”一课的教材图：小朋友围坐在课桌边点花生计数，最后引出百的概念。
编者的愿望是好的，实际操作的局面却存在着一定的不可控性。首先花生这一材料虽然并不难找，但是课前准备仍需一定的时间，并且只在这一次课上使用，有浪费之嫌。另外，花生因为是圆的，低年级的学生控制不好容易掉落，会给课堂带来不必要的意外。基于此，教师准备了数学学具中经常用到的小棒来代替花生。
在数小棒的过程中学生发现一不小心就得重新数，既烦琐又累人。怎样才能更加的一目了然呢？操作与要求的冲突，为10根一扎方法的诞生做了有力的铺垫。渐渐地学生在操作中又发现，每次都10根一扎速度太慢，是否还有更快更简洁的方法？有需求就有进步，学生在烦琐的操作中逐步掌握了只要10根小棒圈1个小圈，10个小圈成1个大圈就是百，从而自觉地懂得了用图示的方法原来更高明。
从可控制的操作中获得经验的积累，这种经验既构成了学生“发现”的基础，也使数学课堂充满变数，让方法在冲突中孕育。
2.“舍”主体，得唤醒
有许多数学的知识，学生基于平时的生活经验已经懂得了，这时不妨将课堂的主体留给学生，教师只需要通过引导、扶放，唤醒学生的旧知，为新知的形成、内化服务。 案例5：在“圆柱侧面积”相关内容的教学中，学生对于侧面积的计算往往难以理解。这时教师设计了“剪一剪、贴一贴”的活动，让学生试着将薯片罐侧面（包装纸）剪开、展开。率先完成的学生对自己的“成果”很是得意，却在左顾右盼中发现其他同学还有不同的图形，他们立马去询问、去反思、去研究、去探讨。学习主体意识在教师有意的放任中得到唤醒。
同样在“圆的面积”中，学生对长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式了然于心，对公式的推导方法亦有所感悟。这些正是新知的起点——“你能用类似方法将圆转变成熟悉的图形吗？”“化成后的图形各部分相对于圆哪部分？”——有形的“扶”，为操作的“放”做足功课。学生剪开圆，或拼长方形，或拼梯形，或拼三角形……直到下课了仍然意犹未尽。
这样的放手，教师看似舍弃了课堂的主体地位，却唤醒了学生自主学习的激情，唤醒了学生的主人翁意识，助长了知识生长的强度，凸显了知识不断丰盈的进程。
三、有“等”就有“得”
课堂是师生互动的场所，是学生知识生长的平台。“发现式”的教学需要充分发挥学生的主体作用，而教师则需要将脚步稍稍放慢一些，在适时的等待中收获学生的成长。教育中的等待并不是一种不负责的放任，而是一种遵循教育规律的理性选择，是宽容、耐心、信任与尊重的化合物，是学生成长与进步的催化剂。
1.“等”在冲突处
冲突是学生思维的纠结点，也是知识内化的关键点，教师只需要在学生的认知冲突处等待“造势”，就能有效推动学生思维的动态发展。
案例6：简便计算方法的教学最常用的形式是教师介绍，学生接受，可以说是“绑架”了学生的思维，代替了学生的思考。为此在“发现式”教学中，教师设计了这样一个任务，来激发学生的认知冲突，在学生的自我需求中，传递简便计算方法的应用。
出示A、B两组计算题，男女生分组比赛。
刚开始学生会老老实实计算，很快抽到A组题的学生就抗议了：“为什么B组的题目比我们的简单，老师你不公平！”此时，正是学生思维的冲突点，教师等待在此，适时地抓住机会让学生回顾题组，发现异同，从而明确简便计算方法的价值。
于练习中发现不公平，质疑不公平，化解不公平，这样的等待，让矛盾与冲突激发，让学生学会用“发现”的眼光看问题，萌生敏锐数感。
2.“等”在反馈处
课堂上如果教师占用的时间过多，必然会压缩学生的时间，无形中抑制了学生的发展，影响了学生亲自探索的积极性。因此，尤其在学生反馈交流过程中，教师应该适当示弱隐退，等待学生去“逞强”，打造思维灵活度。
案例7：在五年级上册的小数除法相关内容的教学时，教师出示例题：18÷0.6=？
面对题目有的学生苦思冥想，有的立马就有了答案。此刻教师不妨做做学生眼里的“笨老师”：“你们听明白了吗？老师好像没懂，谁来教教我？”恰如其分的弱势让学生乐于去积极思考，想方设法给予教师帮助。
生：“可以看作18元，每块橡皮0.6元，求买几块？把0.6化作6角，18元化作180角，算出30。”
生：“将0.6看成6个十分之一，18就看成180个十分之一，相当于在求180里面有几个6。”
马上又有学生跟进：“老师，我连1.2÷0.3=？都会算了。你们看，0.3是3个十分之一，1.2是12个十分之一，不就在求12里面有几个3嘛。”
……
因为存在着个体的差异，并不是所有的学生都能马上发现问题的关键点。于反馈处调动学生的积极性，使已经理解题意的学生产生表达的欲望，使还没有理解的学生千方百计想赶在教师之前理解，探究的热情势必会因此而被激发，这样的“发现”课堂才是真正属于学生的课堂。
3.“等”在迁移处
数学的学习是建立在学习者已经具有的知识经验和认知结构等的基础上的，这种原有的知识结构对新知识学习的影响就形成了知识的迁移。教师应有效利用学生的这种迁移，让学生自主地去发现新旧知识间的联系点，这样所获得的知识才能更牢固。
案例8：在平行四边形的面积计算的相关教学中，学生在经历了动手操作探究后，对平行四边形面积的计算依据有了一些思路及想法，但还不一定能说清道理、说出结论。此时的知识迁移是十分重要的。借助想一想、议一议的活动——“你是怎样想的？”“分享一下你的方法。”——巧妙地将学生推到课堂的前台。
生：“我们沿着平行四边形的高剪成两部分，将左边部分平移到右边，发现可以拼成一个长方形。”
师：“我们想求平行四边形面积，你给出了长方形，它们有什么关联呢？”
生：“我发现，在这个过程中，平行四边形的底转化成为长方形的长，平行四边形的高转化成长方形的宽。”
师：“那可以推出什么内容？”
生：“哦，我发现了！因为长方形面积等于长乘宽；所以可以推出平行四边形面积应该是底乘高。”
师：“难道只有这种方法吗？”
生：“我发现了！可以将平行四边形沿着高剪2刀，剪出两个三角形和一个长方形。”
有人表示不理解，这位学生索性用实物投影展示出他的“作品”。原来他将平行四边形拆成三部分，中间部分是长方形，余下的两个完全一样的三角形，也可以拼成一个长方形，这样的两部分面积就很容易得出了。
……
通过剪贴的方式，让学生自主地将长方形面积的求解方式迁移到平行四边形的面积求解中。教师在学生知识迁移时的耐心等待，真正体现了“教是为了不教”的教学最高境界。而这种境界的诞生需要教师精准把握迁移时机，提供观点碰撞的契机，有效提升学生的思维强度和韧性。
好学基于愿学，愿学基于会学，会学才有乐学，赢在课堂才能赢在未来！小学数学“发现式”教学秉承着这样的理念，构建着高效课堂的底线，无论是“导”，还是“舍”，亦或是“等”，最终都是为了知识更有效的“得”，也是为了将课堂真正地还给学生，让学生在自主的发现中收获知识的硕果。
（浙江省嘉善县洪溪小学 314100）