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一、引言
从2005年4月中国证监会发布《关于上市公司股权分置改革试点有关问题的通知》启动股权分置改革起，至2007年底，沪、深两市共1 298家上市公司完成了股权分置改革，占应股改公司的98%，未完成股改的上市公司仅剩33家。
股权分置改革的目的是要将不可流通的股份（原国有股、国有法人股和企业法人股）变为可流通的股份，真正实现同股同权。在股权分置改革的方案中，上市公司原非流通股股东对该部分股份在股权分置改革后的出售，都作出了下列类似的承诺：（一）自改革方案实施之日起，在12个月内不得上市交易或者转让；（二）持有上市公司股份总数5%以上的原非流通股股东，在前项规定期满后，通过证券交易所挂牌交易出售原非流通股股份，出售数量占该公司股份总数的比例在12个月内不得超过5%，在24个月内不得超过10%。由于取得流通权后的非流通股，受到以上流通期限和流通比例的限制，因此也被称之为限售股。
限售股份在限售期内不能在证券交易所自由买卖，只能通过拍卖或协议转让，而上市公司也经常因需要拍卖、转让或抵押限售股份，需要对限售股的价值进行评估。这也是评估师经常遇到的限售股评估业务。
二、证券流动性折价的期权理论
金融资产一般具有流动性，即金融资产具备以一个不蒙受损失的价格变现。如果金融资产的流动性弱，不能及时变现，那么，投资者承担的风险就越大。
流动性问题是金融市场上普遍存在的问题，是资产定价理论的重要研究方向。在国外的证券市场上，普遍存在着证券流动性受约束的情况。如在新股发行上市（IPO）中，机构投资者往往被要求在一定期限内不能卖出其所持有的股票。又如美国证券交易委员会（SEC）Rule 144规定，存信股票（Letter Stock）的持有人在购入该股票后两年内不能将其出售。股权分置改革后的我国上市公司的限售股与上述两种证券具有类似的特性。
缺乏流动性的证券与具有流动性的证券相比，在价格上存在很大的折扣率。如美国1981-1988年期间的69个存信股票的价格，存在平均33.75％的折扣率。在债券市场上，流动性低的债券必须以高于流动性高的债券的收益率出售。如在美国，1991年前的中期国债平均收益率高于短期国债43个基点；在日本，1984-1987年流动性较低的一般债券的平均收益率，要高于其他条件一致的、流动性较高的基准债券50个基点。
Longstaff(1995)研究了流动性定价问题，利用期权定价理论对在一定时期内不可交易的证券的价格上限进行了估算，他的理论分析思路如下：一个在无摩擦的市场连续交易的风险证券，其证券价格P（t）遵循以下随机过程：dP（t）=μP（t）dt+σP(t)dB(t)其中：μ（证券的期望收益率）与σ（证券价格变化的标准差）是常数;B(t)为标准的布朗运动或者正态维纳过程的函数。
在风险呈中性的领域里，μ=r，r为无风险利率，也是常数。若某持有该证券的投资者受销售性限制，即在T时刻以前不允许卖出该证券，则证券对该投资者的价值为PT。假如该投资者拥有完美的市场时机把握能力：在最优时刻t以价格Pt卖出该证券，并将Pt投资于无风险资产，从而最大化其价值。若以MT表示时刻T投资者的报酬，则此时MT=max(0≤t≤T)（er(T-t)Pt）。于是销售性限制使该投资者丧失了一个机会成本，其值为（MT-PT），也就是流动性成本的上限(对于不具有完美市场实际把握能力的投资者来说，相应机会成本要小一些)。这里（MT-PT）类似于一个回望卖出期权(lookback put option) 的损益：该回望卖出期权赋予其持有者以期权生存期内发生的最有利价格 Pt出售资产的权利，期权执行价为MT，到期日为T，到期日的清算价值为（MT-PT）。由于MT≥PT，所以这个回望卖出期权总是正值状态，即max(0,(MT-PT))=MT-PT。
上述分析可以作如下理解：假设某个具有完全把握市场时机能力的投资者持有一种交易受到限制的股票，比如，规定他必须持有T时间后才可以在市场自由卖出。然而，如果没有这样的限制，这个投资者就可以在t时刻股价到达一个高点时卖出。因此，为了要使这个投资者愿意持有这种股票，那就必须将此股票折价卖出，从而使得投资者无论持有哪种股票都获得相同收益。假设投资者投资于可以自由交易的股票，在0到T时间内可以获得收入为MT，如果他投资于限制交易的股票，只能在T时间后自由买卖，获得收入为PT，那么暂时不可交易的股票的价格贴水D(P,T)为（MT-PT）贴现到0时刻的价值，即上式能体现不可流通期限为T年的股票的流动性贴现的上限。
该期权的价值D(P,T)，即MT-PT的现值，可用标准风险中性价值评估技术 (期权定价理论) 进行评估。
(本公式详细推导过程见参考文献[1])
式中：D(P,T)是该期权（即流动性折价）的价值上限。其中，P是投资证券（没有销售限制的正常证券）的当前价格；σ是证券价格变化的标准差；T是限售期；N是累积正态密度函数。
可以看出，D(P,T)是到期时间T及收益波动σ的增函数。即受销售限制的时间越长，期间证券价格波动越大，销售限制的机会成本即流动性折扣的值就越高。在这一模型中，受流通限制的期限是确定的，因此可以事先按照这种规定的限制时间计算流动性折价的数值，从而估计限售证券的价值。
例如：某限售股票的当前流通股市价为10元，其历史价格变化的标准差为0.3，要估算有1年期销售限制的该股票的价值，可以先根据上述公式求出该1年期销售限制的流动性折价为
则该1年期销售限制的股票的当前价值＝10－2.63＝7.37（元）
在实务操作中，需要选取和确定的参数为股票当前的价格P、历史价格变化（或历史收益率变化）的标准差σ和限售期限T。计算中，当前流通股价格P一般选取股权分置改革后、基准日前30日的收盘价的平均值。
历史价格变化（或历史收益率变化）的标准差σ一般选取股权分置改革后至评估基准日期间股票的收盘价进行计算。观察股价的时间间隔通常是固定的（例如每天、每周或每月）
定义如下：n+1 ：观察次数
Si ：第i个时间间隔末的股票价格
τ： 以年为单位的时间间隔的长度
令：
因为Si=Si-1eui，ui为第i个时间间隔后的连续收益（并不是以年为单位）
ui的标准差s的通常估计值为：
其中，是ui的均值。而ui的标准差为，因此变量s是的估计值。从而可以作为σ的估计值。
限售期限T为基准日至到期日的时间。
三、案例计算
深市某上市公司132万股发起人法人股因抵债被法院查封，法院在2007年10月22日委托对其价值进行评估。经查该公司股改实施上市日为2007年8月8日，该132万股限售期为2007年8月8日至2008年8月8日。我们取得了该公司2007年8月8日至2007年10月22日股票收盘价计49个数据，则
2006年10月22日至2007年10月22日，该股票的实际交易日为101天，
则σ值为0.3303。
限售期T=(360-74)/360=0.7944，2007年10月22日前30日均价8.31元/股，则流动性折价
委估限售股市场价值＝8.31－2.13＝6.18元/股。
以上分析计算未考虑少数股权折价和控股权溢价，也未考虑大宗股票一次性出售等的条件限制。
参考文献
[1] Longstaff,Francis A.,1995b,“Placing No-Arbitrage Bounds on the Value of Nonmarketable and Thinly-Traded Securities,”Advances in Futures and Options Research 8, 203-228.
[2] 赵强,苏一纯.企业价值评估中股权缺乏流通性减值折扣的 研究[J].中国资产评估,2002(1).
[3] 王宏宇.期权定价理论在权益资本评估中的应用[J].中国资 产评估,2002(4).
[4] 严绍兵.上市公司国有股流通性折价的研究[J].中国资产评 估,2005(1).
[5] 季珉,赵嵩正.法人股价值评估研究[J].中国资产评估,2005(1).
（作者单位：青岛天和资产评估公司）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
从2005年4月中国证监会发布《关于上市公司股权分置改革试点有关问题的通知》启动股权分置改革起，至2007年底，沪、深两市共1 298家上市公司完成了股权分置改革，占应股改公司的98%，未完成股改的上市公司仅剩33家。
股权分置改革的目的是要将不可流通的股份（原国有股、国有法人股和企业法人股）变为可流通的股份，真正实现同股同权。在股权分置改革的方案中，上市公司原非流通股股东对该部分股份在股权分置改革后的出售，都作出了下列类似的承诺：（一）自改革方案实施之日起，在12个月内不得上市交易或者转让；（二）持有上市公司股份总数5%以上的原非流通股股东，在前项规定期满后，通过证券交易所挂牌交易出售原非流通股股份，出售数量占该公司股份总数的比例在12个月内不得超过5%，在24个月内不得超过10%。由于取得流通权后的非流通股，受到以上流通期限和流通比例的限制，因此也被称之为限售股。
限售股份在限售期内不能在证券交易所自由买卖，只能通过拍卖或协议转让，而上市公司也经常因需要拍卖、转让或抵押限售股份，需要对限售股的价值进行评估。这也是评估师经常遇到的限售股评估业务。
二、证券流动性折价的期权理论
金融资产一般具有流动性，即金融资产具备以一个不蒙受损失的价格变现。如果金融资产的流动性弱，不能及时变现，那么，投资者承担的风险就越大。
流动性问题是金融市场上普遍存在的问题，是资产定价理论的重要研究方向。在国外的证券市场上，普遍存在着证券流动性受约束的情况。如在新股发行上市（IPO）中，机构投资者往往被要求在一定期限内不能卖出其所持有的股票。又如美国证券交易委员会（SEC）Rule 144规定，存信股票（Letter Stock）的持有人在购入该股票后两年内不能将其出售。股权分置改革后的我国上市公司的限售股与上述两种证券具有类似的特性。
缺乏流动性的证券与具有流动性的证券相比，在价格上存在很大的折扣率。如美国1981-1988年期间的69个存信股票的价格，存在平均33.75％的折扣率。在债券市场上，流动性低的债券必须以高于流动性高的债券的收益率出售。如在美国，1991年前的中期国债平均收益率高于短期国债43个基点；在日本，1984-1987年流动性较低的一般债券的平均收益率，要高于其他条件一致的、流动性较高的基准债券50个基点。
Longstaff(1995)研究了流动性定价问题，利用期权定价理论对在一定时期内不可交易的证券的价格上限进行了估算，他的理论分析思路如下：一个在无摩擦的市场连续交易的风险证券，其证券价格P（t）遵循以下随机过程：dP（t）=μP（t）dt+σP(t)dB(t)其中：μ（证券的期望收益率）与σ（证券价格变化的标准差）是常数;B(t)为标准的布朗运动或者正态维纳过程的函数。
在风险呈中性的领域里，μ=r，r为无风险利率，也是常数。若某持有该证券的投资者受销售性限制，即在T时刻以前不允许卖出该证券，则证券对该投资者的价值为PT。假如该投资者拥有完美的市场时机把握能力：在最优时刻t以价格Pt卖出该证券，并将Pt投资于无风险资产，从而最大化其价值。若以MT表示时刻T投资者的报酬，则此时MT=max(0≤t≤T)（er(T-t)Pt）。于是销售性限制使该投资者丧失了一个机会成本，其值为（MT-PT），也就是流动性成本的上限(对于不具有完美市场实际把握能力的投资者来说，相应机会成本要小一些)。这里（MT-PT）类似于一个回望卖出期权(lookback put option) 的损益：该回望卖出期权赋予其持有者以期权生存期内发生的最有利价格 Pt出售资产的权利，期权执行价为MT，到期日为T，到期日的清算价值为（MT-PT）。由于MT≥PT，所以这个回望卖出期权总是正值状态，即max(0,(MT-PT))=MT-PT。
上述分析可以作如下理解：假设某个具有完全把握市场时机能力的投资者持有一种交易受到限制的股票，比如，规定他必须持有T时间后才可以在市场自由卖出。然而，如果没有这样的限制，这个投资者就可以在t时刻股价到达一个高点时卖出。因此，为了要使这个投资者愿意持有这种股票，那就必须将此股票折价卖出，从而使得投资者无论持有哪种股票都获得相同收益。假设投资者投资于可以自由交易的股票，在0到T时间内可以获得收入为MT，如果他投资于限制交易的股票，只能在T时间后自由买卖，获得收入为PT，那么暂时不可交易的股票的价格贴水D(P,T)为（MT-PT）贴现到0时刻的价值，即上式能体现不可流通期限为T年的股票的流动性贴现的上限。
该期权的价值D(P,T)，即MT-PT的现值，可用标准风险中性价值评估技术 (期权定价理论) 进行评估。
(本公式详细推导过程见参考文献[1])
式中：D(P,T)是该期权（即流动性折价）的价值上限。其中，P是投资证券（没有销售限制的正常证券）的当前价格；σ是证券价格变化的标准差；T是限售期；N是累积正态密度函数。
可以看出，D(P,T)是到期时间T及收益波动σ的增函数。即受销售限制的时间越长，期间证券价格波动越大，销售限制的机会成本即流动性折扣的值就越高。在这一模型中，受流通限制的期限是确定的，因此可以事先按照这种规定的限制时间计算流动性折价的数值，从而估计限售证券的价值。
例如：某限售股票的当前流通股市价为10元，其历史价格变化的标准差为0.3，要估算有1年期销售限制的该股票的价值，可以先根据上述公式求出该1年期销售限制的流动性折价为
则该1年期销售限制的股票的当前价值＝10－2.63＝7.37（元）
在实务操作中，需要选取和确定的参数为股票当前的价格P、历史价格变化（或历史收益率变化）的标准差σ和限售期限T。计算中，当前流通股价格P一般选取股权分置改革后、基准日前30日的收盘价的平均值。
历史价格变化（或历史收益率变化）的标准差σ一般选取股权分置改革后至评估基准日期间股票的收盘价进行计算。观察股价的时间间隔通常是固定的（例如每天、每周或每月）
定义如下：n+1 ：观察次数
Si ：第i个时间间隔末的股票价格
τ： 以年为单位的时间间隔的长度
令：
因为Si=Si-1eui，ui为第i个时间间隔后的连续收益（并不是以年为单位）
ui的标准差s的通常估计值为：
其中，是ui的均值。而ui的标准差为，因此变量s是的估计值。从而可以作为σ的估计值。
限售期限T为基准日至到期日的时间。
三、案例计算
深市某上市公司132万股发起人法人股因抵债被法院查封，法院在2007年10月22日委托对其价值进行评估。经查该公司股改实施上市日为2007年8月8日，该132万股限售期为2007年8月8日至2008年8月8日。我们取得了该公司2007年8月8日至2007年10月22日股票收盘价计49个数据，则
2006年10月22日至2007年10月22日，该股票的实际交易日为101天，
则σ值为0.3303。
限售期T=(360-74)/360=0.7944，2007年10月22日前30日均价8.31元/股，则流动性折价
委估限售股市场价值＝8.31－2.13＝6.18元/股。
以上分析计算未考虑少数股权折价和控股权溢价，也未考虑大宗股票一次性出售等的条件限制。
参考文献
[1] Longstaff,Francis A.,1995b,“Placing No-Arbitrage Bounds on the Value of Nonmarketable and Thinly-Traded Securities,”Advances in Futures and Options Research 8, 203-228.
[2] 赵强,苏一纯.企业价值评估中股权缺乏流通性减值折扣的 研究[J].中国资产评估,2002(1).
[3] 王宏宇.期权定价理论在权益资本评估中的应用[J].中国资 产评估,2002(4).
[4] 严绍兵.上市公司国有股流通性折价的研究[J].中国资产评 估,2005(1).
[5] 季珉,赵嵩正.法人股价值评估研究[J].中国资产评估,2005(1).
（作者单位：青岛天和资产评估公司）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文