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这是某市2008年高三调研卷中的最后压轴题
题目 已知函数
（Ⅰ）试判断 在定义域上的单调性；
（Ⅱ）当 时，求证
题目所给的答案如下：
解．（1）
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
反思1 如果没有（Ⅰ）还能证出（Ⅱ）中不等式吗?
很多同学在感叹这个解法的简洁、巧妙的同时. 也在思考：（Ⅱ）中不等式是不依赖于题目中所给的条件而独立存在的，如果想不到构造（Ⅰ）中的函数，（Ⅱ）中不等式怎么证？有没有更一般的思路？分析如下：
法一: 原不等式即为
不妨考虑用，
根据求导法则有
当 时， <0，则 在 上单调减,
法二用x替换b,构建如下函数也可证明
法三原不等式还可化为 ，令 则 ,
于是还可构建函数 进行证明
总结： 以上说明对不等式的证明可通过构建函数，研究函数的一些特性（如单调性，极值，最值等），利用这些特性进行证明. 一般地：若证 .
应用（2007•湖北卷）．已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 ．设两曲线 ， 有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用 表示 ，并求 的最大值；
（II）求证： （ ）．
分析 对（II）中的不等式可直接考虑构建函数
解：（Ⅰ）设 与 在公共点 处的切线相同．
， ，由题意 ， ．
即 由 得： ，或 （舍去）．
即有 ．
令 ，则 ．于是
当 ，即 时， ；当 ，即 时， ．
故 在 为增函数，在 为减于是 在 的最大值为 ．
（Ⅱ）设 ，
则．
故 在 为减函数，在 为增函数，
于是函数 在 上的最小值是 ．
故当 时，有 ，即当 时， ．
反思2还有哪些更好的构造方法？
比较上述三个函数发现：对它们求导，求最小值运算都比较烦琐，而问题（Ⅰ）中的函数研究相对简单，怎么能想到该函数呢？
法四：事实上法三中不等式 等价于 于是构建并研究函数 也就在情理之中.
法五：还有没有更简洁的方法呢？因此要证明原不等式，只要证明 ，用 替换 ， . .显然问题简洁多了.
证明 设 ，
因为 所以 上单调增.
总结：这说明构建的函数并不唯一，但在具体解题中，运算过程会有很大的差异，这就要求能合理的选取函数，或者对所选取的函数进行恰当的变形. 当然孰优孰劣，要有一定的预见性，不能进行到很繁琐时再回头.
应用：（2007•安徽卷）设 ， ．
（Ⅰ）令 ，讨论 在 内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当 时，恒有 ．
现分析（Ⅱ）（暂不考虑与（Ⅰ）问的联系）
可能首先想到构建函数 根据求导法则有 ，导函数中含有 和参数 ，求其单调性和最值还比较麻烦,还要再构建函数 ，继续研究.
但如果我们注意到在 ， 的前提下： 恒有 ．与等价,哪是不是就构建函数 呢？根据求导法则有 ，还很难求其单调性 .事实上 还等价与 ，于是可考虑构建函数 .
再看（2007•山东卷）设函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，判断函数 在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数 的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数 ，不等式 都成立．
分析：一种方法是直接用 替换 ，构建函数 另一种方法是用 替换 ，构建函数, .显然后一种方法较简单.
解：（Ⅰ）（Ⅱ）略
（Ⅲ）令函数 ， 则 ．
所以当 时， ，所以函数 在 上单调递增，又 ．
时，恒有 ，即 恒成立．
故当 时，有 ．
对任意正整数 取 ，则有 ．
所以结论成立．
反思4 本题还能给我们什么启示
该不等式是二元不等式，如何构建函数证明二元不等式呢？可以考虑试用如下方法
总结：1将其中一个字母看作常数，另一个看作变量，构建函数，如法一，法二.
2将不等式整理变形，构建一元函数，如法三.
应用（2007•辽宁卷）．已知函数 ， ．
（I）证明：当 时， 在 上是增函数；
（II）对于给定的闭区间 ，试说明存在实数 ，当 时， 在闭区间 上是减函数；
（III）证明： ．
分析：对于问题（III）要证的不等式即为 那么在构建的函数中把 看作变量，还是把 看作变量呢，显然把 看作变量问题要简洁的多.
再看（2007•浙江卷）设 ，对任意实数 ，记 ．
（I）求函数 的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当 时，对任意正实数 成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数 ，使得 对任意正实数 成立．
仅证明（II）中的（ⅰ）
证明：（i）方法一：令 ，则 ，
当 时，由 ，得 ，当 时， ，
所以 在 内的最小值是 ．
故当 时， 对任意正实数 成立．
方法二：对任意固定的 ，令 ，则
，由 ，得 ．
当 时， ．当 时， ，
所以当 时， 取得最大值 ．
因此当 时， 对任意正实数 成立．
反思4 这个不等式的源头在哪？
怎么会想到存在这样一个不等式，它的几何背景是什么？事实上：
不等式左边可以看作 上任意两点连线的斜率，由图象不难看出：在 上存在 有
而这实质上是高等数学中的中值定理
又由不等式 得
一点体会：在解题教学中，解题后 的反思不单是简单的回顾或检验，而应引导学生仔细分析问题的结构特点，总结，清理，概括思路，进而在新的问题中加以应用，达到举一反三. 老师可以站在更高的角度指导学生理解教材、认识本质总结规律.
题目 已知函数
（Ⅰ）试判断 在定义域上的单调性；
（Ⅱ）当 时，求证
题目所给的答案如下：
解．（1）
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
反思1 如果没有（Ⅰ）还能证出（Ⅱ）中不等式吗?
很多同学在感叹这个解法的简洁、巧妙的同时. 也在思考：（Ⅱ）中不等式是不依赖于题目中所给的条件而独立存在的，如果想不到构造（Ⅰ）中的函数，（Ⅱ）中不等式怎么证？有没有更一般的思路？分析如下：
法一: 原不等式即为
不妨考虑用，
根据求导法则有
当 时， <0，则 在 上单调减,
法二用x替换b,构建如下函数也可证明
法三原不等式还可化为 ，令 则 ,
于是还可构建函数 进行证明
总结： 以上说明对不等式的证明可通过构建函数，研究函数的一些特性（如单调性，极值，最值等），利用这些特性进行证明. 一般地：若证 .
应用（2007•湖北卷）．已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 ．设两曲线 ， 有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用 表示 ，并求 的最大值；
（II）求证： （ ）．
分析 对（II）中的不等式可直接考虑构建函数
解：（Ⅰ）设 与 在公共点 处的切线相同．
， ，由题意 ， ．
即 由 得： ，或 （舍去）．
即有 ．
令 ，则 ．于是
当 ，即 时， ；当 ，即 时， ．
故 在 为增函数，在 为减于是 在 的最大值为 ．
（Ⅱ）设 ，
则．
故 在 为减函数，在 为增函数，
于是函数 在 上的最小值是 ．
故当 时，有 ，即当 时， ．
反思2还有哪些更好的构造方法？
比较上述三个函数发现：对它们求导，求最小值运算都比较烦琐，而问题（Ⅰ）中的函数研究相对简单，怎么能想到该函数呢？
法四：事实上法三中不等式 等价于 于是构建并研究函数 也就在情理之中.
法五：还有没有更简洁的方法呢？因此要证明原不等式，只要证明 ，用 替换 ， . .显然问题简洁多了.
证明 设 ，
因为 所以 上单调增.
总结：这说明构建的函数并不唯一，但在具体解题中，运算过程会有很大的差异，这就要求能合理的选取函数，或者对所选取的函数进行恰当的变形. 当然孰优孰劣，要有一定的预见性，不能进行到很繁琐时再回头.
应用：（2007•安徽卷）设 ， ．
（Ⅰ）令 ，讨论 在 内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当 时，恒有 ．
现分析（Ⅱ）（暂不考虑与（Ⅰ）问的联系）
可能首先想到构建函数 根据求导法则有 ，导函数中含有 和参数 ，求其单调性和最值还比较麻烦,还要再构建函数 ，继续研究.
但如果我们注意到在 ， 的前提下： 恒有 ．与等价,哪是不是就构建函数 呢？根据求导法则有 ，还很难求其单调性 .事实上 还等价与 ，于是可考虑构建函数 .
再看（2007•山东卷）设函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，判断函数 在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数 的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数 ，不等式 都成立．
分析：一种方法是直接用 替换 ，构建函数 另一种方法是用 替换 ，构建函数, .显然后一种方法较简单.
解：（Ⅰ）（Ⅱ）略
（Ⅲ）令函数 ， 则 ．
所以当 时， ，所以函数 在 上单调递增，又 ．
时，恒有 ，即 恒成立．
故当 时，有 ．
对任意正整数 取 ，则有 ．
所以结论成立．
反思4 本题还能给我们什么启示
该不等式是二元不等式，如何构建函数证明二元不等式呢？可以考虑试用如下方法
总结：1将其中一个字母看作常数，另一个看作变量，构建函数，如法一，法二.
2将不等式整理变形，构建一元函数，如法三.
应用（2007•辽宁卷）．已知函数 ， ．
（I）证明：当 时， 在 上是增函数；
（II）对于给定的闭区间 ，试说明存在实数 ，当 时， 在闭区间 上是减函数；
（III）证明： ．
分析：对于问题（III）要证的不等式即为 那么在构建的函数中把 看作变量，还是把 看作变量呢，显然把 看作变量问题要简洁的多.
再看（2007•浙江卷）设 ，对任意实数 ，记 ．
（I）求函数 的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当 时，对任意正实数 成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数 ，使得 对任意正实数 成立．
仅证明（II）中的（ⅰ）
证明：（i）方法一：令 ，则 ，
当 时，由 ，得 ，当 时， ，
所以 在 内的最小值是 ．
故当 时， 对任意正实数 成立．
方法二：对任意固定的 ，令 ，则
，由 ，得 ．
当 时， ．当 时， ，
所以当 时， 取得最大值 ．
因此当 时， 对任意正实数 成立．
反思4 这个不等式的源头在哪？
怎么会想到存在这样一个不等式，它的几何背景是什么？事实上：
不等式左边可以看作 上任意两点连线的斜率，由图象不难看出：在 上存在 有
而这实质上是高等数学中的中值定理
又由不等式 得
一点体会：在解题教学中，解题后 的反思不单是简单的回顾或检验，而应引导学生仔细分析问题的结构特点，总结，清理，概括思路，进而在新的问题中加以应用，达到举一反三. 老师可以站在更高的角度指导学生理解教材、认识本质总结规律.