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在新课程改革的理念中，数学教学要体现数学探究，要求在教学的过程中不仅仅要将有用的基本知识和基本技能教给学生，更重要的是要让不同层次的学生能够根据自己的兴趣和能力寻求不同的发展，并让学生在自己的努力下体验到数学的奥妙. 在新课程改革的要求下，教师不但要对学生“授之以鱼”，而且要对学生“授之以渔”.
作为新课程改革下的教师，不能只把目光锁定在课本仅有的东西上，而是要冲破原有的知识框架的局限，要不断地学习以提升自己，学会对原有的知识进行探究性学习，要留心平时所见到的题目. 本文就是由一个不等式题目所引发出来的，经过本人的思考、深化、延拓，将题目进行了初步的数学探究.
例1 用２００７和２００８这两个数构成以下数字：20072007，20072008，20082007，20082008，请结合所学过的数学知识判断这些数的大小关系.
分析 以上四个数字可以构成六组数，其中有五组数的大小关系可以根据指数函数的性质很快比较出来：２００７２００７＜２００７２００８，２００７２００７＜ ２００８２００８，２００７２００７＜ ２００８２００７，２００７２００８＜２００８２００８，２００８２００７＜２００８２００８ ，但是还有一组数２００７２００８和２００８２００７无法直接判断出孰大孰小．
由于中考允许使用计算器，所以现在高中的学生几乎每个人都有计算器. 于是，我就到教室向学生借了个计算器，谁知把数字输入计算器却发现计算器出现错误，也许是数字太大的缘故吧. 毕竟计算器不是万能的，既然使用计算器此路不通，那也只好想办法另觅出路了.
难道这两个数真的无法比较大小吗？不可能的，因为实数是与数轴上的点一一对应的，所以任何两个数肯定是有大小关系的. 既然不能用计算器直接计算，那么能不能对数进行一些形式上的变化再来用计算器计算呢？经过本人进行初步探索，对数字作形式上的变化有以下几种思路：
思路１ 比较２００７２００８和２００８２００７的大小关系可以转化为比较这两个数的商与 １的大小关系，即比较 与１的大小关系. 由于=2007 ×，且 与1的大小关系不能直接得出，所以将问题进一步转化为比较 2007与２００７的大小关系.
思路２ 对２００７２００8和２００８２００７这两个数分别取自然对数，则可以把问题转化为比较２００８ｌｎ２００７和２００７１ｎ２００８的大小关系.
思路３ 在思路２的基础上，给２００８１ｎ２００7和２００７１ｎ２００８组成的不等式两边同时乘上，不等号方向不改变.此时，又可以把问题转化为比较 和 的大小关系.
思路４ 只要对２００７２００８和２００８２００７这两个数进行开２００７ × ２００８次方的运算，则可以把问题转化为比较 和 的大小关系.
以上四种思路中经过转化后的数字均可用计算器直接算出大小关系，得到结果：２００８２００７ ＜ ２００７２００８.
所以，原题的答案为：２００７２００７＜２００８２００7＜20072008 ＜ ２００８２００８.
数学探究是新课程改革下高中数学课程中引入的一种新的学习方式，要求数学的学习不仅是从个别的、简单的、特殊的事例中获得结论，更重要的是通过特例的经验对结论进行归纳和猜想，把结论拓展为更具有一般性、更深入的探究结果，并通过严密的数学论证加以肯定.
前面比较的一组数是具体的，能不能把他的结论一般化呢？
猜想１ （ｎ ＋ １）ｎ ＜ ｎｎ ＋ １ （ｎ ∈ Ｎ＊）．
这个猜想是否成立呢？对猜想进行验算：当ｎ ＝ １时，21 ＜ 12不成立；当ｎ ＝ ２时，３２ ＜ ２３也不成立；当ｎ ＝ ３，４，５时，４３ ＜ ３４，５４ ＜ ４５，６５ ＜ ５６均成立. 显然， 猜想1应该在条件上稍加修改，改为：（n + 1）n ＜ nn + 1（n∈N*且n≥3）.这个猜想成立与否不能够由简单的验算来说明，而需要通过严密的数学证明，以下是对猜想1证明的几种思路：
思路1 对于不等式的证明，首先想到的是数学归纳法.当n = 3时，不等式显然成立；假设当n = k（ｋ≥３）时（k + 1）k ＜ kk+1成立，则只需证当n=k+1时（k+2）k+1＜（ｋ＋１）k+2成立即可.经过计算发现，由假设无法直接得到证明目标，借鉴前面证明过程中所采用的对数据进行变形的方法，得到以下证明过程：
证明：（1）当n = 3时，43 ＜ 34成立；
（2） 假设当n = k(k≥3)时，（k + 1）k＜kk+1，即＜ 1成立；
（3） 当n = k + 1时，只需证＜ 1即可.
而 ＜ 1，所以可证＜ .
而 =× =
k + 1 ＜ 1显然成立，
所以 ＜＜ 1，即（k + 2）k + 1 ＜ (k + 1)k + 2成立，故（n + 1）n ＜ nn+1 （n∈N *且n ≥ 3）得证.
思路2 对不等式（n+1）n＜nn+1的左右两边同时取自然对数得：
nln(n + 1) ＜ (n + 1)lnn ?圳 ＜（其中n∈N*且n ≥3），由此构造函数f（ｘ）= .
证明 设函数ｆ（ｘ）= ,则对ｆ（ｘ）求导数得：
ｆ ′（ｘ）＝ - ln x + =.
令ｆ ′（ｘ） ＝0，得= 0?圯x = e.
由此可知：当x≥e时，ｆ ′（ｘ） ≤ ０,函数ｆ （ｘ）为单调递减函数，
所以当n ≥ 3≥e时，f（ｎ ＋ １) ＜ ｆ（ｎ），
即 ＜ .
故（n + 1）n＜nn+1（n∈N*且n ≥3）得证.
对同一个题目，从不同的方位、不同的角度去进行分析和理解会挖掘到题目中不同的隐含条件，找到不同的解题思路.
证明了猜想1之后，问题并没有结束，我们可以对前面的结论进行更加大胆的猜想，把问题的条件更加一般化.
猜想２ ａｂ ＜ ｂａ（ａ ＞ ｂ ＞ ０）.
由猜想1的证明思路2可知：当x≥e时，函数ｆ（ｘ）= 为单调递减函数. 而ａｂ ＜ ｂａ ?圳blna ＜ a ln b?圳 ＜ ，所以当a ＞ b ≥e时，ａｂ ＜ ｂａ成立. 因此猜想2可改为：ａｂ ＜ ｂａ（a ＞ b ≥ e）.
通过对前面的不等式问题的探究性学习，让我们拓宽了思路、提高了能力、开阔了视野. 学会对问题进行探究性学习，学会从解一道题过渡到解一类题，这就好比手中拥有了一把多功能钥匙.
数学的学习是无止境的，同时数学的学习也是其乐无穷的，因为很多数学问题都源于生活并服务于现实生活. 数学问题并非全部都是枯燥无味的，它们可以蕴涵在生活中的有趣的小故事里，使数学问题变得形象生动起来. 下面我们就从一个小故事来引出不等式（n + 1）n ＜ nn+1（n∈N *且n ≥ 3）的一个拓展结论.
从前，村里有一个贪婪的地主，他把粮食借给村民的年利息是100%. 也就是说，如果他把1斤米借出去，那么一年后就可以收回1+1×100%=2斤米.有一天，地主躺在太师椅上一边舒服地抽着烟一边猜想：如果我一年结两次账，每期利自为 ，这样的话一年后我收回的米会不会更加多呢？于是，他赶紧把账房先生找来一算，结果还真是不出所料，一年结两次帐的话一年后将得到1+ 2=2.25斤米，比一年结一次账得到的要多. 这时候地主又想，如果一年结3次账，每期利息为 的话，那么一年可以收回多少斤米呢？经过账房先生计算，一年结3次账的话一年后可以收回1+ 3≈2.37斤米，比一年结两次账还要多呢. 这下可把地主高兴坏了，他美滋滋地想：如果我每年结帐的次数越多，一年后可以收回的米就越多，那么我只要用1斤米作本，一年后我就可以拥有一座米山，这样的话就发大财咯！
请问：这位地主的贪婪想法会成为现实吗？
结合数学知识进行分析可知：假设这位地主每年结n次帐，则一年后可以收回1+ n斤米. 经过验算发现，当n=1，2，3时，1+ 1= 2 ，1+ 2=2.25，1+ 3≈2.37.此时，我们可以猜想：如果n的值取得无穷大的话，那么1+ n的值会不会无穷大呢？这就是极限的思想，对1+ n求极限得： 1+ n= e，由此可知：1+ n ＜ e（其中e≈2.718）.所以这个地主的贪婪想法是不可能变成现实的.
在新课程改革的号召下，高考的目标已经不是单纯的知识考核了，而是转型为知识与能力相结合的综合考核.作为新课程改革下的教师，不仅是知识的传授者，更是学生发展的引导者；不仅要培养学生对基本知识的理解和对基本技能的应用，更重要的是培养学生的自主创新能力. 所以教师要想成为一个成功的教育者就必须不断学习进取，使自己成为一个具有探究、创新精神和实践能力的新型教师，以适应新课程改革的要求.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
作为新课程改革下的教师，不能只把目光锁定在课本仅有的东西上，而是要冲破原有的知识框架的局限，要不断地学习以提升自己，学会对原有的知识进行探究性学习，要留心平时所见到的题目. 本文就是由一个不等式题目所引发出来的，经过本人的思考、深化、延拓，将题目进行了初步的数学探究.
例1 用２００７和２００８这两个数构成以下数字：20072007，20072008，20082007，20082008，请结合所学过的数学知识判断这些数的大小关系.
分析 以上四个数字可以构成六组数，其中有五组数的大小关系可以根据指数函数的性质很快比较出来：２００７２００７＜２００７２００８，２００７２００７＜ ２００８２００８，２００７２００７＜ ２００８２００７，２００７２００８＜２００８２００８，２００８２００７＜２００８２００８ ，但是还有一组数２００７２００８和２００８２００７无法直接判断出孰大孰小．
由于中考允许使用计算器，所以现在高中的学生几乎每个人都有计算器. 于是，我就到教室向学生借了个计算器，谁知把数字输入计算器却发现计算器出现错误，也许是数字太大的缘故吧. 毕竟计算器不是万能的，既然使用计算器此路不通，那也只好想办法另觅出路了.
难道这两个数真的无法比较大小吗？不可能的，因为实数是与数轴上的点一一对应的，所以任何两个数肯定是有大小关系的. 既然不能用计算器直接计算，那么能不能对数进行一些形式上的变化再来用计算器计算呢？经过本人进行初步探索，对数字作形式上的变化有以下几种思路：
思路１ 比较２００７２００８和２００８２００７的大小关系可以转化为比较这两个数的商与 １的大小关系，即比较 与１的大小关系. 由于=2007 ×，且 与1的大小关系不能直接得出，所以将问题进一步转化为比较 2007与２００７的大小关系.
思路２ 对２００７２００8和２００８２００７这两个数分别取自然对数，则可以把问题转化为比较２００８ｌｎ２００７和２００７１ｎ２００８的大小关系.
思路３ 在思路２的基础上，给２００８１ｎ２００7和２００７１ｎ２００８组成的不等式两边同时乘上，不等号方向不改变.此时，又可以把问题转化为比较 和 的大小关系.
思路４ 只要对２００７２００８和２００８２００７这两个数进行开２００７ × ２００８次方的运算，则可以把问题转化为比较 和 的大小关系.
以上四种思路中经过转化后的数字均可用计算器直接算出大小关系，得到结果：２００８２００７ ＜ ２００７２００８.
所以，原题的答案为：２００７２００７＜２００８２００7＜20072008 ＜ ２００８２００８.
数学探究是新课程改革下高中数学课程中引入的一种新的学习方式，要求数学的学习不仅是从个别的、简单的、特殊的事例中获得结论，更重要的是通过特例的经验对结论进行归纳和猜想，把结论拓展为更具有一般性、更深入的探究结果，并通过严密的数学论证加以肯定.
前面比较的一组数是具体的，能不能把他的结论一般化呢？
猜想１ （ｎ ＋ １）ｎ ＜ ｎｎ ＋ １ （ｎ ∈ Ｎ＊）．
这个猜想是否成立呢？对猜想进行验算：当ｎ ＝ １时，21 ＜ 12不成立；当ｎ ＝ ２时，３２ ＜ ２３也不成立；当ｎ ＝ ３，４，５时，４３ ＜ ３４，５４ ＜ ４５，６５ ＜ ５６均成立. 显然， 猜想1应该在条件上稍加修改，改为：（n + 1）n ＜ nn + 1（n∈N*且n≥3）.这个猜想成立与否不能够由简单的验算来说明，而需要通过严密的数学证明，以下是对猜想1证明的几种思路：
思路1 对于不等式的证明，首先想到的是数学归纳法.当n = 3时，不等式显然成立；假设当n = k（ｋ≥３）时（k + 1）k ＜ kk+1成立，则只需证当n=k+1时（k+2）k+1＜（ｋ＋１）k+2成立即可.经过计算发现，由假设无法直接得到证明目标，借鉴前面证明过程中所采用的对数据进行变形的方法，得到以下证明过程：
证明：（1）当n = 3时，43 ＜ 34成立；
（2） 假设当n = k(k≥3)时，（k + 1）k＜kk+1，即＜ 1成立；
（3） 当n = k + 1时，只需证＜ 1即可.
而 ＜ 1，所以可证＜ .
而 =× =
k + 1 ＜ 1显然成立，
所以 ＜＜ 1，即（k + 2）k + 1 ＜ (k + 1)k + 2成立，故（n + 1）n ＜ nn+1 （n∈N *且n ≥ 3）得证.
思路2 对不等式（n+1）n＜nn+1的左右两边同时取自然对数得：
nln(n + 1) ＜ (n + 1)lnn ?圳 ＜（其中n∈N*且n ≥3），由此构造函数f（ｘ）= .
证明 设函数ｆ（ｘ）= ,则对ｆ（ｘ）求导数得：
ｆ ′（ｘ）＝ - ln x + =.
令ｆ ′（ｘ） ＝0，得= 0?圯x = e.
由此可知：当x≥e时，ｆ ′（ｘ） ≤ ０,函数ｆ （ｘ）为单调递减函数，
所以当n ≥ 3≥e时，f（ｎ ＋ １) ＜ ｆ（ｎ），
即 ＜ .
故（n + 1）n＜nn+1（n∈N*且n ≥3）得证.
对同一个题目，从不同的方位、不同的角度去进行分析和理解会挖掘到题目中不同的隐含条件，找到不同的解题思路.
证明了猜想1之后，问题并没有结束，我们可以对前面的结论进行更加大胆的猜想，把问题的条件更加一般化.
猜想２ ａｂ ＜ ｂａ（ａ ＞ ｂ ＞ ０）.
由猜想1的证明思路2可知：当x≥e时，函数ｆ（ｘ）= 为单调递减函数. 而ａｂ ＜ ｂａ ?圳blna ＜ a ln b?圳 ＜ ，所以当a ＞ b ≥e时，ａｂ ＜ ｂａ成立. 因此猜想2可改为：ａｂ ＜ ｂａ（a ＞ b ≥ e）.
通过对前面的不等式问题的探究性学习，让我们拓宽了思路、提高了能力、开阔了视野. 学会对问题进行探究性学习，学会从解一道题过渡到解一类题，这就好比手中拥有了一把多功能钥匙.
数学的学习是无止境的，同时数学的学习也是其乐无穷的，因为很多数学问题都源于生活并服务于现实生活. 数学问题并非全部都是枯燥无味的，它们可以蕴涵在生活中的有趣的小故事里，使数学问题变得形象生动起来. 下面我们就从一个小故事来引出不等式（n + 1）n ＜ nn+1（n∈N *且n ≥ 3）的一个拓展结论.
从前，村里有一个贪婪的地主，他把粮食借给村民的年利息是100%. 也就是说，如果他把1斤米借出去，那么一年后就可以收回1+1×100%=2斤米.有一天，地主躺在太师椅上一边舒服地抽着烟一边猜想：如果我一年结两次账，每期利自为 ，这样的话一年后我收回的米会不会更加多呢？于是，他赶紧把账房先生找来一算，结果还真是不出所料，一年结两次帐的话一年后将得到1+ 2=2.25斤米，比一年结一次账得到的要多. 这时候地主又想，如果一年结3次账，每期利息为 的话，那么一年可以收回多少斤米呢？经过账房先生计算，一年结3次账的话一年后可以收回1+ 3≈2.37斤米，比一年结两次账还要多呢. 这下可把地主高兴坏了，他美滋滋地想：如果我每年结帐的次数越多，一年后可以收回的米就越多，那么我只要用1斤米作本，一年后我就可以拥有一座米山，这样的话就发大财咯！
请问：这位地主的贪婪想法会成为现实吗？
结合数学知识进行分析可知：假设这位地主每年结n次帐，则一年后可以收回1+ n斤米. 经过验算发现，当n=1，2，3时，1+ 1= 2 ，1+ 2=2.25，1+ 3≈2.37.此时，我们可以猜想：如果n的值取得无穷大的话，那么1+ n的值会不会无穷大呢？这就是极限的思想，对1+ n求极限得： 1+ n= e，由此可知：1+ n ＜ e（其中e≈2.718）.所以这个地主的贪婪想法是不可能变成现实的.
在新课程改革的号召下，高考的目标已经不是单纯的知识考核了，而是转型为知识与能力相结合的综合考核.作为新课程改革下的教师，不仅是知识的传授者，更是学生发展的引导者；不仅要培养学生对基本知识的理解和对基本技能的应用，更重要的是培养学生的自主创新能力. 所以教师要想成为一个成功的教育者就必须不断学习进取，使自己成为一个具有探究、创新精神和实践能力的新型教师，以适应新课程改革的要求.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”