论文部分内容阅读
摘要：巧妙设问，以问促教，以问促思，能够盘活僵化的数学课堂，促进有效教学的生成，激发学生思维的积极性。本文就2015年安徽省中考数学试题中一道压轴题入手，不断启发追问，开阔学生思路，发展学生思维，使学生在不断思考和实践解题过程中逐渐认识数学问题本质。
关键词：初中数学 压轴题 以问促教 以问促思
一、试题呈现
如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，
过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC。
（1）求证：AD=BC。
（2）求证：△AGD∽△EGF。
（3）若AD、BC所在的直線互相垂直，求AD[]EF的值。
二、题型立意分析
本题属于几何综合题。在四边形对边相等的基础上，巧妙地将中垂线、全等相似结合在一起，图形结构简洁美观，充分体现了几何图形灵活多变的魅力。三个问题的设置体现了由易到难、环环相扣、层层递进的特征。在解题中引导学生在动手画图、观察、思考过程中探究图形的本质特征，感受问题之间的紧密联系。本题还具有中考压轴题起点低、落点高、探究性强、区分度高等特点，考查学生解决数学问题的综合能力。
三、教学活动分析
（一）教学片段1：多维角度审题，重视图形生长过程
教师先出示题目的题干部分。
师：请同学们认真阅读题干，你认为题干中哪些语句比较关键？
生1：点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G。另外，附加∠AGD=∠BGC。
师：请大家在四边形ABCD的基础之上按照题干要求将图完整地画出来，说说你对题意的理解。
生2：线段GE、GF是线段AB、CD的中垂线，故GC=GD，GA=GB，△GDC和△GAB是共顶点的等腰三角形，联合∠AGD=∠BGC，很容易得出△GAD与△GBC全等。
生3：由于∠AGD=∠BGC，观察图形可得出∠DGC=∠AGB，所以△GDC和△GAB是顶角相等的等腰三角形，所以它们必定相似。
师：大家对比画图前后的审题结果，你们能再谈谈自己对这道题的思考吗？
【教学分析】
学生解答压轴题困难之一在于审题时抓不住问题的核心，尤其是容易忽略隐藏条件，因而导致难以找到突破口而一筹莫展。在刚才的教学设计中，学生通过自己画图，发现题目图形是四边形上下两条对边的中垂线相交形成两个轴对称的等腰三角形。再附加两边角相等形成全等图形特征。初中生习惯于仅仅看题、观察图形，而不愿意动手操作，但是复杂图形所蕴含的信息多且隐蔽，学生不容易捕捉到关键细节特征。审题环节的教学设计主要目的是引导学生关注图形生长过程，找出图形的本质特征，明确图形中存在的数量关系和位置关系，为解题指引方向。数学家波利亚说过“审好题就是成功解题一半”。培养学生良好的审题习惯，无疑是提升其数学品质的一个重要方面。
（二）教学片段2：循序渐进，深挖题意
观察题目第二个证明目标，求证：△AGD∽△EGF。
师：证明三角形相似有哪些方法？结合以上结论，试试找出自己的解决方法。
生4：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似。
师：很好，结合本题条件特征，大家怎么解决问题呢？
生5：△GDC和△GAB是共顶点等顶角的等腰三角形，所以它们相似。GE、GF分别是底边CD、AB的中线，由等腰三角形三线合一可得GE、GF分别平分底边，平分顶角。
∠DGC=∠AGB∠DGF=∠AGE∠AGD =∠BGC。
再利用相似三角形对应边上的高之比等于对应边之比，可得
师：很好，大家利用等腰三角形对应边的比等于对应高的比，再巧妙利用比的性质转化成
△AGD和△EGF对应边的比。大家再思考和拓展一下，如果仅仅将题目中的中点E、F条件改变一下，△AGD∽△EGF仍然成立，你会怎么改编？
生：……
师：如果点E、F分别分CD、AB的比相等时（如图2），△AGD∽△EGF仍成立吗？
【教学分析】
证明二次相似对于学生是个难点，第二问的设置是常见的二次相似模型。第二问中我们应用了二次相似，利用相似三角形对应边之比等于对应边的对应高（中线、角平分线）之比，再利用比的性质转化。在沪科版课本习题设置中，相似三角形对应高（中线、角平分线）的比等于对应边之比的练习、强化不是很多，通常是一次相似，再利用相似比转化计算。为了突出难点，教学设计了拓展设问，强化方法应用。
师：请大家将自己的思维过程列一个线索图。
学生整合自己的思路，画出自己的思维线索图。
老师总结：本题第一问起点低，我们采用顺向思维由因索果利用全等解决。第二问我们从结论出发，寻找条件，结合已有条件，应用综合法，两用二次相似。我们可以列出如下思维线索图：
【教学分析】
做十道题不如透彻解决一道题，学生做题速度快，不善于深入思考，仅仅为做题而做题，这样会失去学习数学的核心力。而压轴题的目的在于考查学生的数学核心素养和解决问题的思想方法。本题第一问虽然简单，但是它是一个入口，从这里进去之后，学生能找到更多的相关要素，并且第一题结论是第二问、第三问的条件。压轴题往往通过设问为后续问题搭梯子。让学生对比两题不同的解决策略，要求学生列出思维线索图，目的在于引导学生有层次、有逻辑地思考问题和解决问题，促进学生思维深度发展，提高学生的数学学习品质。鼓励学生改编题目条件，拓宽学生思维，不被定式约束。解题教学中教师要引导学生走进一道题，对问题的本质进行研究。建构几何模型，形成自己的数学思想方法。 （三）教学片段3：巧构辅助线，一题多解
师：第三问中的条件AD、BC所在的直线互相垂直有什么作用？AD/EF的值与第二问两三角形相似有什么关联？
生6：延长线段AD、BC相交于点H（如图3），这样相互垂直条件更加直观，可以观察到△HAB是直角三角形。由∠HAB+∠HBA=90°
∠GAB+∠GBA=90°，得到△GAB为等腰直角三角形。
师：还有其他途径吗？
生：……
师：题目条件中AD與BC所在直线垂直，大家延长线段AD与BC相交，这样形成的直角更直观。类比这种方法，大家还能想出其他的想法吗？
大家积极思索、讨论。
生8：（如图4）构造平行线，过点D作HD∥BC，连接HD、BH、AH，得HD⊥AD。
生9：（如图5）过点E、F分别作EM∥AD，FM∥BC，得△EFM为直角三角形。
生10 ：（如图6）过点A作AQ∥BC交CE延长线于点Q，得AD⊥AQ。
同学们思维发散开了，展示了很多不同构造辅助线的方法（如图7）。
师：很好，大家利用平行线结合中位线、全等能从不同的角度去解决第三问。由△AGD≌△BGC联系旋转的知识，大家再来观察一下图形之间的关联。
生11：△BGC可以看成是△AGD旋转一定的角度得到的（如图8），旋转中心为点G，对应边分别是AG与BG、GD与GC、AD与BC。故AD与BC的夹角是旋转角，当AD与BC所在直线夹角为90°时，则∠AGB=∠DGC=90°，因而△GDC、△GAB为等腰直角三角形，再应用相似比得出结果。
师：那如果AD与BC所在直线夹角不是90°，而是60°，120°，大家能算出AD与EF的比值吗？如果它们的夹角用一个字母α表示，那结果怎么表示？
学生回答归纳得出EF与AD的比值可以用三角函数表示。
【教学分析】
学生独立面对几何综合题时往往花费很长时间而不得要领，但是老师一点拨，他们就豁然开朗，然后就是懊恼不已，后悔自己没想到关键点。再然后是不断刷题，沉迷于题海，辛苦不堪，但收获甚微。是什么导致这样的现象出现？我想还是教师过多地停留在教授“知识”的层面上，解题教学过于泛泛而谈，只讲解答案，就题讲题，就像猪八戒吃人参果，囫囵吞枣，不知其味。因而对于解题教学，教师要带领学生走进一道题， 引导学生从多种视角审题，不仅关注关键语句，还要启发学生从图形的生长过程、所求结论综合分析和探究题目来求解。更重要的是要引导学生走出一道题，组织学生对问题的本质进行研究，类比自己做过相似的习题或者相似的解题方法，追根溯源更深层次地探究多种解法。只有教师引导学生开动大脑，不断总结归纳，学生才会形成自己的数学思想方法。这样，学生的数学思维和素养就能得到提高。
（四）教学片段4：变式拓展，提升数学素养
师：大家在刚才的学习中，很有自己的思想，老师为你们点赞。带着刚才的经验，大家再次观察图形，想一想，我们可以从哪些角度看待这个综合图形的形成过程？应用本题解题指导思想，你能解决类似问题吗？
【学生回答汇总】
可以看成是对边相等的四边形中，作不相等对边的中垂线形成的两个共顶点、等顶角的两个等腰三角形;
可以看成共顶点的两个等腰三角形旋转得到的图形;
可以看成是两侧的三角形旋转得到的图形。
【变式拓展习题】
（1）已知：如图9所示，△AED和△ABC是等腰直角三角形，点M、N、Q分别是DE、BC、BD的中点，
求证：△QMN是等腰直角三角形。
（2）如图10所示，在四边形ABCD中，AD=BC，
AD与BC夹角为α，
求FE/AD。
【教师感悟】
培养学生数学思维深度和敏捷性，提升学生的数学素养，不能成为口号。学生必须从不断的实践中提升自己的数学素养。数学教学是思维活动的教学，而中考压轴题具有起点低、落点高、开放性强、综合度高的特点。初三数学教学以压轴题为载体，不断启发追问以开阔学生思路，学生思维才能得以发展。在压轴题教学中，老师要捕捉到学生真实的思维活动，发现学生思维模糊区，实时跟进学生思维，合情合理地进行启发式追问，使学生在不断思考和实践解题过程中逐渐认识数学问题本质。
关键词：初中数学 压轴题 以问促教 以问促思
一、试题呈现
如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，
过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC。
（1）求证：AD=BC。
（2）求证：△AGD∽△EGF。
（3）若AD、BC所在的直線互相垂直，求AD[]EF的值。
二、题型立意分析
本题属于几何综合题。在四边形对边相等的基础上，巧妙地将中垂线、全等相似结合在一起，图形结构简洁美观，充分体现了几何图形灵活多变的魅力。三个问题的设置体现了由易到难、环环相扣、层层递进的特征。在解题中引导学生在动手画图、观察、思考过程中探究图形的本质特征，感受问题之间的紧密联系。本题还具有中考压轴题起点低、落点高、探究性强、区分度高等特点，考查学生解决数学问题的综合能力。
三、教学活动分析
（一）教学片段1：多维角度审题，重视图形生长过程
教师先出示题目的题干部分。
师：请同学们认真阅读题干，你认为题干中哪些语句比较关键？
生1：点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G。另外，附加∠AGD=∠BGC。
师：请大家在四边形ABCD的基础之上按照题干要求将图完整地画出来，说说你对题意的理解。
生2：线段GE、GF是线段AB、CD的中垂线，故GC=GD，GA=GB，△GDC和△GAB是共顶点的等腰三角形，联合∠AGD=∠BGC，很容易得出△GAD与△GBC全等。
生3：由于∠AGD=∠BGC，观察图形可得出∠DGC=∠AGB，所以△GDC和△GAB是顶角相等的等腰三角形，所以它们必定相似。
师：大家对比画图前后的审题结果，你们能再谈谈自己对这道题的思考吗？
【教学分析】
学生解答压轴题困难之一在于审题时抓不住问题的核心，尤其是容易忽略隐藏条件，因而导致难以找到突破口而一筹莫展。在刚才的教学设计中，学生通过自己画图，发现题目图形是四边形上下两条对边的中垂线相交形成两个轴对称的等腰三角形。再附加两边角相等形成全等图形特征。初中生习惯于仅仅看题、观察图形，而不愿意动手操作，但是复杂图形所蕴含的信息多且隐蔽，学生不容易捕捉到关键细节特征。审题环节的教学设计主要目的是引导学生关注图形生长过程，找出图形的本质特征，明确图形中存在的数量关系和位置关系，为解题指引方向。数学家波利亚说过“审好题就是成功解题一半”。培养学生良好的审题习惯，无疑是提升其数学品质的一个重要方面。
（二）教学片段2：循序渐进，深挖题意
观察题目第二个证明目标，求证：△AGD∽△EGF。
师：证明三角形相似有哪些方法？结合以上结论，试试找出自己的解决方法。
生4：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似。
师：很好，结合本题条件特征，大家怎么解决问题呢？
生5：△GDC和△GAB是共顶点等顶角的等腰三角形，所以它们相似。GE、GF分别是底边CD、AB的中线，由等腰三角形三线合一可得GE、GF分别平分底边，平分顶角。
∠DGC=∠AGB∠DGF=∠AGE∠AGD =∠BGC。
再利用相似三角形对应边上的高之比等于对应边之比，可得
师：很好，大家利用等腰三角形对应边的比等于对应高的比，再巧妙利用比的性质转化成
△AGD和△EGF对应边的比。大家再思考和拓展一下，如果仅仅将题目中的中点E、F条件改变一下，△AGD∽△EGF仍然成立，你会怎么改编？
生：……
师：如果点E、F分别分CD、AB的比相等时（如图2），△AGD∽△EGF仍成立吗？
【教学分析】
证明二次相似对于学生是个难点，第二问的设置是常见的二次相似模型。第二问中我们应用了二次相似，利用相似三角形对应边之比等于对应边的对应高（中线、角平分线）之比，再利用比的性质转化。在沪科版课本习题设置中，相似三角形对应高（中线、角平分线）的比等于对应边之比的练习、强化不是很多，通常是一次相似，再利用相似比转化计算。为了突出难点，教学设计了拓展设问，强化方法应用。
师：请大家将自己的思维过程列一个线索图。
学生整合自己的思路，画出自己的思维线索图。
老师总结：本题第一问起点低，我们采用顺向思维由因索果利用全等解决。第二问我们从结论出发，寻找条件，结合已有条件，应用综合法，两用二次相似。我们可以列出如下思维线索图：
【教学分析】
做十道题不如透彻解决一道题，学生做题速度快，不善于深入思考，仅仅为做题而做题，这样会失去学习数学的核心力。而压轴题的目的在于考查学生的数学核心素养和解决问题的思想方法。本题第一问虽然简单，但是它是一个入口，从这里进去之后，学生能找到更多的相关要素，并且第一题结论是第二问、第三问的条件。压轴题往往通过设问为后续问题搭梯子。让学生对比两题不同的解决策略，要求学生列出思维线索图，目的在于引导学生有层次、有逻辑地思考问题和解决问题，促进学生思维深度发展，提高学生的数学学习品质。鼓励学生改编题目条件，拓宽学生思维，不被定式约束。解题教学中教师要引导学生走进一道题，对问题的本质进行研究。建构几何模型，形成自己的数学思想方法。 （三）教学片段3：巧构辅助线，一题多解
师：第三问中的条件AD、BC所在的直线互相垂直有什么作用？AD/EF的值与第二问两三角形相似有什么关联？
生6：延长线段AD、BC相交于点H（如图3），这样相互垂直条件更加直观，可以观察到△HAB是直角三角形。由∠HAB+∠HBA=90°
∠GAB+∠GBA=90°，得到△GAB为等腰直角三角形。
师：还有其他途径吗？
生：……
师：题目条件中AD與BC所在直线垂直，大家延长线段AD与BC相交，这样形成的直角更直观。类比这种方法，大家还能想出其他的想法吗？
大家积极思索、讨论。
生8：（如图4）构造平行线，过点D作HD∥BC，连接HD、BH、AH，得HD⊥AD。
生9：（如图5）过点E、F分别作EM∥AD，FM∥BC，得△EFM为直角三角形。
生10 ：（如图6）过点A作AQ∥BC交CE延长线于点Q，得AD⊥AQ。
同学们思维发散开了，展示了很多不同构造辅助线的方法（如图7）。
师：很好，大家利用平行线结合中位线、全等能从不同的角度去解决第三问。由△AGD≌△BGC联系旋转的知识，大家再来观察一下图形之间的关联。
生11：△BGC可以看成是△AGD旋转一定的角度得到的（如图8），旋转中心为点G，对应边分别是AG与BG、GD与GC、AD与BC。故AD与BC的夹角是旋转角，当AD与BC所在直线夹角为90°时，则∠AGB=∠DGC=90°，因而△GDC、△GAB为等腰直角三角形，再应用相似比得出结果。
师：那如果AD与BC所在直线夹角不是90°，而是60°，120°，大家能算出AD与EF的比值吗？如果它们的夹角用一个字母α表示，那结果怎么表示？
学生回答归纳得出EF与AD的比值可以用三角函数表示。
【教学分析】
学生独立面对几何综合题时往往花费很长时间而不得要领，但是老师一点拨，他们就豁然开朗，然后就是懊恼不已，后悔自己没想到关键点。再然后是不断刷题，沉迷于题海，辛苦不堪，但收获甚微。是什么导致这样的现象出现？我想还是教师过多地停留在教授“知识”的层面上，解题教学过于泛泛而谈，只讲解答案，就题讲题，就像猪八戒吃人参果，囫囵吞枣，不知其味。因而对于解题教学，教师要带领学生走进一道题， 引导学生从多种视角审题，不仅关注关键语句，还要启发学生从图形的生长过程、所求结论综合分析和探究题目来求解。更重要的是要引导学生走出一道题，组织学生对问题的本质进行研究，类比自己做过相似的习题或者相似的解题方法，追根溯源更深层次地探究多种解法。只有教师引导学生开动大脑，不断总结归纳，学生才会形成自己的数学思想方法。这样，学生的数学思维和素养就能得到提高。
（四）教学片段4：变式拓展，提升数学素养
师：大家在刚才的学习中，很有自己的思想，老师为你们点赞。带着刚才的经验，大家再次观察图形，想一想，我们可以从哪些角度看待这个综合图形的形成过程？应用本题解题指导思想，你能解决类似问题吗？
【学生回答汇总】
可以看成是对边相等的四边形中，作不相等对边的中垂线形成的两个共顶点、等顶角的两个等腰三角形;
可以看成共顶点的两个等腰三角形旋转得到的图形;
可以看成是两侧的三角形旋转得到的图形。
【变式拓展习题】
（1）已知：如图9所示，△AED和△ABC是等腰直角三角形，点M、N、Q分别是DE、BC、BD的中点，
求证：△QMN是等腰直角三角形。
（2）如图10所示，在四边形ABCD中，AD=BC，
AD与BC夹角为α，
求FE/AD。
【教师感悟】
培养学生数学思维深度和敏捷性，提升学生的数学素养，不能成为口号。学生必须从不断的实践中提升自己的数学素养。数学教学是思维活动的教学，而中考压轴题具有起点低、落点高、开放性强、综合度高的特点。初三数学教学以压轴题为载体，不断启发追问以开阔学生思路，学生思维才能得以发展。在压轴题教学中，老师要捕捉到学生真实的思维活动，发现学生思维模糊区，实时跟进学生思维，合情合理地进行启发式追问，使学生在不断思考和实践解题过程中逐渐认识数学问题本质。