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如何把一些抽象的数学概念变为小学生看得见、摸得着、理解得了的数学事实？这是每个数学教师在课堂教学中必须很好考虑的问题。许多成功的案例说明，让小学生动手操作是提高数学学习的有效策略之一，因为这样做既符合儿童的生理、心理特征，可以吸引他们把注意力集中到有意识的教学活动中来；又能使他们在大量的感性材料的基础上，对材料进行整理，找出有规律的现象，逐步抽象、概括，获得数学概念和知识，使抽象问题具体化。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》也明确指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式……数学学习活动应该是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”。学生要有充分的从事数学活动的时间和空间，在自主探索、亲身实践、合作交流的氛围中，解除困惑，更清楚地明确自己的思想，并有机会分享自己和他人的想法。在亲身体验和探索中认识数学，发展自己的数学思维。
教学实践（片段）
师：今天，我们来学习三角形面积，老师带来了四个图形（投影出示：平行四边形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形）。大家能不能小组合作，利用这四个图形，通过剪一剪、折一折、拼一拼的办法求出三角形的面积呢（课前已把这四个图形放在一个信封里发给了每个学生）？
教师巡视，并参与一些小组活动，大约五分钟后，组织反馈交流。
师：哪个小组愿意把成果和大家分享？
生1：我们小组是把平行四边形沿着对角线剪开得到两个一样的三角形，这样就可以知道一个三角形的面积了。
师：怎样知道这两个三角形一样呢（该生把两个三角形重叠起来，学生点头同意，教师让学生把图表贴在黑板上）？
师：这个办法不错，把平行四边形转化成两个一样的三角形，从而求出一个三角形的面积，其他小组呢？
生2：我们小组是把这个三角形（锐角）这样折一下，然后剪下来拼在这边，就是平行四边形（教师让学生把图形贴在黑板上，如右图)。
师：可以随便折吗？
生2：不是，要这个顶点对着下面的底边。
师：那这两个图形之间的面积……
生2：是一样的。
师：把三角形转化为平行四边形，然后求平行四边形的面积就可以了，你们很会动脑筋。
师：你们还有其他办法吗？
师：现在，你们能不能结合黑板上的这组图形，说一说只要知道什么条件就可以求出三角形的面积？
生5：知道底和高就可以了。
师：谁的底和高？
生6：平行四边形的底和高（另一个学生在下面嚷道：三角形的也可以）。
师：（故做惊讶状）你是怎样想的？
生7：平行四边形的底就是三角形的底，高也一样，所以都可以。
师：你们听明白了吗？谁能再说说？
生8：平行四边形是由两个一样的三角形拼成的嘛，平行四边形的底就是三角形的底，它的高也是三角形的高。
师：你们观察得真仔细，那三角形的面积怎样算呢？
生9：底乘以高除以2（教师板书：底×高÷2）。
师：底乘以高算出是什么图形的面积（生齐说平行四边形）？
师：除以2呢（生齐说三角形面积）？
师：如果用字母公式来表示的话，怎样写（教师在学生不断的补充中完成板书：S=a×b÷2）？
……
课后反思
1.课堂上的操作活动、建立丰富且典型的直观表象是构建以数学理解为中心的课堂教学的基础
“缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的。”（康德语）小学生的思维特点是形象思维占主导地位，三角形面积建模过程中的数学理解必须建立在操作活动以及丰富且典型的直观表象模型基础之上，这样学生的数学理解才有意义，才有利于知识的记忆与迁移。本节课中教师安排了两次操作活动，第一次的目标是运用转化思想，借助操作活动建立丰富的直观表象模型，为学生的数学理解提供“脚手架”；第二次是一位学生用两个完全一样的直角三角形拼出长方形后，教师再次组织全体学生用两个钝角三角形、两个锐角三角形拼出除长方形以外的其他图形，目标是在前面丰富表象的基础上聚焦——三角形的面积理解的一般意义就是任意两个完全一样的三角形都能拼出平行四边形，从而使得学生对三角形面积的数学理解更透彻。
此外，操作活动不仅解决了学生有关是什么、为什么的问题，更重要的是折叠、剪拼等操作活动使学生感悟到隐含在学习材料和操作活动中的策略、方法、思想。由此可见，操作活动生成的不仅是丰富和典型的直观表象，更重要的是操作过程中学生积累了进行和开展数学活动的经验。这些无论是对接下来要完成的对三角形面积公式的建构性理解，还是为以后开展类似的数学活动，都将奠定良好的数学理解的基础。
2.在操作过程中，充分的思考、交流空间是构建以数学理解为中心的课堂教学的关键
“为学生提供充分思考、充分交流的机会”是新课标提出的基本理念。课堂上，教师提出“大家能不能小组合作利用这四个图形，通过折一折、拼一拼、剪一剪也就是转化的办法求出三角形的面积呢”后，为学生留出了较为充裕的思考与实践的时间，使得学生得出多种操作思路和方法。得出各种结果后，教师尽可能全面把握学生的多种情况，并努力搜集和捕捉学生中好的资源，并采用“原图形 转化后图形”的方式呈现各种资源，为接下来的交流以及分析比较、公式抽象提供了很好的形象支持。而当各种资源呈现之后，教师有必要组织学生进行交流，在交流和讨论的过程中，教师则关注捕捉信息、判断信息和处理信息，从而形成师生、生生之间的有效互动，这个过程将促进学生从建构性理解向解释性理解递进，从而达到“资源共享，有效互动，促进理解”之目的。
（责任编辑：胡惠明）
教学实践（片段）
师：今天，我们来学习三角形面积，老师带来了四个图形（投影出示：平行四边形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形）。大家能不能小组合作，利用这四个图形，通过剪一剪、折一折、拼一拼的办法求出三角形的面积呢（课前已把这四个图形放在一个信封里发给了每个学生）？
教师巡视，并参与一些小组活动，大约五分钟后，组织反馈交流。
师：哪个小组愿意把成果和大家分享？
生1：我们小组是把平行四边形沿着对角线剪开得到两个一样的三角形，这样就可以知道一个三角形的面积了。
师：怎样知道这两个三角形一样呢（该生把两个三角形重叠起来，学生点头同意，教师让学生把图表贴在黑板上）？
师：这个办法不错，把平行四边形转化成两个一样的三角形，从而求出一个三角形的面积，其他小组呢？
生2：我们小组是把这个三角形（锐角）这样折一下，然后剪下来拼在这边，就是平行四边形（教师让学生把图形贴在黑板上，如右图)。
师：可以随便折吗？
生2：不是，要这个顶点对着下面的底边。
师：那这两个图形之间的面积……
生2：是一样的。
师：把三角形转化为平行四边形，然后求平行四边形的面积就可以了，你们很会动脑筋。
师：你们还有其他办法吗？
师：现在，你们能不能结合黑板上的这组图形，说一说只要知道什么条件就可以求出三角形的面积？
生5：知道底和高就可以了。
师：谁的底和高？
生6：平行四边形的底和高（另一个学生在下面嚷道：三角形的也可以）。
师：（故做惊讶状）你是怎样想的？
生7：平行四边形的底就是三角形的底，高也一样，所以都可以。
师：你们听明白了吗？谁能再说说？
生8：平行四边形是由两个一样的三角形拼成的嘛，平行四边形的底就是三角形的底，它的高也是三角形的高。
师：你们观察得真仔细，那三角形的面积怎样算呢？
生9：底乘以高除以2（教师板书：底×高÷2）。
师：底乘以高算出是什么图形的面积（生齐说平行四边形）？
师：除以2呢（生齐说三角形面积）？
师：如果用字母公式来表示的话，怎样写（教师在学生不断的补充中完成板书：S=a×b÷2）？
……
课后反思
1.课堂上的操作活动、建立丰富且典型的直观表象是构建以数学理解为中心的课堂教学的基础
“缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的。”（康德语）小学生的思维特点是形象思维占主导地位，三角形面积建模过程中的数学理解必须建立在操作活动以及丰富且典型的直观表象模型基础之上，这样学生的数学理解才有意义，才有利于知识的记忆与迁移。本节课中教师安排了两次操作活动，第一次的目标是运用转化思想，借助操作活动建立丰富的直观表象模型，为学生的数学理解提供“脚手架”；第二次是一位学生用两个完全一样的直角三角形拼出长方形后，教师再次组织全体学生用两个钝角三角形、两个锐角三角形拼出除长方形以外的其他图形，目标是在前面丰富表象的基础上聚焦——三角形的面积理解的一般意义就是任意两个完全一样的三角形都能拼出平行四边形，从而使得学生对三角形面积的数学理解更透彻。
此外，操作活动不仅解决了学生有关是什么、为什么的问题，更重要的是折叠、剪拼等操作活动使学生感悟到隐含在学习材料和操作活动中的策略、方法、思想。由此可见，操作活动生成的不仅是丰富和典型的直观表象，更重要的是操作过程中学生积累了进行和开展数学活动的经验。这些无论是对接下来要完成的对三角形面积公式的建构性理解，还是为以后开展类似的数学活动，都将奠定良好的数学理解的基础。
2.在操作过程中，充分的思考、交流空间是构建以数学理解为中心的课堂教学的关键
“为学生提供充分思考、充分交流的机会”是新课标提出的基本理念。课堂上，教师提出“大家能不能小组合作利用这四个图形，通过折一折、拼一拼、剪一剪也就是转化的办法求出三角形的面积呢”后，为学生留出了较为充裕的思考与实践的时间，使得学生得出多种操作思路和方法。得出各种结果后，教师尽可能全面把握学生的多种情况，并努力搜集和捕捉学生中好的资源，并采用“原图形 转化后图形”的方式呈现各种资源，为接下来的交流以及分析比较、公式抽象提供了很好的形象支持。而当各种资源呈现之后，教师有必要组织学生进行交流，在交流和讨论的过程中，教师则关注捕捉信息、判断信息和处理信息，从而形成师生、生生之间的有效互动，这个过程将促进学生从建构性理解向解释性理解递进，从而达到“资源共享，有效互动，促进理解”之目的。
（责任编辑：胡惠明）