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摘 要：蜗牛，一种无脊椎生物，通过一种不寻常的机械原理驱动自身。本文结合生物学家的研究成果，针对蜗牛运动介绍一种逆行波模型：在运动过程中，蜗牛身体底部软体足将产生一个逆行波，同时会在承载物与足之间分泌一层粘液（在本模型中假定为牛顿流体），正是波状足与粘液层的相互作用，给蜗牛的前行提供了足够的驱动力。
关键词：蜗牛运动;逆行波;牛顿流体
中图分类号：O313文献标识码：A
蜗牛是自然界的一种常见生物，其运动规律一向是国内外科学家感兴趣的话题，[1-3]目前对蜗牛本身运动规律的研究已经趋于完善：通过波状足与自身分泌粘液的相互作用，产生一个与足部波传播方向相反的推进力，从而实现自身在承载物上的移动。本文依据这一研究成果，通过对蜗牛运动实际模型的简化，介绍了一种逆行波模型，可以有效地计算蜗牛运动速度。
将蜗牛运动模型简化为二维模型，记蜗牛前进速度为V^s，蜗牛底部足波动速度为V^w，方向与蜗牛前进方向相反，波长为λ，振幅为a。为消除时间项，以蜗牛足部波形为参照系，以承载面为x^轴，蜗牛前进方向为x^轴正方向，以垂直于蜗牛前进方向为y^轴，由承载面指向蜗牛，则粘液层沿x^轴的厚度为：
h^=h^（x^）（1）
因此，相对于波参照系，蜗牛速度为V^w，承载面速度为V^w-V^s。
当粘液层平均厚度H^远小于波长λ时，N-S方程可简化为标准润滑方程，[4]在x^与y^方向的动量守恒方程可简化为：
p^x^=μ2u^y^2，p^y^=0（2）
其中p^为压强，μ为粘性系数，u^为x^方向分速度。令x^=λx，y^=H^y，u^=V^wu，p^=λμV^w/H^2p，h^=H^h，V^s=V^wVs，则x^方向动量守恒方程变为：
dpdx=2uy2（3）
对此方程采用无滑移边界条件：
u（0）=1-Vs，u（h）=1（4）
对方程（3）积分两次可得到：
u（x，y）=12dpdxy（y-h）+Vs（yh-1）+1（5）
在稳态时，粘液层流量Q=∫h0udy在x方向应保持不变，对方程（5）從0到h进行积分，并求解出压力梯度可得：
dpdx=12h3[h（1-12Vs）-Q]（6）
由于h（x）以波长1周期性变化，故有p（1）=p（0），即：
∫10dpdxdx=p（1）-p（0）=0（7）
结合方程（7），对方程（6）在一个波长内进行积分，可解得：
Q=（1-12Vs）I2I3（8）
其中，Ij=∫10dxhj。因此，只要给定波形h（x），即可计算出流量Q，压力梯度dp/dx，以及x方向的速度分布。
最后，为了求解蜗牛速度，需在蜗牛足部建立力平衡方程。粘液对蜗牛的牵引力为F=σ^n^，其中σ^为粘液应力张量，n^为外法线单位向量。在一个周期内对x进行积分，并应用力平衡方程，[5-6]可得：
∫10pdhdx+uyy=hdx=0（9）
其中第一项为蜗牛足部所受压力，第二项为粘性力。结合方程（6）对第一项进行分部积分可得：
3QI2=（3-2Vs）I1（10）
联立方程（8）（10）并定义一个形状函数：
A≡I22I1I3（11）
可求出蜗牛速度的表达式：
Vs=6（1-A）4-3A（12）
综上，只要给定蜗牛的足部形状，便可估算出蜗牛的运动速度。
以上分析仅针对水平承载面，在方程（6）中加入重力分力便可应用于倾斜承载面情况：
-Wsin=∫10pdhdx+uyy=hdx（13）
其中φ为承载面倾斜角，W=H^mg/μV^wλb为无量纲重力，b为z^方向的蜗牛厚度。求解方程（13）可得：
Vs=6（1-A）4-3A-WsinI1（4-3A）（14）
由此方程可知，只需6（1-A）W/I1蜗牛便可以翻越任何障碍物。
通过以上分析我们可以得出结论，蜗牛的前进速度与底部足波形息息相关，其与波速的比值由底部足波形、蜗牛重力以及承载面倾斜角等共同决定。
参考文献：
[1]M.Denny.The role of gastropod pedal mucus in locomotion[J].Nature（London），1980，285：160-161.
[2]R.H.Ewoldt，C.clasen，A.E.Hosoi.Rheological fingerprinting of gastropod pedal mucus and synthetic complex fluids for biomimicking adhesive locotion[J].Soft Matter，2007，3：634-643.
[3]E.lauga，A.E.Hosoi.Tuning gastropod locomotion：Modeling the influence of mucus rheology on the cost of crawling[J].Phys.Fluids 18，113102（2006）.
[4]O.Reynolds.On the theory oflubrication and its applications to Mr.Beauchamp Tower，s experiments，including an experimental determination of the xiscosity of olive oil[J].Philos.R.Soc.London 177，157（1886）.
[5]J.M.Skotheim，L.Mahadevan.Soft lubrication[J].Phys.Rev.Lett 92，245509（2004）.
[6]J.Ashmore，C.del Pino，T.Mullin.Cavitation in a lubrication flow between a moving sphere and a boundary[J].Phys.Rev.Lett 94，124501（2005）.
关键词：蜗牛运动;逆行波;牛顿流体
中图分类号：O313文献标识码：A
蜗牛是自然界的一种常见生物，其运动规律一向是国内外科学家感兴趣的话题，[1-3]目前对蜗牛本身运动规律的研究已经趋于完善：通过波状足与自身分泌粘液的相互作用，产生一个与足部波传播方向相反的推进力，从而实现自身在承载物上的移动。本文依据这一研究成果，通过对蜗牛运动实际模型的简化，介绍了一种逆行波模型，可以有效地计算蜗牛运动速度。
将蜗牛运动模型简化为二维模型，记蜗牛前进速度为V^s，蜗牛底部足波动速度为V^w，方向与蜗牛前进方向相反，波长为λ，振幅为a。为消除时间项，以蜗牛足部波形为参照系，以承载面为x^轴，蜗牛前进方向为x^轴正方向，以垂直于蜗牛前进方向为y^轴，由承载面指向蜗牛，则粘液层沿x^轴的厚度为：
h^=h^（x^）（1）
因此，相对于波参照系，蜗牛速度为V^w，承载面速度为V^w-V^s。
当粘液层平均厚度H^远小于波长λ时，N-S方程可简化为标准润滑方程，[4]在x^与y^方向的动量守恒方程可简化为：
p^x^=μ2u^y^2，p^y^=0（2）
其中p^为压强，μ为粘性系数，u^为x^方向分速度。令x^=λx，y^=H^y，u^=V^wu，p^=λμV^w/H^2p，h^=H^h，V^s=V^wVs，则x^方向动量守恒方程变为：
dpdx=2uy2（3）
对此方程采用无滑移边界条件：
u（0）=1-Vs，u（h）=1（4）
对方程（3）积分两次可得到：
u（x，y）=12dpdxy（y-h）+Vs（yh-1）+1（5）
在稳态时，粘液层流量Q=∫h0udy在x方向应保持不变，对方程（5）從0到h进行积分，并求解出压力梯度可得：
dpdx=12h3[h（1-12Vs）-Q]（6）
由于h（x）以波长1周期性变化，故有p（1）=p（0），即：
∫10dpdxdx=p（1）-p（0）=0（7）
结合方程（7），对方程（6）在一个波长内进行积分，可解得：
Q=（1-12Vs）I2I3（8）
其中，Ij=∫10dxhj。因此，只要给定波形h（x），即可计算出流量Q，压力梯度dp/dx，以及x方向的速度分布。
最后，为了求解蜗牛速度，需在蜗牛足部建立力平衡方程。粘液对蜗牛的牵引力为F=σ^n^，其中σ^为粘液应力张量，n^为外法线单位向量。在一个周期内对x进行积分，并应用力平衡方程，[5-6]可得：
∫10pdhdx+uyy=hdx=0（9）
其中第一项为蜗牛足部所受压力，第二项为粘性力。结合方程（6）对第一项进行分部积分可得：
3QI2=（3-2Vs）I1（10）
联立方程（8）（10）并定义一个形状函数：
A≡I22I1I3（11）
可求出蜗牛速度的表达式：
Vs=6（1-A）4-3A（12）
综上，只要给定蜗牛的足部形状，便可估算出蜗牛的运动速度。
以上分析仅针对水平承载面，在方程（6）中加入重力分力便可应用于倾斜承载面情况：
-Wsin=∫10pdhdx+uyy=hdx（13）
其中φ为承载面倾斜角，W=H^mg/μV^wλb为无量纲重力，b为z^方向的蜗牛厚度。求解方程（13）可得：
Vs=6（1-A）4-3A-WsinI1（4-3A）（14）
由此方程可知，只需6（1-A）W/I1蜗牛便可以翻越任何障碍物。
通过以上分析我们可以得出结论，蜗牛的前进速度与底部足波形息息相关，其与波速的比值由底部足波形、蜗牛重力以及承载面倾斜角等共同决定。
参考文献：
[1]M.Denny.The role of gastropod pedal mucus in locomotion[J].Nature（London），1980，285：160-161.
[2]R.H.Ewoldt，C.clasen，A.E.Hosoi.Rheological fingerprinting of gastropod pedal mucus and synthetic complex fluids for biomimicking adhesive locotion[J].Soft Matter，2007，3：634-643.
[3]E.lauga，A.E.Hosoi.Tuning gastropod locomotion：Modeling the influence of mucus rheology on the cost of crawling[J].Phys.Fluids 18，113102（2006）.
[4]O.Reynolds.On the theory oflubrication and its applications to Mr.Beauchamp Tower，s experiments，including an experimental determination of the xiscosity of olive oil[J].Philos.R.Soc.London 177，157（1886）.
[5]J.M.Skotheim，L.Mahadevan.Soft lubrication[J].Phys.Rev.Lett 92，245509（2004）.
[6]J.Ashmore，C.del Pino，T.Mullin.Cavitation in a lubrication flow between a moving sphere and a boundary[J].Phys.Rev.Lett 94，124501（2005）.