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摘 要：在超市运营中，排队时间的长短影响着顾客的对超市的整体满意度，合理的开放收银台的数目也是每个管理者所需要认真考虑的问题。实际上，管理者往往是根据经验去作决定，缺乏相关的理论依据。文章从数学角度出发，以某超市为研究对象，将顾客排队到接受服务的过程建立成一个数学模型，通过统计该超市各时间段的客流量，运用Matlab进行仿真计算，得出了各时间段最优的收银台数目，为超市提供了一种有效的管理方案，同时结果说明了超市“如您前面超过5人请按铃”的策略在高峰时刻无意义。
关键词：超市 排队 管理 仿真计算
现实生活中，超市的排队问题一直存在，有些顾客甚至因为排队人数太多，而放弃原本要在超市购买的商品，导致了超市的损失。如何合理的安排开放的收银台数目，应该是管理者需要考虑的问题。然而，超市的管理者往往是根据经验去安排，缺乏相关的理论依据。本文用排队论的相关知识去研究超市排队问题。顾客的到达服从参数为的泊松流，顾客接受服务时间服从相同参数的负指数分布，将其看做M/M/c/∞排队系统。由排队论的相关知识计算出，通过对某超市连续两周的客流量进行统计分析，服务系统的等待队长、等待概率、等待时间等指标。本文以某超市为研究对象，连续两周对其客流量进行统计。运用Matlab进行仿真计算，得到在满足等待队长不超过6人的最优服务台数目，此方案既能满足顾客对服务人员的需求数，也为超市减少了不必要的开支，同时更利于超市的管理。通过分析仿真计算得到的数据，对超市现有政策进行了客观评价。
一、超市排队系统模型
1.数据统计。本文数据来源于对某个超市进行连续两周的顾客量统计（因节假日时期顾客数和法定工作日的顾客数有明显的差异，若将两者在一起考虑必会增加计算误差，丧失了模型的实际意义，故本文以排除节假日，此后的操作中就不再强调）。已知该超市工作日的营业时间是8：30—22：30。将其分为14个时间段，每个时间段时长1小时分别记为Tij，（j=1，2…14），其中i表示天数，j表示时间段。统计数据由下表所示
3.模型的建立。本文假设有c个收银台同时独立地进行收银服务，当超市的顾客到达的时候，如果有空的收银台就立刻前往接受服务，若没有，就需要排队等候服务，直到有空闲的收银台再接受服务。现已知顾客在各时间段内按参数为的泊松流到达，每个顾客所需服务的时间是独立的，且服从相同的参数的负指数分布。根据顾客的习惯通常是看到哪个收银台空闲，就到该收银台去接受服务。现做一种理想化的处理，即假设顾客到达后排成一列，当有收银台空闲时，便接受服务，依此顺序进行。本问题实质上是一个解决一个M/M/c/∞系统的问题，问题转化为，现开放收银台c个，顾客按参数的泊松流到达去接受服务，每个收银台的服务时间服从参数μ的负指数分布，接受服务时，发现空闲窗口时便去接受服务。如下图所示。
二、仿真计算
现假设超市将所有的服务台c=10全部开放且服务率每分钟服务1.3人，也即μ=1.3。通过Matlab计算，程序如下
从以上数据可知，如果该超市在营业时间将所有收银台开放，实质上在某种程度上是增加了不必要的支出。表现最为明显的是在T1，T5，T6，T7，T14。如何合理安排收銀台的数量，则是超市需要考虑的问题。在统计数据时发现，该超市现行一策略“如等待超过5人请按铃”。为此，现考虑在平均队长不超过6的情况下，超市最少需要开放的收银台数量，以及对超市现行的策略进行评价。通过Matlab仿真计算，得到下表，其中μ=0.9，N≤6。
三、主要结论
由表5可知在满足等待队长不超过6人的情况下，各时间段所需开放的收银台数量。现通过如下直方图直观反映。
通过以上问题的求解，观察图表数据，发现在T11与T12时间段内，即使所有的收银台全部开放时，顾客等待的队长也会远超过6人。由此可见，超市现行制度——前面超过5人请按铃，这个政策在高峰期是没有任何意义的。解决此类问题，可以适当增加收银台的数量，也可提高服务率，但前者的可行性较小，首先增加了成本，其次现有超市的面积一定，增加收银台的可行性不大，对于此本文就不作进一步讨论。除此之外，通过以上求解，可以准确地求出各时间段所开放的收银台数，在满足顾客需求的情况下做到不浪费超市的资源，节约了人力与财力，切实保障了超市与顾客之间的利益，通过本文的求解，达到了顾客与超市双赢的局面。
参考文献：
[1]唐应辉， 唐小我. 排队论[M]. 第一版. 北京：科学出版社， 2006.
[2]杨振明. 概率论[M]. 第二版. 北京：科学出版社， 2007.
[3]R.L.奥特/M.朗格内克著， 张占中译. 统计学方法与数据分析引论[M]. 第一版. 北京：科学出版社， 2003.
[4]杜红. 应用运筹学[M]. 第一版. 杭州：浙江大学出版社， 2009.
[5]何坚勇. 最优化方法[M]. 第一版. 北京：清华大学出版社， 2007.
[6]王丙参， 魏艳华， 孙春晓. 泊松分布参数估计的比较研究[J]. 四川理工学院学报 自然科学版， 2011， 24（5）：604-606.
[7]王兴贵， 焦争昌. 基于排队论的银行排队问题研究[J]. 湘潭师范学院学报 社会科学版， 2008， 30（1）：58-60.
[8]陈彦策. 基于排队论的超市收银系统优化研究[J]. 管理与科技， 2014， 12： 50-51.
[9]蒋淑华， 伏小良. 基于排队论的超市收费服务模型的探讨[J]. 物流科技， 2008， 10： 141-142.
关键词：超市 排队 管理 仿真计算
现实生活中，超市的排队问题一直存在，有些顾客甚至因为排队人数太多，而放弃原本要在超市购买的商品，导致了超市的损失。如何合理的安排开放的收银台数目，应该是管理者需要考虑的问题。然而，超市的管理者往往是根据经验去安排，缺乏相关的理论依据。本文用排队论的相关知识去研究超市排队问题。顾客的到达服从参数为的泊松流，顾客接受服务时间服从相同参数的负指数分布，将其看做M/M/c/∞排队系统。由排队论的相关知识计算出，通过对某超市连续两周的客流量进行统计分析，服务系统的等待队长、等待概率、等待时间等指标。本文以某超市为研究对象，连续两周对其客流量进行统计。运用Matlab进行仿真计算，得到在满足等待队长不超过6人的最优服务台数目，此方案既能满足顾客对服务人员的需求数，也为超市减少了不必要的开支，同时更利于超市的管理。通过分析仿真计算得到的数据，对超市现有政策进行了客观评价。
一、超市排队系统模型
1.数据统计。本文数据来源于对某个超市进行连续两周的顾客量统计（因节假日时期顾客数和法定工作日的顾客数有明显的差异，若将两者在一起考虑必会增加计算误差，丧失了模型的实际意义，故本文以排除节假日，此后的操作中就不再强调）。已知该超市工作日的营业时间是8：30—22：30。将其分为14个时间段，每个时间段时长1小时分别记为Tij，（j=1，2…14），其中i表示天数，j表示时间段。统计数据由下表所示
3.模型的建立。本文假设有c个收银台同时独立地进行收银服务，当超市的顾客到达的时候，如果有空的收银台就立刻前往接受服务，若没有，就需要排队等候服务，直到有空闲的收银台再接受服务。现已知顾客在各时间段内按参数为的泊松流到达，每个顾客所需服务的时间是独立的，且服从相同的参数的负指数分布。根据顾客的习惯通常是看到哪个收银台空闲，就到该收银台去接受服务。现做一种理想化的处理，即假设顾客到达后排成一列，当有收银台空闲时，便接受服务，依此顺序进行。本问题实质上是一个解决一个M/M/c/∞系统的问题，问题转化为，现开放收银台c个，顾客按参数的泊松流到达去接受服务，每个收银台的服务时间服从参数μ的负指数分布，接受服务时，发现空闲窗口时便去接受服务。如下图所示。
二、仿真计算
现假设超市将所有的服务台c=10全部开放且服务率每分钟服务1.3人，也即μ=1.3。通过Matlab计算，程序如下
从以上数据可知，如果该超市在营业时间将所有收银台开放，实质上在某种程度上是增加了不必要的支出。表现最为明显的是在T1，T5，T6，T7，T14。如何合理安排收銀台的数量，则是超市需要考虑的问题。在统计数据时发现，该超市现行一策略“如等待超过5人请按铃”。为此，现考虑在平均队长不超过6的情况下，超市最少需要开放的收银台数量，以及对超市现行的策略进行评价。通过Matlab仿真计算，得到下表，其中μ=0.9，N≤6。
三、主要结论
由表5可知在满足等待队长不超过6人的情况下，各时间段所需开放的收银台数量。现通过如下直方图直观反映。
通过以上问题的求解，观察图表数据，发现在T11与T12时间段内，即使所有的收银台全部开放时，顾客等待的队长也会远超过6人。由此可见，超市现行制度——前面超过5人请按铃，这个政策在高峰期是没有任何意义的。解决此类问题，可以适当增加收银台的数量，也可提高服务率，但前者的可行性较小，首先增加了成本，其次现有超市的面积一定，增加收银台的可行性不大，对于此本文就不作进一步讨论。除此之外，通过以上求解，可以准确地求出各时间段所开放的收银台数，在满足顾客需求的情况下做到不浪费超市的资源，节约了人力与财力，切实保障了超市与顾客之间的利益，通过本文的求解，达到了顾客与超市双赢的局面。
参考文献：
[1]唐应辉， 唐小我. 排队论[M]. 第一版. 北京：科学出版社， 2006.
[2]杨振明. 概率论[M]. 第二版. 北京：科学出版社， 2007.
[3]R.L.奥特/M.朗格内克著， 张占中译. 统计学方法与数据分析引论[M]. 第一版. 北京：科学出版社， 2003.
[4]杜红. 应用运筹学[M]. 第一版. 杭州：浙江大学出版社， 2009.
[5]何坚勇. 最优化方法[M]. 第一版. 北京：清华大学出版社， 2007.
[6]王丙参， 魏艳华， 孙春晓. 泊松分布参数估计的比较研究[J]. 四川理工学院学报 自然科学版， 2011， 24（5）：604-606.
[7]王兴贵， 焦争昌. 基于排队论的银行排队问题研究[J]. 湘潭师范学院学报 社会科学版， 2008， 30（1）：58-60.
[8]陈彦策. 基于排队论的超市收银系统优化研究[J]. 管理与科技， 2014， 12： 50-51.
[9]蒋淑华， 伏小良. 基于排队论的超市收费服务模型的探讨[J]. 物流科技， 2008， 10： 141-142.